Bonjour.
Je bloque sur le point suivant.
Montrer qu'il existe deux réels $a>0$ et $b>0$ tels que tout entier $d\geq 1$ et pour tout $P\in \R_d[X]$, $\ |P(0)|\leq (a+bd)\displaystyle{\int^1_{-1} |P(x)|dx}$.
Je suis preneur de toute bonne idée, merci d'avance.
Réponses
Il existerait 2 réels magiques $a$ et $b$, universels, strictement positifs, tels que pour tout d, tout polynôme P ... on ait telle propriété ? ? ?
Je ne connais pas la notation $R_d$ et donc il y a peut être un truc qui m'échappe. Mais l'ordre des quantificateurs me surprend beaucoup.
$P(0) \leq \frac{1}{2}\left(1 + \frac{2 d}{\varepsilon}\right) \int_{-1}^1 P(t) dt.$
À mon avis, l'idée globale de l'exo doit être proche de ce que j'ai fait mais j'ai du mal l'exploiter...
Edit : j'ai corrigé une erreur de calcul.
Pour @eiram, ça marche car $\mathbb{R}_d[X]$ est de dimension finie. Mais on pourrait très bien avoir seulement $C_d = e^d$, et dans ce cas, ce serait râpé...
Il me semble qu'on a $N(x) \leq N_{\infty}(x) . A $ avec $A = \sum_{k = 0}^n N(e_k)$, où les $e_k$ sont une base de $E$ notre e.v. de dim finie.
https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/adc/pdf/enonces.pdf/2018/MP_MATHS_X_2_2018.enonce.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/2400907/py-leq-c-int-11px2dx?noredirect=1
Pour tout $d$, il existe un unique $Q\in\Bbb R _d[X] $ tel que : $\forall P\in \Bbb R _d[X], \; P(0)=\int_{-1}^1PQ$. Il est caractérisé par $\int_{-1}^1Q=1$ et $\forall k\in[\! [1, d] \!], \;\int_{-1}^1x^kQ(x) \, {\rm d} x=0$. Il "suffirait" donc de montrer que $\|Q\|_{\infty, [-1,1]}\leqslant a+bd$.
$f$ est un polynôme trigonométrique (formule de Moivre) du type $f(t)=\sum_{k=1}^{d+1} b_k \sin (kt)$.
Par ailleurs, $||f||_{\infty} \le \sum_{k=1}^{d+1} |b_k|$.
Si on note $B=max_k |b_k|$, alors
(1) $||f||_{\infty} \le (d+1)B$
(2)$ B \le 2/\pi \int_{0}^{\pi} |f(t)|dt$ et donc $||f||_{\infty} \le 2(d+1)/\pi \int_{0}^{\pi} |f(t)|dt$.
Cette preuve de type "série de Fourier" s'adapte au cas $L^2$.
$||P||_{L^2}^{2}=\int_{0}^{\pi} |P(\cos x)|^2 \sin x dx \ge \int_{0}^{\pi} |f(x)|^2 dx=1/2 \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx$ où $\forall x\in \R, f(x)=P(\cos x) \sin x$
Pour la dernière égalité on utilise que $f$ est impaire.
$\forall t, f(t)=\sum_{k=1}^{d+1} b_k \sin (kt), B=max_k |b_k|$.
Par Parseval, et avec l'inégalité précédente, il existe une constante universelle $C>$ (qu'on peut expliciter) telle que $||P||_{2}^{2} \ge C B^2$.
De $|P(0)|=|f(\pi/2)|\le B(d+1)$ on déduit alors l'inégalité en norme $L^2$
Ainsi $\forall k,\ \int_{-1}^1 |P| \ge |\int_{-1}^{1} PL_k|=|a_k|. ||L_k||_{2}^{2}$, d'où $|P(1)|=|\sum_k a_k| \le \sum_k |a_k| \le \sum_k \frac{1}{\|L_k\|_{2}^{2}} \int_{-1}^{1} |P|$.
$Q(X):=(1-X^2)P(X) =\sum_{k=0}^{d+2} a_k T_k(X)$
$\forall k, \ \int |P| \ge | \int P T_k (1-x^2)^{\frac{1}{2}}|= |(Q, T_k)|=|a_k|. ||T_k||_{2}^{2} \ge \frac{\pi}{2} |a_k|$ (1)
soit l'une de ces deux preuves est fausse, soit le dernier message est faux (peut-être est-ce les deux inégalités que je pense avoir prouvé ?) .
Si c'est un problème dû au fait que j'utilise un téléphone, je pourrai corriger à la rentrée.
En tout cas merci bobbyjoe pour le retour.
Par ailleurs, si quelqu'un sait pourquoi les inégalités publiées sont plus bavardes que les inégalités tapées en latex, ça m'intéresse.
Je n'ai pas écrit que norme de $f$ infinie est de l'ordre de norme infinie de P$ $mais $\sup_{[-1;1]} (1-x^2)^{1/2}|P| \le (a+bd)||P||_{1}$
Et donc je suis d'accord pour dire que le problème réside en $1$ mais j'ai réussi à contrôler ce qui se passe en $1$ avec les polynômes de Legendre.
Mais j'ai bon espoir.
Je vérifierai à la rentrée.
@Lars : Moi non plus sur téléphone je n'arrive pas à lire le LaTeX. Donc j'utilise l'ordinateur.