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Pourquoi fait-il frais dans une cave ?

Bonjour,
je voudrais une modélisation la plus simple possible du problème de la température dans une cave (et comprendre pourquoi dans certains cas, la température y est constante, été comme hiver). Je me disais qu’on peut considérer le problème de l’équation de la chaleur sur une demi-droite : le sol est l’origine de la demi-droite et on imagine que la demi-droite s’enfonce dans le sol.
La condition au bord prescrit la température à l’origine (le soleil chauffe le sol, beaucoup en été, peu en hiver) et on s’intéresse à comment la chaleur se propage le long de la demi-droite.
J’ai un peu essayé mais n’y suis pas vraiment arrivé : la méthode que je connais marche quand la condition porte sur l’origine des temps, et pas sur l’origine de l’espace. Faut-il remplacer Fourier par Laplace ? Changer de problème à étudier ?
Merci !

Réponses

  • C'est pas une question d'épaisseur de peau thermique ?
  • Modifié (4 Aug)
    Bonjour
    Déjà c'est faux. S'il suffisait de mettre des bouteilles de vin dans une pièce pour qu'elle soit fraîche, il y aurait des bouteilles de vin dans toutes les pièces en ce moment. Évidemment, c'est faux.
    Ensuite, il y a inversion de la cause et la conséquence. C'est parce que le vin a besoin de température modérée que l'on choisit des pièces fraîches, que l'on appelle "cave".
    Enfin, l'air chaud monte. La cave est souvent la pièce la plus basse d'une propriété.
  • Modifié (4 Aug)
    Très bonne question ! lors de la modélisation thermique de ma maison, j'ai du résoudre ce pb. Je l'ai résolu de façon empirique en considérant que la température de la terre de ma cave est :
    0,2* (moyenne sur 40 jours des moyennes journalières) + 0,8 * (moyenne sur 50 jours des moyennes journalières)
    la moyenne sur 50 jours est censée correspondre à la terre "profonde", et celle à 40 jours à la terre "supérieure".
    Mais je suis preneur d'une formule moins empirique !
    La température de la terre de la cave, est ce qui exerce la plus forte influence sur la température de l'air de la cave (ça, ce n'est pas empirique, je l'ai modélisé).
    Bien sûr, je m'en excuse, pour la terre, ce n'est pas un raisonnement scientifique, juste de la cuisine. Le pb est fascinant : j'ai lu qu'en creusant suffisamment profond, et avec des appareils de mesure hyper sensibles, on est capable de retrouver la trace de l'onde thermique de la dernière glaciation !
  • Modifié (4 Aug)
    Bonjour Georges.
    Les caves qui ont une température uniforme sur l'année sont profondément enterrées (à quelques mètres sous le sol la température de la terre est assez uniformément environ 12°) et jamais ouvertes. Car rien que l'ouverture de la porte fait entrer de l'air généralement plus chaud (*).
    Sinon, tu peux effectivement traiter le problème de la propagation de la chaleur le long d'une tige ayant une source froide constante (la terre profonde) à une extrémité et une source variable, en moyenne plus chaude, à l'autre. Mais le long de la tige, tu ne trouveras pas de température constante (sauf à la source froide) seulement des variations de plus en plus faibles au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source variable.
    Donc tu vises un absolu inatteignable, par confusion entre "température uniforme" et "température uniforme à la précision des mesures.
    Cordialement.
    Même au fond du gouffre de Padirac, dans les galeries éloignées de l'entrée, le passage des visiteurs fait varier la température avec une composante journalière.
  • Merci ! c'est ce que je n'avais jamais réussi à trouver !

