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Oral X-ENS équivalent

Modifié (4 Aug) dans Analyse
Bonjour
Oral X-ESPCI PC 2022 : c'est le deuxième exercice donné au candidat, le premier a l'air infaisable sur les parties isométriques.
Pour tout réel $x$, on note $\{x \} = x -\lfloor x \rfloor $. 
Trouver un équivalent de $\{ n! e \}$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
J'aimerais savoir si ma solution est correcte. Ayant trouvé l'exercice en 15 minutes j'ai des doutes, car c'est niveau X quand même.
On a  $\{ n! e \} = n! e  -\lfloor n! e \rfloor $
Or $n! e - 1 < \lfloor n! e \rfloor \leq n! e$ donc $- n! e  \leq  -  \lfloor n! e \rfloor < 1 - n! e $
Donc $ \boxed{0 \leq \{ n! e \} < 1 }$
PS : j'ai effacé la suite qui était fausse.
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Réponses

  • Modifié (4 Aug)
    Ton équivalent tend vers l'infini, la partie fractionnaire est bornée...
  • Oui bien vu merci.
  • Commence par finir les exos de dénombrement que jlt t'a donné... 
  • Bonjour,

    Tu as montré qu'une partie décimale est comprise entre $0$ et $1$, bravo !!! Tu peux écrire un article !!

    Cordialement,
    Rescassol

  • Oui je n'ai pas avancé d'un poil  :'(
  • Modifié (4 Aug)
    Si tu veux résoudre les exercices X-ENS, je te conseille de faire d'abord des exercices classiques qui te permettront d'avoir des idées. Là par exemple, il existe un exercice classique pour montrer que $e$ est irrationnel qui est très proche de celui-ci. Comment je le sais ? Parce-que c'est classique. Ne saute pas les étapes, il faut y aller petit à petit. Personne n'aurait l'idée de s'initier à la promenade de montagne en faisant le GR20. Ce serait dangereux et inutile car il faut avoir les bases.
  • D'accord merci.
  • Modifié (4 Aug)
    De tête j'ai $\frac{2}{n+1}$. Modulo les erreurs de calcul mental dont je suis expert et qui font que le 2 est peut-être faux, je suis sûr de l'ordre de grandeur.
  • Modifié (4 Aug)
    Avant même de parler d'équivalent, serais-tu capable de montrer que la limite vaut $0$ ?
    Quel lien pourrait-il bien y avoir entre le nombre $e$ et des factorielles ...
  • Stirling peut être ? Je dis cela de tête, flemme de prendre une feuille et un stylo... 
  • C'est ce qu'il a fait au début et c'était pas fameux. Non, il faut sans doute utiliser la définition avec la série exponentielle.
  • Stirling n'a pas une tête à donner des informations sur la partie fractionnaire.
    Et le produit par $e$ ne simplifie pas vraiment l'expression pour la rendre plus maniable de toute manière.
  • Oui, ça revient à trouver un équivalent simple du reste de la série exponentielle.
    On trouve $\frac{1}{n}$ me semble-t-il.
  • Modifié (4 Aug)
    Autre indice pour OS : c'est évident, mais penser que pour tout réel $x$ et tout entier $m$, $x$ a même partie fractionnaire que $x + m$.

    (Comment écrire la partie fractionnaire en LaTex ?)
  • Avec \lceil et \rceil si tu ne veux pas utiliser la notation entre accolades.

