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Calcul d'une Intégrale

Modifié (5 Aug) dans Analyse
Dans le sujet "intégrale du 3 juillet" j'ai été amené à calculer $$I=\int_0^{2 \pi}  \arctan \big(1 + \sqrt{2} \sin(x) \big) dx $$ que je sais calculer mais de façon un peu compliquée. 
Je propose donc  le calcul  de $I$ en espérant une solution plus simple.
À noter que Wolfram  donne une réponse après un long moment mais la réponse est inexploitable.

Réponses

  • Modifié (5 Aug)
    Intégrale qui est égale à, $\displaystyle I=\frac{\pi^2}{2}-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\arctan\left(\sin^2 x\right)dx$

    PS:
    Comme signalé par Bd2017 j'avais oublié un facteur devant l'intégrale.

    ? intnum(x=0,2*Pi,atan(1+sqrt(2)*sin(x)))
    %3 = 3.593095251464741424327004873
    ? Pi^2/2-2*intnum(x=0,Pi/2,atan(sin(x)^2)) %1 = 3.593095251028562476582872843



  • Modifié (5 Aug)
    Merci,  mais sauf  erreur je ne vois pas d'égalité   (même numériquement). 
    edit:  Il me semble que la borne est $2 \pi$  et il manque un facteur $1/2$  devant l'intégrale
  • C'est plutôt un facteur $2$ merci pour ta vigilance.
  • Modifié (5 Aug)
    OK   mais  ma question reste inchangée. 
    En effet prenons un autre exemple mais  équivalent:   on  a $K_2= \int_0^{\pi/2} \arctan(1/8 (7 + \cos(x)) dx $  et  
    $K_1   = \int_0^{\pi/2} \arctan(\sin ^2 (x)) dx $  liés par la relation   $K_2=\dfrac{\pi ^2}{4} - 2 K_1$
    Pourquoi  Wolfram  sait calculer $K_1$  mais pas $K_2$  alors que j'ai plus de facilité pour calculer $K_1? $
    Autrement dit comment fait Wolfram  pour calculer $K_1?$  C'est ma  question car je pense qu'il doit y avoir un moyen plus simple.     
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