  • Modifié (4 Aug)
    Je l'ai regardée rapidement et on dirait que c'est bien la réponse attendue :  la température varie moins en bas... (comme un ressort qui absorbe les chocs ?)
  • Modifié (4 Aug)
    Bonjour,
    Dans un milieu donné, le temps que met la chaleur pour être transportée par conduction thermique sur une distance $\ell$ est de l'ordre de $\tau=\ell^2/D$, avec $D$ la diffusivité thermique $D$ du milieu. Preuve à la physicienne : la dimension de $D$ est une longueur au carré divisée par un temps :mrgreen: . Or $D = \frac{\lambda}{\rho c_P}$ avec : 
    • $\lambda$ la conductivité thermique, égale à $0{,}75\,\mathrm{ W.m^{-1}.K^{-1}}$ pour la terre crue d'après https://fr.wikipedia.org/wiki/Terre_crue,
    • $\rho$ la masse volumique, égale à $2000\,\mathrm{ kg.m^{-3}}$ pour la terre crue,
    • et $c_P$ la capacité thermique massique, égale à $900\,\mathrm{J.kg^{-1}.K^{-1}}$ pour la terre crue.
    Ce sont des valeurs approximatives car elles peuvent dépendre de si la terre est plus ou moins compacté, mais ça donne $D\approx 5\cdot 10^{-7}\mathrm{m^2.s^{-1}}$. Donc pour $\ell = 50\,\mathrm{cm}$, on a $\tau \approx 7 \text{ jours}$. Et pour $\ell = 1\,\mathrm{m}$, on a $\tau \approx 28 \text{ jours}$.
    Bon, je m'attendais à avoir un peu plus. Avec ces valeurs, on n'a pas l'impression que la température sera constante. Ou peut-être que ça n'est pas la bonne modélisation.
  • Modifié (4 Aug)
    On doit modéliser selon la périodicité de l'éclairage du soleil (il fait plus chaud en été qu'en hiver). Je pense donc que ma première réponse est ce que tu recherches. On se place en régime sinuisoïdal forcé (Fourier), et on trouve une distance caractéristique à partir de laquelle la température sera à peu près constante, qu'on appelle épaisseur de peau (car c'est un effet de peau). Elle s'exprime par :
    $\delta = \sqrt{\frac{2}{\lambda \rho w}}$
    avec $w$ la pulsation du phénomène périodique de variation de la température du sol de la Terre.
  • Une version simpliste: parce que la cave ne contient pas assez de chaleur pour réchauffer la masse de terre qui est énorme. Donc la cave donne sa chaleur à la terre sans pour autant la réchauffer et petit à petit sa température tend vers celle de la cave... sauf si elle est nourrie par ailleurs en air chaud. Plus elle est enfoncée et hermétique plus elle sera fraiche avec une température proche de celle de la terre qui l'entoure (ou de la pierre qui l'entoure).
  • Modifié (4 Aug)
    Ça m'a l'air d'être une bonne idée @Bibix. Mais je crois que la formule est plutôt $\delta = \sqrt{2D/\omega}$. Avec une pulsation correspondant à une période d'un jour,  j'obtiens $\delta = 12\,\rm cm$. Et pour une pulsation annuelle, j'ai $\delta = 2{,}2\,\rm m$. Mais ça reste grand.

    Edit : en fait, cette façon de faire se rapproche de la mienne puisque mon $\tau=\ell^2/D$ équivaut à $\ell = \sqrt{D\tau}$, qui n'est pas loin de $\sqrt{2D/\omega}$ avec $\omega :=\pi/\tau$ (si $\tau$ représente la durée d'un demi cycle).
  • De mémoire c'était traité dans un bouquin de première année de physique en DEUG. Des calculs de physicien et une interprétation plutôt intéressante.
  • DomDom
    Modifié (4 Aug)
    On met des bouteilles d’eau au congélateur. 
    On entoure la pièce avec, sur le sol, comme une plinthe. 
    Bon, il en faut beaucoup, premier problème…
    Mais est-ce suffisant pour gagner un degré ? 

    Je n’y connais absolument rien. 
    Je tente de proposer des trucs par rapport à la conjoncture actuelle. 

