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Recherche d'exemples d'illustration de la définition de solution d'un problème universel

Modifié (5 Aug) dans Catégories et structures
Bonjour
Je découvre la théorie des catégories. 
Je viens tant bien que mal d'apprendre la définition suivante : 
Soit $F$ un foncteur de la catégorie $\mathcal{C}$ dans la catégorie $\mathcal{D}$. Soit $X$ un objet de $\mathcal{D}$. On appelle objet de  $\mathcal{C}$ attaché à $X$ par le foncteur $F$ un couple $(A,u)$, où $A$ désigne un objet de $\mathcal{C}$ et $u$ une flèche de $X$ dans $F(A)$ telle que pour tout objet $A'$ de $\mathcal{C}$, l'application :  $$ \begin{cases}  Hom(A,A') &\to \ Hom(X,F(A'))\\ h &\mapsto \ F(h)u \end{cases}$$ est une bijection.
No comment ! 
La notion de problème universel m'intéresse car ici, l'auteur commence son livre par des exemples assez nombreux de problèmes universels qui m'ont intéressé (en particulier dans l'exemple 0.2 je crois, il définit la notion d'objet initial, rappelle que $Z$ est un objet initial de la catégorie des anneaux et montre que la démo de ce résultat ne dépend pas de la structure d'anneau ; il montre d'autres exemples relativement simples où, intuitivement, on comprend bien ce qu'est un "problème universel".
Mais la définition formelle rappelée plus haut est un choc pour moi en tout cas. À force de la relire, j'arrive à l'apprendre par cœur, je fais des dessins, mais il me manque quelques exemples bien choisis pour commencer de l'assimiler(sinon, au moins j'aurais progressé en LaTex :)
J'en tiens UN fourni par Poitou-Jaffard(1971) :
Soit $\mathcal{D}$ la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, $\mathcal{C}$ celle des corps commutatifs et $F$ le foncteur d'inclusion de $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{D}$. Étant donné un anneau $A$, notons $K$ le corps des fractions de $A$ et $u$ l'homomorphisme d'inclusion de $A$ dans $K$. Cela paraît simple de démontrer que $(K,u)$ est un objet de $\mathcal{D}$ attaché à $A$ par $F$.
Les autres exemples fournis par Jaffard-Poitou me sont moins parlants.
Disposez-vous d'exemples relativement simples mais particulièrement parlants pour illustrer la définition fournie ? Bref le genre d'exemple qui marche à tous les coups ?
Cordialement,

Réponses

  • Modifié (5 Aug)
    Salut
    Je tente un exemple, mais pas vérifié entièrement. 
    On peut prendre $\mathcal{D}$ la catégorie des ensembles et $X := \{ \emptyset \}$.  Pour $\mathcal{C}$, on va prendre la catégorie des groupes. Pour $F$ on va prendre le foncteur $ F : \text{Grp} \to \text{Ens}$ donné par $G \mapsto \{ (a,b) \in G^2 \mid a^2 = b^4 = (ab)^2= e \}$. 
    On note $\mathbb{D}_4 := \langle x, y \mid x^2 = y^4 = (xy)^2 = 1 \rangle$, donc le groupe diédral de cardinal $8$. Et $u : \{\emptyset\} \to F(\mathbb{D}_4)$ donné par $\emptyset \mapsto (x,y^3)$. Et bien $(\mathbb{D}_ 4,u)$ est un objet de la catégorie de $\mathcal{C}$ attaché à $X$ par le foncteur $F$, j'ai bon ?
  • Modifié (5 Aug)
    @flipflop : salut et merci de ton aide (  :p )
    Je suis gêné par un détail de notations : 
    $\mathbb{D}_4$ est le groupe (défini à un isomorphisme près) engendré par deux éléments $x$ et $y$ tels que $x^2 = y^4 = (xy)^2 = 1$
    $\mathbb{D}_4 := \langle x, y  \rangle$ 
    par exemple le groupe des symétries du carré où $x$ désignerait une symétrie orthogonale et $y$ une rotation d'un quart de tour.
    C'est bien ça ?
  • Modifié (5 Aug)
    Salut
    Oui c'est ce que j'avais en tête pour $\mathbb{D}_4$.
