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Définition d'un compact

Bonjour, 
En avançant sur le Danter j'ai trouvé cette définition d'un espace métrique compact : "Un espace métrique (E, d) est compact si toute suite de E admet une sous-suite convergente.".
Or, dans d'autres ouvrages ou sur internet, je tombe parfois sur la définition suivante : "Un espace topologique (X, T ) est dit compact si tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrement fini.".
J'ai bien conscience que le contexte n'est pas le même dans les deux définitions et, en particulier, la deuxième définition me parait se placer dans un contexte plus large que la première mais j'imagine que ce n'est pas un hasard si on utilise le mot "compact" dans les deux cas et je n'arrive pas à voir de lien entre les deux. En existe-t-il un ?

Réponses

  • Modifié (5 Aug)
    La définition qui sert dans les preuves, c'est surtout la définition "recouvrement fini d'ouverts" . Quand la topologie $\mathcal{T}$ est induite par une métrique $d$, les deux définitions coïncident.
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Modifié (5 Aug)
    Bonjour, c'est comme un fermé si ton espace topologique a de bonnes propriétés tu peux le définir à l'aide de ses suites convergentes. Sinon définition plus générale : c'est le complémentaire d'un ouvert.
  • bonjour,
    "Un espace topologique (X, T ) séparé est dit compact si tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrement fini." Quant au fait qu'un espace métrique (E, d) est compact ssi toute suite de E admet une sous-suite convergente", il y a du boulot. Cela ne s'explique pas en 5 min, ni même en 15. :) Mais ça vaut le coup car pour les e.m., la notion de compacité devient très parlante. Bon courage
  • Modifié (5 Aug)
    En fait, je comprends très mal les espaces topologiques en général. Pour la compacité dans un espace métrique, avec la définition des sous-suite convergente je pense commencer à bien comprendre (enfin ça me parait bien moins nébuleux qu'avant) mais je ne vois pas du tout en quoi les deux définitions coïncident. J'aimerais bien comprendre mais vu ce que tu dis @stfj il est probable que je n'ai pas du tout le niveau.
  • Lançons-nous dans une preuve alors. 
  • Modifié (5 Aug)
    W. A. Sutherland
    Introduction to metric dans topological spaces 
    Très  pédagogique l’auteur. Et il est court. 
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Modifié (5 Aug)
    Comme on peut se douter, le sens "recouvrement ouvert" implique "sous-suites convergentes" est plus facile.
    Je recommande de procéder par l'absurde en exploitant bien l'hypothèse initialement omise de séparation de l'espace.
  • Tu peux démontrer l'équivalence dans $\R$ à titre d'exercice.
    Sinon, un mot clé : propriété de Borel-Lebesgue.
  • Bonjour,
    Soit $(E,d)$ un espace métrique tel que de tout recouvrement ouvert de $E$ on peut extraire un sous-recouvrement fini. Soit $(x_n)_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $E$. Pour tout entier naturel $n$, soit $F_n$ l'adhérence dans $E$ de $\{x_k\mid k\geq n\}$ ; la suite $(F_n)$ est une suite décroissante de fermés tous non vides. La suite $(E\setminus F_n)$ est une suite croissante d'ouverts qui ne peut pas recouvrir $E$, car sinon on aurait un recouvrement ouvert de $E$ sans sous-recouvrement fini. Donc $\bigcap_{n\in \N} F_n\neq \emptyset$ et un point de cette intersection est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)$.
  • Modifié (5 Aug)
    Y a une implication plutôt simple, et l'autre beaucoup moins, où je pense qu'il faut des indications.  
    On peut découper ainsi (du moins dans la démo que je connais) : 
    On peut déjà noter (BW) la propriété avec les sous-suites et (BL) celle avec les recouvrements.  
    On cherche à montrer que (BW) est équivalente à (BL). 
    1) L'une des deux implications est relativement simple à démonter, laquelle ? La démontrer. 
    2) Pour l'autre implication, on pourra montrer les deux lemmes suivants : 
    a) (Nombre de Lebesgue) Soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement d'un espace métrique $(X,d)$ vérifiant (BW).  
    Montrer qu'il existe un réel $r > 0$ tel que  $$ \forall x \in X,\ \exists i \in I,\quad D(x,r) \subset U_i. $$
    b)  (Précompacité) Soit $(X,d)$ un espace métrique vérifiant (BW).  
    Montrer que pour tout réel $r > 0$, il existe un nombre fini de réels $x_0, \dots, x_n$ tels que $$ X = \bigcup_{k=0}^n D(x_i, r) .$$
    c) Conclure.  
    (Par ailleurs, vous connaissez d'autres démo pour l'implication plus compliquée ? Je crois n'avoir vu que celle là.)
  • Modifié (5 Aug)
    @Positif J'ai déjà beaucoup de mal avec le Dantzer qui pourant est en français et se contente des espaces métriques.

