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Une inégalité de normes

Modifié (6 Aug) dans Analyse
Salut à tous.
Soit $E = \mathbf{R}^d [X] $, pour $P \in E$, $\ || P ||_{\infty} = \sup_{t \in [-1, 1]} |P(t)| $ la norme infinie et $ || P ||_1 = \int_{-1}^1 | P(t) | dt $ la norme $L^1$.
Soit $S = \{ P \in E \mid || P ||_{\infty } = 1 \} $. Est-il vrai que pour tout $P \in S,\ || P ||_1 \geq \frac{2}{d + 1} $, et que cette inégalité est atteinte pour $X^d$  ? 
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J'ai l'impression que si $Q \in S$ et est de degré 2 (par exemple) je peux ajouter un terme en $X^3$ ou $X^4$ au polynôme, en modifiant un tout petit peu les coeff de $Q$, pour qu'il reste dans $S$ tout en diminuant la norme $L^1$ mais je n'arrive pas à le démontrer.
Peut-être que c'est faux.
--->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---

Réponses

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  • Ton inégalité est également atteinte pour le polynôme $P(t) = \frac{1}{d+1} U_d(t)$ où $U_d(t)$ est le polynôme de Tchebychev de seconde espèce, puisque $\|U_d \|_\infty = d+1$ et $\| U_d \|_1 = 2$.
  • Modifié (6 Aug)
    Bonjour
    Si je ne me suis pas trompé dans les calculs, l'égalité doit être réalisée pour les carrés des polynômes de Legendre associés au segment $[-1;1]$ (donc ça ne donne(rait) que des exemples pour $d$ pair).
    Par ex. $L_{2}^{2}=\frac{(3x^2-1)^2}{4}$ donne(rait) $||L_{2}^{2}||_{\infty}=1,\ ||L_{2}^{2}||_{1}=2/5,\ d=4$.
    À vérifier (la question ne me motive pas suffisamment pour que je vérifie les calculs griffonnés sur un ticket de caisse à peine lisible).
  • Modifié (6 Aug)
    Le problème de l'X que je mentionnais dans l'autre fil qui parlait de cette même question faisait justement intervenir les polynômes de Legendre. Peut-être quelque chose à creuser...
  • Modifié (7 Aug)
    Quand $d=1$ la propriété est fausse. Par exemple pour le polynôme $P=\dfrac13(2X+1)$ on a $||P||_{\infty}=1$ et $||P||_1=\dfrac56<1$.

    Pour $d=1$ on peut démontrer que $||P||_1\geqslant2(\sqrt2-1)||P||_{\infty}$.
  • Ce qui est vrai, c'est l'inégalité suivante : si $P$ est unitaire de degré $d \geqslant 1$, alors $\| P \|_1 \geqslant 2^{1-d}$, avec égalité si, et seulement si, $P$ est le polynôme de Tchebychev de $2$nde espèce normalisé, i.e. ssi $P = 2^{-d} U_d$. 

    Ce résultat, dû à Korkin & Zolotarev (1873), n'impose aucune condition sur la norme $\| P \|_{L^\infty}$ (je préfère noter cette norme comme ça, afin de ne pas la confondre avec le max des modules des coeffs).

    L'une des démonstrations possibles repose sur l'égalité
    $$\int_{-1}^1 t^k \, \textrm{sgn} \left( U_d(t) \right) \, \textrm{d}t = \begin{cases} 2^{1-d}, & \textrm{si} \ k=d \, ; \\ 0, & \textrm{si} \ 0 \leqslant k \leqslant d-1. \end{cases} \tag{1}$$
    Admettant ce résultat, on a puisque $P$ est unitaire
    $$\| P \|_1 \geqslant \int_{-1}^1 P(t) \, \textrm{sgn} \left( U_d(t) \right) \, \textrm{d}t = 2^{1-d}.$$
    L'identité (1) peut être établie par changement de variable $t= \cos \theta$ puis en utilisant la série de Fourier de la fonction $x \mapsto \textrm{sgn} (\sin x)$. 
  • Modifié (7 Aug)
    Bonjour
    Très joli (noix de totos).
  • Bonjour,
    Pour la question initiale, voir ce message de @BobbyJoe qui démontre que $\|P\|_\infty \lesssim d^2\|P\|_1$ mais $\neg(\|P\|_\infty \lesssim d\|P\|_1)$ : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2373988/#Comment_2373988
  • Modifié (9 Aug)
    Comme je l'ai écrit sur l'autre fil, je ne suis pas d'accord avec la "fausseté" de la seconde inégalité (du moins en ajoutant une constante).
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