  • Modifié (5 Aug)
    @flipflop : si je comprends bien, $F(\mathbb{D}_4) = \{(x,y),(x,y^3),...\}$ et $u$ est l'application $\{\varnothing \} \to F(\mathbb{D}_4)$ définie par $\varnothing \mapsto (x,y^3)$. Un élément de $F(\mathbb{D}_4)$ presque pris au hasard on dirait.
    c'est ça ?
  • Salut, 

    Pas totalement au hasard tout de même, je n'ai pas pris $(e,e) \in F(\mathbb{D}_4)$ !  
  • Modifié (5 Aug)
    Les exemples dépendront de ce que tu connais. Par exemple, connais-tu la notion de produit tensoriel ? Si oui, ça peut donner un très bel exemple. 
    Un exemple du même genre que celui de flipflop (vu que tu aimes bien les anneaux !) c'est le foncteur qui envoie un anneau commutatif $A$ sur l'ensemble $A^n$. Ou peut-être $\{(x,y) \in A^2\mid x^2+y^2 = 1\}$, ou encore $\{(x,y,z) \in A^3\mid x^4+y^4 = z^4\}$. 
    Le premier est représenté par l'anneau polynomial $\mathbb Z[X_1,\dots,X_n]$ et les éléments universels $X_1,\dots,X_n$. 
    Le second, par le quotient $\mathbb Z[X,Y]/(X^2+Y^2 -1)$ - je te laisse deviner l'élément universel- , et le troisième je te laisse tout deviner. 
  • @Maxtimax: malheureusement, je ne connais pas la notion de produit tensoriel. Mais je vais jeter un coup d'oeil. (c'est très plaisant cet aspect de l'étude des catégories); merci
    @flipflop : ok (j't'avoue que j'avais un peu laissé tomber l'affaire mais du coup je vais m'y remettre). Intuitivement, j'avais l'idée que si un anneau possède deux éléments $x$ et $y^3$, alors on allait pouvoir en déduire quelque chose juste en faisant une permutation avec ceux de $\mathbb{D}_4 $... c'est une idée vague, peut-être fausse. L'intérêt que je vois à ton exemple est d'obliger à "rentrer dans le mécanisme de la définition"; je vais essayer de le faire. Mais si je patauge de trop, je laisse béton.
  • Modifié (5 Aug)
    @flipflop : il me semble qu'il manque un truc : tu n'as pas dit quel est l'effet du foncteur sur un morphisme de groupes. 
    Je commence à bien tenir ton exemple. Mais soit $h$  l'unique morphisme de $\mathbb{D}_4$ que nous souhaitons avoir [il suffira pour cela de définir huit images, celle de $e,y,y^2,y^3,xy,yx,xy^2$ suivant la valeur de la fonction $f$ envisagée entre $X$ et $F(G)$, ici tout simplement l'image de $\varnothing$ par $f$. Il faut savoir ce qu'est $F(h)$, ce que tu n'as pas précisé. Comment définis-tu l'image d'un morphisme de groupes pour le foncteur $F$ ?
  • Effectivement je n'ai pas précisé. Donc si $\phi : G \to G'$ est un morphisme de groupe $F(\phi): F(G) \to F(G')$ est l'application $(a,b)  \mapsto (\phi(a), \phi(b))$. 
  • @flipflop: en reprenant les notations de la définition que j'ai fournie, si $F(A')$ est réduit à $\{(e,e)\}$, on aura nécessairement $F(h)(x,y^3)=(h(x),h(y^3))=(e,e)$ et il est facile de voir que $h$ est nécessairement alors le morphisme qui envoie tous les éléments de $\mathbb{D}_4$ sur $e$. Pour l'instant, ce que tu avances tient. c'est bon? [je t'avoue que j'ai l'impression d'avancer un peu à l'aveugle et doute d'atteindre la fin du tunnel et d'avoir l'illumination via cet exemple, mais bon... j'vais ptêt continuer si tu m'encourages à le faire]
  • Je passe les cas "intermédiaires" et en viens à examiner le cas où $F(G)$ est isomorphe à $\mathbb{D}_4$. Suivant le choix de $f(\varnothing)$ dans $F(G)$, sans l'établir rigoureusement, convenons, @flipflop, qu'on va obtenir pour $Im(h)$ tous les sous groupes de $G$, en particulier $G$ lui-même si $f(\varnothing)=(a,b^3)$.
    En quoi cet exemple m'a -t-il éclairé sur la notion de problème universel ?