    @Math Coss Justement, j'ai surtout essayé d'y réfléchir dans IR pour l'instant car c'est l'espace que je connais le mieux et je n'ai pas abouti. J'ai vu effectivement que ça avait un lien avec cette fameuse propriété de Borel-Lebesgue mais en tout honnêteté je n'ai rien compris à cette propriété.

    @GaBuZoMeu @agregagreg2 Merci je vais y réfléchir à tête reposée. Pour l'instant, en première lecture, je panique complètement mais c'est toujours le cas pour moi en analyse.

    Un sous-recouvrement fini de E c'est bien un ensemble fini d'ouverts de E dont la réunion contient E ?
  • Modifié (5 Aug)
    GaBuZoMeu a dit :
    Bonjour,
    Soit $(E,d)$ un espace métrique tel que de tout recouvrement ouvert de $E$ on peut extraire un sous-recouvrement fini. Soit $(x_n)_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $E$. Pour tout entier naturel $n$, soit $F_n$ l'adhérence dans $E$ de $\{x_k\mid k\geq n\}$ ; la suite $(F_n)$ est une suite décroissante de fermés tous non vides.
    Les $F_n$ sont fermés par définition et la suite est décroissante car pour tout entier $n$, $F_n$ est inclus dans $F_{n+1}$ (à chaque étape on enlève des termes de la suite $(x_n)_{n\in \N}$ donc aussi des valeurs d'adhérences (? là je suis pas sûre)). Par contre, pourquoi les $F_n$ sont-ils non vides ?
    La suite $(E\setminus F_n)$ est une suite croissante d'ouverts qui ne peut pas recouvrir $E$, car sinon on aurait un recouvrement ouvert de $E$ sans sous-recouvrement fini.
    Ok pour "$(E\setminus F_n)$ est une suite croissante d'ouverts" (car les $(E\setminus F_n)$ sont les complémentaires des $F_n$ par contre je n'ai pas du tout compris la suite.
    Donc $\bigcap_{n\in \N} F_n\neq \emptyset$ et un point de cette intersection est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)$.
    Je n'ai pas tout compris. Comment sait-on que l'intersection n'est pas vide ? Comment sait-on que l'intersection contient une valeur d'adhérence ?