    Avantage : la glace de se perd pas, on recongèle…
    J’imagine aussi que le congélo ne consomme pas davantage, si ? Beaucoup plus ? On parle ici d’un gros congélateur « Pro » (sorte de buffet froid mais rien à voir avec le film 🤣).

    édit : j’ai mélangé les deux discussions (cave fraîche et canicule). 
  • Le congélo est-il dans la pièce ou en dehors, parce que lui ne refroidit pas la pièce :)
  • Le congelo est ailleurs. 
    (Dans la cave pour revenir habilement dans le fil 🤣)
  • Le congélo dans la tête croyez moi que ça ne réchauffe plus rien et la canicule on est bien content quand elle est là.
    Mais sinon oui un congélateur peut dégager beaucoup de chaleur (et pour faire des maths c'est pas l'idéal).

    Insiderkomitee zur Förderung der kritischen und aneignung der Geschichte des MfS, Berlin 25_11_2010
    Ce jour là Dieter Skiba avait parlé une vingtaine de secondes mais ça suffisait largement!
    Je m'en rappelle encore, je n'avais rien à faire là mais Skiba allait dire quelque chose!
  • @Bibix : dès qu’il y a des mots savants, c’est râpé pour moi, désolé.

    @PetitLutinMalicieux : rien compris, sauf si c’est de l’humour !

    @urmk : je veux juste m’amuser à résoudre une équation un peu motivée :)

    @gerard0 : oui, oui, je veux juste voir tout ça apparaître à la fin d’un calcul !

    @raoul.S : merci, je regarde ça.

    @Calli : merci pour ces données, ça devrait me servir à la fin. En tout cas j’avais le souvenir d’une histoire de deux mètres !

    @JLT : merci !

    @Soc : merci mais pas assez de maths :)

    @Sato : si tu as une référence précise… Je n’ai jamais ouvert de tel bouquin !
  • Modifié (7 Aug)

    En fait la température journalière n’est pas en toute rigueur une sinusoïde. On peut cependant l’approximer par une sinusoïde (c'est ce que je fais dans mon modèle) en raccordant des morceaux de sinusoïde obtenus à partir des températures MIN et MAX de la journée, et des heures de lever et de coucher du soleil (qui varient dans l'année, selon le point géographique considéré
    Cette pseudo-sinusoïde de température, pour un jour donné, est donc en fait composée de trois morceaux :

    • le premier morceau vient du Max du jour précédent pour arriver jusqu’au Min du jour

    • le second morceau monte du Min du jour au Max du jour

    • le troisième morceau amorce la descente vers le Min du jour suivant

    Une théorie empirique dit en outre que :
    - le minimum de la journée est atteint environ une heure après le lever du soleil
    - le maximum est lui atteint environ deux heures après que le soleil soit passé au zénith (mais attention : heure solaire, et pas heure légale!).
    (on remarquera que les morceaux de sinusoïde se réfèrent à des périodes distinctes, et en plus variables dans le temps (par suite de la variation des heures de lever et coucher du soleil)

    La solution analytique proposée dans les différents messages précédents suppose le choix d’un omega particulier, alors qu’en toute rigueur, la température extérieure s'exprime comme une série de Fourier qui en fait intervenir une infinité, sauf erreur.

    Du point de vue pratique, l’omega correspondant à une période annuelle est je pense celui qui est prépondérant (chacun peut constater que les changements de température dans une cave dépendent plus de la saison que de l’heure dans la journée (même dans mon cas, où la cave est aussi un garage, fermé par une porte qui n'est pas spécialement bien isolante du point de vue thermique : c'est en effet la terre qui régule ce qui se passe)


    Mon modèle (avec la loi empirique sur la température de la terre), prédit très correctement la température de ma cave , qui varie entre 14 et 22° dans l'année (je prends en compte les échanges thermique avec le plafond de la cave, la porte de la cave, etc ...). Les variations diurnes sont négligeables.(si quelqu'un s'intéresse à mon modèle, il peut m'envoyer un message privé avec son adresse et je lui enverrai (c'est sous Excel avec Macros)) (mais c'est évidemment propre à la géométrie de ma maison, et le fruit d'un nombre incalculable d'heures de travail, donc pas forcément simple à assimiler ...)

