Oral X MP 2021

Lars

Estimation des normes infinies pour les deux familles de polynômes introduites dans le message précédent.

Notations

Soit $(b_n)$ une suite positive décroissante (éventuellement convexe si j'en ai besoin,  mais a priori non).

Soit $(P_d)_{d\in \N}$ la famille de polynômes définies par $\forall t\in \R,\  P_d(\cos t)\sin(t)=\sum_{k=1}^{d+1} b_k \sin(kt)$

On a $\deg(P_d)=d$

Un équivalent en 0 donne $P_d(1)=\sum_{k=1}^{d+1} kb_k$

Rappelons que $\forall t\in [0;\pi],\ \forall k\in \N,\  |\sin (kt)| \le k |\sin t|$ (preuve par récurrence sur $k$)

Ceci assure que $\forall t,\  |P_d(\cos t)| \le P_d(1)$ et donc $||P_d||_{\infty}=P_d(1)=\sum_{k=1}^{d+1} kb_k$

Applications numériques.

Pour $\forall k,\ b_k=1$ on notera la famille $(Q_d)$

Pour $\forall k,\ b_k=\frac{1}{\ln (k+2)}$ on notera la famille $(R_d)$

On a $||Q_d||_{\infty}=(d+1)(d+2)/2 \sim d^2/2$

On a $||R_d||_{\infty}=\sum_{k=1}^{d+1} \frac{k}{\ln (k+2)} \sim \frac{d^2}{2\ln d} $ par comparaison à une intégrale d'une fonction monotone et car $(t^2/\ln t)' \sim 2t/\ln t) $ (intégration équivalent intégrales positives divergentes)

Lars

Estimation des normes $L^1$ des deux familles ci-dessus

Étape 1 : transformation d'Abel et formules trigo.

On ajoute l'hypothèse suivante : la suite $(b_n) $ tend vers 0.

Alors

1) $\forall x$ la série $\sum b_n \sin (nx)$ converge

2)$\forall x\in ] 0;\pi[, \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin (nx) = -b_1 \tan(x/4)+\sum_{n=1}^{+\infty} (b_n-b_{n+1})\frac{\sin^2(n+\frac{1}{2})x}{2\sin (x/2)} $

Étape 2 : estimation d'une intégrale

On va chercher une estimation de $F(x):=\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 (tx)dt}{\sin t}$ lorsque $x$ tend vers l'infini.

Par Riemann-Lebesgue, formule trigonométrique et majoration,  $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 (tx)(1/\sin t-1/t)dt=O(1)$ lorsque $x$ tend vers l'infini.

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 (tx)dt}{t}=\int_{0}^{\pi/2 x} \frac{\sin^2 u}{u}du$

L'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(2u)du}{u} $ converge et finalement $F(x) \sim_{+\infty} \ln x$

Étape 3 :

Rappel : on a a $||P_d||_{1} =\int_{0}^{\pi} |P_d(\cos t)|\sin t dt$

Ainsi $||P_d||_{1}=\int_{0}^{\pi} |\sum_{k=1}^{d+1} b_k \sin (kt)|dt$

Application numérique pour la famille $R_d$.

On note $I_k=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2(k+\frac{1}{2})x}{2\sin (x/2)} dx$

On note $S_d:=R_d+b_1 \tan(x/4)$ et on remarque que $\forall x\in] 0;\pi[, S_d(x) \ge 0$.

Alors $\int_{0}^{\pi} S_d(x) dx=\sum_{k=1}^{d-1} (b_k-b_{k+1})I_k+b_d I_d$

On a $b_k-b_{k+1} \sim \frac{1}{k \ln^2 k} $ et $I_k \sim \ln k$

Ainsi, comme $\sum \frac{1}{k \ln k} $ diverge, $\sum_{k=1}^{d-1} (b_k-b_{k+1})I_k \sim \ln (\ln d) $

Par ailleurs, $b_d I_d \sim 1$

Ainsi $\int_{0}^{\pi} S_d(x)dx \sim \ln (\ln d) $

Comme $R_d-S_d$ est une fonction continue avec le facteur $b_1$ (donc intégrale de la valeur absolue est un $O(1)$ et comme $S_d$ est une fonction positive on a finalement

$||R_d||_1 \sim \ln(\ln d)$ 

Ainsi on a $\frac{||R_d||_{\infty}}{||R_d||_{1}}\sim \frac{d^2 \ln (\ln d)}{2\ln d} $

Malheureusement çà ne donne pas l'optimum (s'il est possible de l'obtenir), mais on a ce qu'on voulait : on ne peut avoir une estimation en $d^a, a<2$.

Application numérique pour la famille $Q_d$

On a $||Q_d||_{1} \sim \ln d$ et donc $\frac{||Q_d||_{\infty}}{||Q_d||_{1}}\sim \frac{d^2}{2\ln d} $

Même conclusion.

Calli

@Lars, tu ne veux pas attendre d'être sur un ordinateur plutôt que de poster en pagaille ? Personnellement je ne lis pas tes messages puisque tu dis que toi-même tu ne les relis pas, qu'ils sont peut-être bourrés de fautes et que tu ne lis pas les messages des autres. 

Lars

Bonjour

Pour Calli.
Pas de mode brouillon sur le site, et je ne conserve jamais mes notes papier.
C'est plus pratique pour moi de publier tant que j'ai le sujet en tête et que j'ai du temps, deux conditions qui auront disparu rapidement (je n'ai pas mémorisé les détails des messages de la page 1).

 A priori, j'ai fini.
Sinon, je peux relire et corriger les messages de la page 2.
Un autre mystère.