    Edit : Je me suis emmêlée les pinceau en l'écrivant mais je pensais à $F_{n+1}$ est inclus dans $F_n$ et non l'inverse dans la première phrase.
  • Modifié (5 Aug)
    "pourquoi les $F_n$ sont-ils non vides ? ". Parce que $F_n$ contient tous les $x_k$ avec $k\geq n$.
    "je n'ai pas du tout compris la suite". Posons $U_n=E\setminus F_n$. Si on avait $\bigcup_{n\in \N} U_n=E$, alors d'après l'hypothèse faite sur $E$ on aurait une sous-famille finie $(U_{n_1},\ldots, U_{n_p})$ avec $n_1<\cdots<n_p$ telle que $U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_p}=E$. Mais comme $U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_p}=U_{n_p}\neq E$, c'est impossible.
    "Comment sait-on que l'intersection n'est pas vide ?" Parce que l'intersection est le complémentaire dans $E$ de la réunion des $U_n$, dont on vient de voir qu'elle est différente de $E$.
    "Comment sait-on que l'intersection contient une valeur d'adhérence ?" Par définition des $F_n$, un point $\ell$ de l'intersection des $F_n$ est adhérent à tous les $\{x_k\mid k \geq n\}$ : pour tout entier naturel $n$ et tout $\epsilon >0$, il existe $k\geq n$ tel que $|\ell-x_k|<\epsilon$.
  • DomDom
    Modifié (5 Aug)
    En français : $F_n$ contient les termes de la suite sauf les $n-1$ premiers termes. Correction faite par GaBuZoMeu juste en dessous 😏 !
    On a notamment, pour tout entier naturel $n$, $x_n \in F_n$. Déjà, là, aucun $F_n$ n’est vide. 
    Ça ne répond pas à tout, j’en conviens.
  • Dom : de $0$ à $n-1$, ça fait les $n$ premiers. :D
  • Modifié (5 Aug)
    @agregagreg2
    1) Aucune idée. J'imagine que c'est (BL) => (BW) puisque c'est ce que GaBuZoMeu a prouvé en quelques lignes mais sans son intervention je n'aurais vraiment pas su dire (quand j'ai dit que je ne voyais pas le lien entre les deux définitions c'est que pour moi ce sont deux choses sans aucun rapport).
    2) a) Je dirais que comme $(U_i) _{i \in I}$ est un recouvrement de E alors pour tout $x \in E$, il existe un i tel que $x \in U_i$. Je n'ai pas compris ce qu'était D donc je peine à aller plus loin.
    b) J'ai l'impression que ça revient à montrer (BW) => (BL) justement à cause de la réunion finie mais c'est tout ce que je peux en dire.
    c) Je n'ai pas compris si on avait besoin de a) pour b) et que la conclusion étant dans b) ou s'il fallait assembler a) et b) pour conclure.


    Pour être sûre, les ensembles ci-dessous par exemple sont bien un recouvrement de $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle 
    - {$]-\infty; 0]$, $[ 0; +\infty[$}
    - {$]-\infty; -1]$, $] -3; 7]$, $\{42\}$, $[0; +\infty[$}
    - { $]-n; n[$ | $n \in \mathbb{N}$} ?
    Si j'ai un sous-ensemble de $\mathbb{R}$  et un recouvrement comment je fais pour en extraire un sous-recouvrement fini ?
  • Ce ne sont pas des recouvrements ouverts. Par ailleurs, $\mathbb R$ n'est pas compact et tu ne peux extraire aucun  sous-recouvrement fini du recouvrement ouvert par les $]n,n+2[$ pour $n\in \mathbb Z$.
  • Bonjour,
    non: les ensembles présentés ne sont pas ouverts, c'est un recouvrement mais pas un recouvrement d'ouverts.
    les ensembmbles donnés recouvrent $ \mathbb{R}$ et sont déja en nombre fini... ?
  • Modifié (5 Aug)
    @GaBuZoMeu @yawp
    A mince, j'avais zappé "ouvert". Je fais bien de poser la question, j'ai mal compris ces notions.
    Le dernier ensemble n'est pas fini, non ? (ou je n'ai pas bien compris ce que "fini" signifie)
    Donc si je change en :
    - {$]-\infty; 0 [$, $]-1; +\infty[$}
    - {$]-\infty; -1[$, $] -3; 7[$, $]0; +\infty[$}
    - { $]-n; n[$ | $n \in \mathbb{N}$} 
    ça marche ?
    Si je comprends bien, pour tout recouvrement d'ouverts de $\mathbb{R}$ il existera au moins deux ensembles dont l'intersection n'est pas vide ? Je pense à mon premier exemple, si j'avais mis {$]-\infty; 0 [$, $]0; +\infty[$} je ne recouvrait pas $\mathbb{R}$.

    "Par ailleurs, $\mathbb R$ n'est pas compact" : effectivement.. Je change ma question, si je prend un segment de $\mathbb{R}$, par exemple $[0; 1]$, comment puis-je trouver un recouvrement fini ?