  • Je viens de regarder rapidement la vidéo de Raoul, c’est presque ce que je veux.

    Résumé : le mec suppose (enfin blablate) qu’à profondeur fixée, la période temporelle de variation de température est la même qu’en surface et en déduit que l’amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur et que la phase se décale le long de la profondeur.
    Il me manque à comprendre pourquoi il dit que la période est constante (ça aurait pu ralentir ? du genre la cave alterne entre chaud et froid tous les dix ans, alors que la périodicité du soleil est annuelle ?).
    Mais super !
  • Modifié (7 Aug)
    Bon, voici mon problème.
    On considère l'équation d'inconnue $u$, fonction de $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_-$ vers $\mathbb{C}$ (on passe en complexe pour que ce soit plus pratique), qui vérifie :
    1. pour tout $t,x$, $\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x)$
    2. pour tout $t$, $u(t,0) = h(t)$ où $h$ est une fonction donnée.
    Le problème simplifié, c'est quand il existe $\omega$ tel que pour tout $t$, $h(t) = $e^{i\omega t}$.
    -----------------------------------
    La vidéo, comme le lien de JLT, suggèrent de rechercher $u$ sous la forme $(t,x) \mapsto f(x)e^{i\omega t}$. Les $u$ de cette forme-ci sont faciles à trouver et c'est très sympa.
    Ce que je voudrais comprendre, c'est : est-ce qu'il existe des solutions qui ne sont pas de cette forme ? Comment démontrer qu'il n'y a pas de solution de la forme $(t,x) \mapsto f(x)e^{i(x+\omega)t}$ ?
    Si on dérive, on tombe sur une équation différentielle d'ordre deux sur $f$ que je n'ai même pas essayé de résoudre. Mais bon, on pourrait imaginer bien pire !
    Bref, avez-vous des pistes ?
  • Modifié (7 Aug)
    Peut-être que la méthode des caractéristiques pourrait t'être utile...
    Edit : Finalement, je pense qu'appliquer la transformée de Fourier serait sans doute plus pertinent. C'est fait pour ça après tout...
  • Modifié (7 Aug)
    Je n'ai pas dû comprendre mais, si $g(x)e^{i \omega t}$ est solution, alors $g(x)e^{-ix} e^{i(x+ \omega t)}$ est une solution de la forme $f(x)e^{i(x+\omega t)}$ avec $f(x)=g(x)e^{-ix}$.
    [Edit: pardon, j'avais mal lu...]
  • Modifié (7 Aug)
    @marco : Non non le $x$ et le $t$ sont multipliés !
    @Bibix : je ne connais pas la méthode des caractéristiques. Quant à Fourier, ben, justement... Si je fais comme ce que je connais dans la résolution de l'équation de la chaleur sur un cercle ou sur un segment, je dois considérer $v_x$, la transformée de Fourier de $t \mapsto u(t,x)$, chercher une équation sur $v_x$, etc.
    Mais déjà, rien que si, pour tout $t,x$, $u(t) = f(x) e^{i\omega t}$, la transformée de Fourier de $t \mapsto u(t,x)$ n'est pas définie (enfin, ça l'est peut-être au sens des distributions ou dans un sens généralisé mais je ne connais pas bien ça). J'ai bien essayé de calculer une sorte de transformée de Cesàro-Fourier (un truc du style $\widehat{f}(\xi) = \lim_{T \to +\infty} \int^T_0 f(t) e^{-i\xi t} dt$ qui arrive à détecter les choses qui ressemblent à $t \mapsto e^{i\omega t}$ mais je manque de théorie sur cet objet-là.
  • Modifié (7 Aug)
    Si $u(t,x)=f(x)e^{i(x+\omega)t}$ est solution alors $$\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=i(x+\omega)f(x)e^{i(x+ \omega)t}$$ et $$k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(t,x)=k(f''(x)+2itf'(x)-t^2f(x)) e^{i(x+\omega)t},$$ donc $$i(x+\omega)f(x)=k(f''(x)+2itf'(x)-t^2f(x)).$$Le membre de gauche est indépendant de $t$, donc en dérivant par rapport à $t$ deux fois, on trouve $-2kf(x)=0$, donc $f(x)=0$ si $k \neq 0$.
    Donc la seule solution de la forme $f(x)e^{i(x+\omega)t}$ est $u=0$ si $k \neq 0$.
  • Hoooo ! Bien ouéj Marco ! J'avais eu peur de cette formule mais tu as été plus courageux :) !
  • Modifié (7 Aug)
    On peut chercher les solutions de la forme $u(t,x)=\sum_{p,q} a_{p,q} e^{px+qt}$, alors on trouve $qa_{p,q}=kp^2 a_{p,q}$, donc si $q=kp^2$, toute somme de terme de la forme $e^{px+qt}$ est solution. Il faut alors que $\sum_{p,q}a_{p,q}e^{qt}=h(t)$.
    Si $q$ est un imaginaire pur, ça marche aussi, $p$ ne sera pas réel.
    Par exemple, si $h(t)=0$, $e^{\sqrt{\frac{1}{k}}x+t}-e^{-\sqrt{\frac{1}{k}}x+t}+e^{\sqrt{\frac{2}{k}}x+2t}-e^{-\sqrt{\frac{2}{k}}x+2t}$est solution et n'est pas de la forme $f(x)g(t)$.
  • Modifié (7 Aug)
    De manière plus générale, si tu commences à chercher des solutions séparables $u(t,x) = f(x) g(t)$, tu vas obtenir :
    $f(x) g'(t) = D f''(x) g(t)$
    Du coup, si on suppose que $f$ et $g$ ne sont jamais nulles, on a $K \in \mathbb{C}$ tel que : $\frac{g'(t)}{g(t)} = K = D \frac{f''(x)}{f(x)}$
    Donc : $g(t) = g_0 e^{K t}$ et $f(x) = f_0 e^{\sqrt{\frac{K}{D}} x} + f_1 e^{-\sqrt{\frac{K}{D}} x}$
    Avec $\sqrt{~}$ qui désigne la racine complexe, c'est-à-dire définie sur $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{-}$ par : $\sqrt{x} = \dfrac{x + |x|}{\sqrt{2(\Re{x} + |x|)}}$.
    Du coup, si $u(t, 0) = u_0 e^{i \omega t}$, on a $f(0) g(t) = u_0 e^{i \omega t}$ donc $K = i \omega$ et tu en déduis l'épaisseur de peau et tout le reste...

