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Médianes d'un triangle

Modifié (5 Aug) dans Géométrie
Bonjour
L'exercice suivant est-il encore faisable au collège ?
Dans un triangle $ABC$ les céviennes $(BK), (CL)$ se coupent en un point $G$ intérieur au triangle ; démontrer que $GL/GC = GK/GB = 1/2 \Longleftrightarrow KA = KC,\ LA = LB$.
A+

Réponses

  • Modifié (5 Aug)
    Les céviennes au collège ???
    Même moi qui ai étudié à l'époque où la géométrie de lycée faisait plus de la moitié du programme, je n'ai rencontré ce mot qu'ici, sur le forum géométrie.
    Peut-être retraduit dans un vocabulaire adéquat cet exercice aurait-il été faisable à mon époque. Pour le collège actuel, tu ferais bien d'en lire les programmes ...
    Cordialement.
  • Je ne connaissais pas la cévienne donc il faudrait changer ce nom, sinon, techniquement je n'y vois que du théorème de Thalès dans les deux sens donc à priori oui. Je trouve l'exo intéressant d'ailleurs, j'essaierai de le poser cette année en fonction de la classe que j'ai !
  • On peut reformuler ainsi :
    Dans un triangle $ABC$, on place un point $K$ sur le segment $[AC]$ et un point $L$ sur le segment $AB$.
    On note $G$ le point d'intersection des droites $(BK)$ et $(CL)$.
    1. Dans cette question, on suppose que $KA=KC$ et $LA=LC$.
      • Montrer que $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
      • En déduire que $GL/GC=1/2$ et $GK/GB=1/2$.
    2. Dans cette question, on suppose que $G$ est à l'intersection des segments $[BK]$ et $[CL]$ et que $GL/GC=1/2$ et $GK/GB=1/2$.
      • Montrer que $K$ est le milieu du segment $[AC]$ et $L$ celui du segment $[AB]$
      • En déduire que $KA=KC$ et $LA=LB$.
    Écrit sous cette forme, il est possible que quelques bons élèves arrivent à s'en sortir... mais ce n'est pas certain.
  • Le centre de gravité n’est plus au programme de collège.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (5 Aug)
    Effectivement, le centre de gravité n'est plus au programme. J'aurais plutôt vu les choses ainsi :
    Avec l'énoncé de bisam.

    1. Faire une figure.
    2. Dans cette question, on suppose que GL/GC=1/2 et GK/GB=1/2.
    a) Que peut-on dire des droites (LK) et (BC) ? 
    b) En déduire les rapports AL/AB et AK/AC.
    c) En déduire que L est le milieu de [AB] et K est le milieu de [AC].
    3. Dans cette question, on suppose que KA=KC et LA=LC.
    a) Calculer AL/AB et AK/AC.
    b) Que peut-on dire des droites (LK) et (BC) ?
    c) En déduire que GL/GC=GK/GB=1/2

    La 2b) serait la plus problématique je pense.
  • RE
    On peut généraliser en remplaçant $1/2$ par $p/q$.
    A+
  • Bonjour,

    ''le centre de gravité n'est plus au programme''...et autres...
    Qui sont les responsables? les comités des programmes depuis plusieurs décennies et plus précisément leurs membres à savoir I.G., I.P.R. et autres aventuriers et tous au barème...voilà les véritables fossoyeurs...Je devais le dire!!!

    Sincèrement
    Jean-Louis
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