    Je lis et digère les messages plus hauts et je vous réponds.

    Edit : Olala, merci @GaBuZoMeu, ce ne sont que des choses que je sais finalement ou des arguments que je comprends en les lisant mais j'aurais eu un mal fou à trouver toute seule.
  • Modifié (5 Aug)
    ... de tous les recouvrements que l'on peut faire, on peut à chaque fois en retirer un recouvrement fini
    GaBuZoMeu a exhibé un recouvrement dont on ne peut extraire un recouvrement fini.
    des trois recouvrement d'ouverts présentés, seul le dernier est un recouvrement non fini , dans un espace topologique séparé où les ouverts sont en nombres fini la compacité est acquise d'avance, pour montrer que quelque chose n'est pas compact il faut un recouvrement infini dont on ne peut extraire un recouvrement fini.
  • Oui j'ai fais exprès de donner deux recouvrements finis et un infini pour voir si j'avais bien compris ce qu'était un recouvrement (visiblement j'ai bien fait de vérifier). 
    Effectivement pour les 2 premiers exemples (à supposer qu'on prenne bien des ouverts..) qui était déjà fini il n'y avait pas de difficulté à en trouver un fini mais effectivement pour le troisième, qui était infini je ne voyais pas trop comment m'y rendre, et pour cause, $\mathbb{R}$ n'étant pas compact ce n'est peut-être pas possible. En fait, il faudrait que je commence par montrer que dans l'exemple donné par @GaBuZoMeu on ne peut pas extraire de recouvrement fini mais pour l'instant je n'ai aucune idée de comment m'y prendre.
  • prenez un recouvrement fini, et trouver un élément qui échappe au recouvrement (ce ne sont pas les impôts j'espère)
    je n'ai peut-être pas respecté les éléments de la charte ... enfin un modérateur avisera.
  • Je peux prendre ]0, 2[, c'est bien de la forme $]n,n+2[$ avec $n \in \mathbb{Z}$ il y a plein de réels qui ne sont pas dedans mais je ne vois pas en quoi ça me fait avancer. Bien sûr je pourrais essayer de faire la même chose en regardant tous les sous-recouvrements finis un par un mais j'ai l'impression que ça va me prendre pas mal de temps.
  • Modifié (6 Aug)
    L'implication réciproque n'est pas beaucoup plus compliquée.
    Soit $(E,d)$ une espace métrique tel que de toute suite d'éléments de $E$ on peut extraire une sous-suite convergente.
    Pour tout entier naturel $n$, Il existe un recouvrement fini de $E$ par des boules fermées de rayon $2^{-n}$. En effet, on pourrait sinon construire par récurrence une suite $(u_k)_{k\in \mathbb N}$ d'éléments de $E$ telle que, pour tout $k$, $u_k$ n'appartient pas à la réunion des boules fermées de centres $u_\ell$ de rayon $2^{-n}$ pour $\ell < k$ ; or, il est impossible d'extraire une sous-suite convergente d'une telle suite puisque la distance entre deux termes quelconques est toujours $>2^{-n}$.
    Soit $E=\bigcup_{i\in I}U_i$ un recouvrement ouvert ; supposons qu'il n'ait aucun sous recouvrement fini. Puisque $E$ est recouvert par un nombre fini de boules fermées de rayon $2^{-n}$, on peut choisir un élément $x_n\in E$ tel que la boule fermée de centre $x_n$ et rayon $2^{-n}$ ne soit contenue dans aucune réunion finie d'ouverts $U_i$. On extrait de la suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite $(x_{\varphi(n)})_{n\in \mathbb N}$ qui converge vers $z\in E$. Soit $U_{i_0}$ un ouvert du recouvrement contenant $z$. Pour $n$ suffisamment grand,  la boule fermée de centre $x_{\varphi(n)}$ de rayon $2^{-\varphi(n)}\leq 2^{-n}$ est contenue dans $U_{i_0}$ : absurde puisque cette boule n'est contenue dans aucune réunion finie d'ouverts $U_i$.