  • @Bibix : oui, oui, SI la solution est à variables séparées, alors elle est de telle forme. C'est le SI qui me pose problème.
  • @Georges Abitbol : je crois que j'ai une solution qui n'est pas de la forme $f(x)g(t)$ dans mon dernier message non vide.
  • @marco : L'EDP de diffusion est linéaire donc toute combinaison linéaire de solutions de la forme $f(x)g(t)$ est valide aussi. Mais normalement, on peut négliger le reste pour retomber sur la solution décrite plus haut. C'est vrai qu'on aurait dû commencer par là...
  • Modifié (7 Aug)
    Salut Georges
    Ton problème n'est pas bien posé. Tu donnes l'équation $\partial_t u - \Delta u = 0$ ainsi qu'un forçage au niveau du bord $u(\cdot , 0) = h(\cdot)$ mais il manque une condition initiale du type $u(0,\cdot) = u_0$, sans quoi il n'y a pas unicité de la solution. N'importe quelle condition initiale $u_0$ donnera une solution à ton équation et si $u_0$ n'est pas une sinusoïde amortie bien comme il faut ta solution n'aura pas la forme $(x,t) \mapsto f(x) e^{i\omega t}$.
    Notons que, une fois le problème bien posé, ce qui signifie donner une condition initiale ainsi qu'imposer les régularités qui vont bien pour les solutions recherchées, on montre à l'aide du théorème de Hille-Yosida qu'il existe une unique solution. 
    Intuitivement on se dit qu'on doit pouvoir montrer (mais je n'ai pas essayé) qu'il existe $\omega$ ne dépendant que de $k$ (qui est égal à 1 chez moi) tel que pour tout $u_0$ raisonnable et tout $(x,t)$ on ait $\lim_{n\to \infty} u(n\omega+t, x ) = f(x) e^{i\omega t} $. Autrement dit, peu importe la condition initiale la solution  finit toujours par ressembler à une sinusoïde amortie si l'on attend assez longtemps.
  • @marco : je vais regarder, merci !