  • Modifié (5 Aug)
    Bonjour,
    flipflop a vicieusement compliqué son exemple en prenant $(x,y^3)$ au lieu de $(x,y)$ comme couple distingué dans $\mathbb D_4$.
    Un exemple assez simple : soit $\mathcal C$ la catégorie des $\mathbb R$-espaces vectoriels $\mathcal D$ la catégorie des ensembles et $F : \mathcal C\to\mathcal D$ le foncteur "ensemble sous-jacent" (et "application ensembliste sous-jacente"). Soit $X$ un ensemble. Alors $\mathbb R^{(X)}$ (l'espace vectoriel des applications à support fini de $X$ dans $\mathbb R$), avec l'injection $X\hookrightarrow F(\mathbb R^{(X)})$ qui envoie $x\in X$ sur l'application $X\to \mathbb R$ qui vaut 1 en $x$ et 0 partout ailleurs, est "l'objet de $\mathcal C$ attaché à $X$ par $F$".
    Une manière alambiquée de dire qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base.
  • stfj a dit :
    Soit $\mathcal{D}$ la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, $\mathcal{C}$ celle des corps commutatifs et $F$ le foncteur d'inclusion de $\mathcal{C}$ dans $\mathcal{D}$. Étant donné un anneau $A$, notons $K$ le corps des fractions de $A$ et $u$ l'homomorphisme d'inclusion de $A$ dans $K$. Cela paraît simple de démontrer que $(K,u)$ est un objet de $\mathcal{D}$ attaché à $A$ par $F$.
    Ben non, ça ne va pas, sauf si on remplace "unitaires" par "intègres" et qu'on prend pour $\mathcal D$ la catégorie des anneaux commutatifs intègres avec morphismes injectifs.
  • Modifié (6 Aug)
    @stfj : Salut, je n'ai pas compris tes derniers messages. Reprenons. Tu dois prouver qu'une certaine application est une bijection, on va déjà écrire l'application en question histoire d'y voir quelque chose.  $$ \text{Hom}(\mathbb{D}_4,G) \longrightarrow \text{Hom}(\{\emptyset\}, F(G))$$déjà à droite, on peut simplifier les choses car $\{\emptyset\}$ est de cardinal $1$ donc on a une bijection $\text{Hom}(\{\emptyset\},F(G) \simeq F(G)$ donné par $f \mapsto f(\emptyset)$. Bilan on va oublier le $\text{Hom}(\{\emptyset\},F(G))$ et conserver $F(G)$. $$ \text{Hom}(\mathbb{D}_4,G) \longrightarrow  F(G)$$Bref notre application est donnée de la manière suivante, pour un morphisme de groupe $f : \mathbb{D}_4 \to G$  on associe le couple $((f(x),f(y^3))$. Du coup, deux choses à faire : 
    1/ Pourquoi ce couple est bien dans $F(G)$ ? 
    2/ Montrer qu'il s'agit d'une bijection.
  • @flipflop: je te laisse faire les deux choses que tu proposes. J'ai compris ce que je souhaitais comprendre. Tu n'as pas écrit l'application 
    $$\text{Hom}(\mathbb{D}_4,G) \longrightarrow \text{Hom}(\{\emptyset\}, F(G))$$ entièrement puisque tu ne précises pas l'effet sur un élément
    $$f \mapsto F(f)u $$ Ensuite, comme tu l'écrit, $X$ étant réduit à un singleton n'ayant que $\varnothing$ comme élément, $$\text{Hom}(\{\emptyset\},F(G)) \simeq F(G)$$
    Merci beaucoup pour ton aide : ces artifices sont justement ceux que je recherchais pour faire le lien avec les exemples simples fournis par Tom Leinster dans le lien que j'ai fourni dans ma question initiale pour illustrer la notion de propriété universelle.
    (Par exemple, une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base.
    Je pense qu'en adaptant ton exemple, on peut parfaitement l'illustrer quasiment comme dans l'exemple que tu as proposé.)
    Pour moi, cela a été une recherche intéressante. Par exemple, en relisant des posts précédents, un contributeur propose un lien vers une page de Bourbaki écrite par Serre et Eilenberg, où l'on retrouve cette définition alambiquée de solution d'un problème universel (en pire :) ). Il fallait qu'ils fissent le travail mais heureusement maintenant c'est relativement plus simple. @+
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