  • Modifié (6 Aug)
    Bonjour Lol_a.
    J'ai l'impression que tu passes ton temps à baratiner autour des définitions, sans jamais vraiment les lire. Les lire, c'est-à-dire mettre en tête tous les éléments, toutes les hypothèses, toutes les conclusions. Après, tu peux toujours dire que tu ne comprends pas, c'est facile, tu n'as rien fait pour commencer à comprendre. Ton $]0,2[$ du dernier message est caractéristique :  il n'est pas compact, et le fait qu'il y ait "plein de réels qui ne sont pas dedans" n'apporte pas d'information utile (sauf peut-être qu'il y a une confusion dans ta tête).
    Essaie de reprendre très sérieusement.
    Tu as vu ce qu'est un recouvrement. Revois bien la définition (par les recouvrements ouverts) de la compacité.
    * Peux-tu démontrer que $\mathbb R$ n'est pas compact, donc qu'il existe un recouvrement de $\mathbb R$ dont tu ne peux extraire un recouvrement fini ? Une piste : l'exemple que tu donnais ci-dessus est un recouvrement infini et tu peux prouver par l'absurde qu'on ne peut pas se contenter d'un sous-ensemble fini, puisqu'il ne sera pas un recouvrement - je te laisse rédiger, c'est facile.
    * Essaie de démontrer que $[0,2]$ est compact en considérant un recouvrement par des ouverts de $[0,2]$, donc des ensembles $U\cap [0,2]$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb R. Dans un premier temps, tu peux te limiter aux ouverts qui sont des intervalles. Le cas des ouverts de $[0,2]$ qui contiennent 0 ou 2 est à examiner de près.
    Ces questions sont délicates, il faut s'appliquer à bien raisonner, c'est-à-dire que l'on ne fait qu'appliquer les règles mathématiques strictement, sans interpréter en fonction de ses désirs.
    Bon courage !
  • Pourquoi tant de condescendance ? J'ai énormément de difficulté à apprendre l'analyse, surtout seule. Tout est confus pour moi et c'est pour ça que je viens chercher de l'aide sur un forum, pas pour qu'on me dise que je ne veux qu'interpréter en fonction d'e mes désirs ou que je ne fais aucun effort pour comprendre.
    Bref. Bonne continuation.
  • Modifié (6 Aug)
    Ce n'est pas de la condescendance, mais la pure et simple réalité. On ne peut éviter la confusion qu'en connaissant très précisément les définitions et en appliquant très strictement les règles. On est tous passé par là.
    Et où as-tu vu qu'on disait "que je ne veux qu'interpréter en fonction d'e mes désirs ou que je ne fais aucun effort pour comprendre" ?? Ne lis pas les réponses de travers, lis seulement ce qu'elles disent, sans prendre pour toi tout exposé de méthode incorrecte.
    Maintenant, si tu n'es pas prête à accepter la critique ...
    Cordialement.
  • Modifié (6 Aug)
    En avançant sur le Danter j'ai trouvé cette définition d'un espace métrique compact : "Un espace métrique (E, d) est compact si toute suite de E admet une sous-suite convergente.".
    Or, dans d'autres ouvrages ou sur internet, je tombe parfois sur la définition suivante : "Un espace topologique (X, T ) est dit compact si tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrement fini.".
    Accroche toi à une unique référence pour l'instant car travailler de front sur plusieurs livres et aussi sur wikipedia sur un sujet aussi délicat que la topologie est un peu mission impossible quand on débute tant les cadres sont variés.
    PS pour la modération : ceci est une courte citation permettant de suivre plus facilement la discussion. Merci d'avance.
  • @gerard0 Je n'ai fais que reprendre votre message. En parlant de lire de travers les réponses, je n'ai jamais dis que ]0, 2[ était compact, je ne faisais que répondre à d'autres intervenants.

    @GaBuZoMeu Merci, je vais réessayer de comprendre à tête reposée, pour l'instant je suis un peu bloquée sur le dernier paragraphe. J'ai beaucoup de mal avec les démonstrations d'analyse en général et il me faut souvent beaucoup de temps et de recul pour les comprendre.