    @Renart : est-ce que l’expression « bien posé » a un sens formel ? Où puis-je apprendre la théorie générale de ce que tu racontes ?
  • Modifié (8 Aug)
     Je crois que c'est bien posé au sens de Hadamard. D'ailleurs, pour s'assurer que la condition initiale ait un sens, on doit faire appel à un résultat non trivial qui est le théorème d'Aubin-Lions. Honnêtement, je pense que la théorie est plutôt facile. Si tu veux, je crois que le livre de Haim Brezis est une référence de choix sur le sujet.

    Pour @Renart, on peut prouver que les autres conditions initiales différentes de $u(0, .) = u_0$ donnent un problème mal posé ? Par exemple, si on rajoute une condition pour $x = \infty$ (du type $\lim_{x \to \infty} u(.,x) = u_{\infty}$), ça ne résout pas le problème ?
  • Modifié (8 Aug)
    GA et Bibix : Dans mon message précédent j'ai employé le terme "mal posé" dans un sens non formel. Ce que je veux dire c'est que le problème tel que posé par GA n'a pas de solution unique, comme je l'ai expliqué chaque condition initiale $u_0= u(0, \cdot)$ donnera une solution différente. Physiquement ce n'est pas très difficile de s'en convaincre, si on commence avec un sol à 10°C ou 30°C on n'aura pas la même évolution. Pour Bibix : imposer une condition au bord $+\infty$ ne suffit pas non plus, imaginons qu'on ait une barre de fer de longueur $L$ dont on contrôlerait la température aux deux extrémités, encore une fois l'évolution des températures dépendra aussi de la distribution initiale de chaleur.

    J'ai parlé de Hille-Yosida parce que c'est un résultat très général qui permet de démontrer l'existence et unicité de solutions de tout un tas de problèmes d'évolution. Comme indiqué par Bibix une bonne référence sur ce sujet est Analyse fonctionnelle écrit par H. Brezis. Ceci étant dit il existe probablement des moyens plus élémentaires d'arriver à un résultat à peu près aussi satisfaisant, les mathématiciens n'ont pas attendu 1948  (année de découverte du théorème de H-Y) pour étudier l'équation de la chaleur 🙃

    Il y a des résolutions plus élémentaires de l'équation de la chaleur sur $\R^n$ en utilisant ce qu'on appelle le noyau de la chaleur, c'est le même principe que les fonctions de Green. En bidouillant un peu on doit pouvoir (encore une fois, je n'ai pas essayé) adapter le problème de GA à ce cadre : on pose $v = u-h$ ce qui transforme le forçage au bord en un second membre puis on symétrise $v$ pour avoir une fonction définie sur $\R$, solution d'une certaine équation de la chaleur. On obtient alors des formules intégrales des solutions de cette équation. Pour une référence tu peux regarder les sections 2.3.1 et 2.3.2 du Partial differential equations de L. Evans. Mais on devrait retrouver ces résultats dans la plupart des livres d'introduction aux EDP un peu sérieux.
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