    @JLapin
    Merci pour ton message. En fait dans le Dantzer on ne parle que des espaces métriques compacts avec la définition donnée plus haut. A moins que je sois passée à côté, du fait de mon ignorance et de mes difficultés de compréhension, il ne semble fait allusion nulle part à l'autre définition. C'est en cherchant un contre-exemple à la réciproqueà la propriété ci-dessous dans un autre livre que je suis tombée sur l'autre définition.
    "Soient (E, d) un espace métrique et A une partie de E. 
     Si A est une partie compacte de E, alors A est un fermé borné de E."

    Sinon, j'avais essayé à plusieurs reprises le Queffélec mais j'ai toujours été larguée dès les premiers paragraphes du chapitre 1 qui parlent pourtant de $\mathbb{R}$. 
  • R n'est pas compact, pourquoi ?

    Et que penses-tu de R barre ? 
  • Modifié (8 Aug)
    Lol_a a dit :
    @JLapin. Merci pour ton message. En fait dans le Dantzer on ne parle que des espaces métriques compacts avec la définition donnée plus haut. A moins que je sois passée à côté, du fait de mon ignorance et de mes difficultés de compréhension, il ne semble fait allusion nulle part à l'autre définition. C'est en cherchant un contre-exemple à la réciproqueà la propriété ci-dessous dans un autre livre que je suis tombée sur l'autre définition.
    C'est bien ce que je disais : étudier la topologie dans de multiples ouvrages (apparemment, 2 c'est déjà trop) quand on débute ne me semble pas la meilleure chose à faire. Certains ouvrages vont répondre à des questions simples en donnant des arguments reposant sur des prérequis que tu n'auras pas dans d'autres ouvrages (ici, ces histoires de recouvrement par des ouverts).
    Si tu as choisi le Dantzer pour démarrer, ne change pas en cours de route. Quand tu auras plus d'expérience, tu pourras jongler avec profit entre différents ouvrages.
  • Modifié (8 Aug)
    Malheureusement je manque de temps car j'ai enfin obtenu un congé de formation pour préparer l'agrégation interne ce qui implique une période financière très compliquée alors que je suis déjà dans le rouge tous les mois. J'aimerais donc profiter de ce congé pour m'investir au maximum et enfin obtenir un salaire qui me permette de vivre correctement. Cela fait déjà plusieurs années que j'essaye de m'y mettre sans trop trouver le temps et la notion de compact (ainsi que les autres notions de topologie, et d'autres notions d'analyse comme les bornes sup.) sont des notions que j'ai mis des années à appréhender.
    Bon "heureusement", le programme de l'agrégation interne ne semble parler de topologie que dans le cadre des espaces métriques (et des e.v.n.) mais pour ma culture personnelle j'aurais voulu en savoir plus. Merci @GaBuZoMeu, je garde tes réponses sous le coude et les retravailleraient pour me les approprier.
    @julian
    “R n'est pas compact, pourquoi ?” : j'ai envie de répondre, parce que $\mathbb{R}$ n'est pas borné. Ainsi, on peut trouver des suites qui tendent vers $+\infty$, comme la suite $(n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou encore  $(n + (-1)^n )_{n \in \mathbb{N}}$  et qui par conséquent n'admette pas de sous-suite convergente.
    En effet, soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite qui tend vers $+\infty$. Soit A un réel positif.
    Il existe un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n \geq n_0$, $u_n \geq A$.
    Soit $(u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite de $(u_n)$, on a alors pour tout entier $n$, supérieur à $\phi{(n_0)}$, $u_{\phi(n)} \geq A$.
    Ainsi, $(u_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ n'est pas bornée et ne peut donc pas converger. 
    "Et que penses-tu de R barre ? " : Je pense que R barre est compact car si on prend une suite de R barre, soit elle est bornée (par un réel, est-ce qu'il faut préciser ou est-ce que dans ce cas on peut dire qu'une suite est bornée par $+\infty$ ?) et dans ce cas on peut en extraire une sous-suite convergente (Bolzano-Weirstrass), soit elle ne l'est pas et dans ce cas on peut construire une sous-suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon les cas en ne gardant que les termes qui nous intéressent.
    Par exemple, si une suite $(u_n)$ de R  barre n'est pas majorée (par un réel) alors on peut construire une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ avec $\phi (0) = 0$ et pour tout entier n, $\phi (n+1) = min \{ m | m  > n \text{ et }  u_m > u_\phi(n) \}$. Cette sous-suite va tendre vers $+\infty$ qui est un élément de R barre. On peut faire le même raisonnement avec $-\infty$ si u n'est pas minorée.
    Voilà, en espérant ne pas avoir dit trop de bêtises  :#
  • SocSoc
    Modifié (8 Aug)
    Pour mieux comprendre la topologie, il faut se dire que c'est une généralisation de la notion de distance. Quand tu mets une distance sur un espace, tu obtiens une quantification de la position des points qui te permet ensuite de définir des notions de limite et d'ouvert.
    La topologie c'est chercher à obtenir ce même contexte sans la quantification offerte par la distance.
    Du coup au lieu de définir des ouverts à partir de la distance, tu te les donnes dès le début, et tu vois ce que tu arrives à construire avec.
    Et là, de façon peu intuitive pour moi, tu constates que la notion de compacité ne nécessitait pas vraiment de quantification.
  • Modifié (9 Aug)
    Pour l'agrégation interne on peut oublier les recouvrements et plus généralement la "topologie générale". On ne fait de la topologie que dans des espaces vectoriels normés.
  • En effet Math Coss. 
    Toutefois il me semble que le programme parle aussi de topologie dans les espaces (plus généralement) métriques. 
  • Effectivement, le programme dit " 10.3 Espaces métriques compacts  Définition séquentielle. [...]". En revanche pas de trace de "propriété de Borel-Lebesgue". Je vais continuer à avancer en espérant qu'avec le temps et le recul, je comprendrais mieux les notions d'espaces topologiques et on verra bien.
    Merci pour vos réponses.
  • J’ai lu les deux écoles, sur ce site d’ailleurs, me semble-t-il. 
    1) d’abord travailler à fond les métriques puis passer aux topologies plus générales. 
    2) d’abord faire de la topologie plus abstraite pour comprendre la topologie dans les espaces métriques. 

    Pour ma part, c’est plutôt le « 1) » mais c’est surtout parce que j’ai appris dans cet ordre. Donc on est au delà de la subjectivité.
    Cela dit, le « 1) » pose problème quand on s’attaque aux énoncés sans métrique-epsilon-delta car on ne sait plus démarrer. Les réflexes sont inopérants. Ce doit être notamment pour ça qu’il existe l’école « 2) », me dis-je. 
  • BL n'est pas dans le programme, mais tu peux le travailler en exo, c'est fait dans le Auliac-Caby je crois.  

  • Modifié (10 Aug)
    Ok, merci pour l'information. Je jetterais un coup d'œil quand les BU rouvriront. 

    @Dom Bonne question. Du peux que je connais la topologie générale et la topologie dans un espace métrique me paraissent bien différentes passées les définitions d'ouvert et de fermé. Je pense que ça doit dépendre de l'objectif recherché. Si j'avais plus de temps j'aurais bien opté pour le 2). 
  • Dans la dichotomie de Dom j'ajouterais pour l'interne une option 3 : travailler la topologie dans les métriques y ya basta.
  • Disons que ce n'est pas mon genre de m'arrêter aux limites d'un programme quand j'apprends des nouvelles choses. Si je me pose une question j'essaye d'approfondir et après, soit la réponse est à ma portée, soit elle ne l'est pas. Ici, pour l'instant du moins, elle ne l'est pas.
    Ce n'est pas grave du coup mais si j'avais compris ça aurait pu me faire un exercice comme suggéré par @agregagreg2. D'ailleurs, j'irais jeter un œil à l'ouvrage dont il m'a parlé. Peut-être que d'ici là, et grâce aux réponses que j'ai eu dans ce sujet, je comprendrais un peu mieux.
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