  • C'est juste que les accolades ne fonctionnent pas, merci à toi.
  • OShine, il faudrait peut-être utiliser la définition de $e$...
  • @Riemann_lapins_cretins les accolades sont codées \{ \}, sans le backslash elles servent de délimiteur aux autres commandes. Et ça marche : $\{coucou\}$
  • Ah, j'avais bien compris la source du problème mais pas la manière de le contourner, merci !
  • La valeur $e$ est la somme d'une série bien connue.
    Quand on multiplie cette série par $n!$, les premières valeurs sont entières... et il s'agit donc d'évaluer le reste.
  • Je trouve $\frac{\text{e}}{n}$ (sans relire mon calcul, comme d'habitude).
  • J'ai un doute sur le facteur $e$.
  • Modifié (4 Aug)
    Moi j'ai trouvé que : 

    si $u_n = n! e - \left[ n! e \right] $ , $u_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots  $  (á partir d'un certain rang)  donc $n u_n$ tend vers $1$. 
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Jlapin  a raison pour l'ordre 1. Pour un développement à n'importe quel ordre voir la suite A000587  qui permet de dire

    $$\left\{ en!\right\} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}}+\frac{2}{n^{5}}-\frac{9}{n^{6}}+\frac{9}{n^{7}}+\frac{50}{n^{8}}+...$$

  • Modifié (4 Aug)
    Je ne veux pas donner trop de réponses à OShine mais je suis vraiment perplexe face à vos résultats.

    Partant de $e = \displaystyle \sum_{k \geqslant 0} \dfrac{1}{k!}$, pour $n$ fixé, on a $n!e = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{k!} + \sum_{k \geqslant n+1} \dfrac{n!}{k!}$. Certes, la première somme est un nombre entier, mais ça ne dit pas que la deuxième somme est $\{n!e\}$, je ne vois pas où c'est garanti que la partie entière du reste d'ordre $n$ est toujours $<1$.

    De plus, asymptotiquement, quand je fais varier $n$ et qu'il tend vers $+\infty$, je multiplie la suite $\bigg(\displaystyle\sum_{k \geqslant n+1} \dfrac{1}{k!}\bigg)_n$ qui tend vers $0$ (reste d'une série convergente) par $n!$ qui tend vers $+\infty$, ça me fait une belle forme indéterminée. Donc il me faut un équivalent de $\displaystyle\sum_{k \geqslant n+1} \dfrac{1}{k!}$ quand $n  \longrightarrow +\infty$, ou, ce qui revient au même, une formule close pour $\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{k!}$. Je ne vois pas trop comment justifier vos résultats.


  • Hello ! 

    $R_n - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + ... <  \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + ... = \frac{1}{n+1}$


    Ensuite tu montres aussi facilement que $(n+1)R_n - 1$ tend vers 0 un peu de la même manière
  • Modifié (4 Aug)
    La réponse de @Positif donne la justification que tu cherches. En fait, on peut le justifier en voyant que : 
    $1 + \frac{1}{n + 2} + ... \leq \sum_k \frac{1}{n^k} = \frac{n}{n - 1}$
  • Le 'reste' est inférieur à une certaine série géométrique, de raison 1/(n+1) et de premier terme 1/(n+1)
  • Ou alors, on peut utiliser un théorème de sommation en observant un équivalent simple de la suite $\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$.
  • Modifié (4 Aug)
    Moi je suis parti du reste intégral, ai fait le changement de variable $t = 1-x$, puis $u = t^{n+1}$, puis écrit $e^{1-u^{\frac{1}{n+1}}} = (e^{1-u^{\frac{1}{n+1}}} - 1) + 1$.

    On trouve bien du $\frac{1}{n}$.

    Une erreur dans mon message précédent due au fait que je ne connaisse TOUJOURS PAS mon Taylor reste intégral...
  • Modifié (4 Aug)
    @Bibix oui mais... non ? Ou c'est peut-être mal rédigé.

    Certes $\displaystyle \sum_{k \geqslant n+1}\dfrac{n!}{k!} = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \dots$, il appelle ça $u_n$ et "justifie avec les mains" que $n u_n \longrightarrow 1$ (on peut le faire proprement, le problème n'est pas là), mais où est la preuve que $u_n = \{n!e\}$ ?
     
    EDIT : bon, on peut dire qu'une suite qui tend vers $1$ et à valeurs positives est $\leqslant 1$. Reste à vérifier que c'est bien strictement inférieur à $1$.

  • Modifié (4 Aug)
    C'est vrai qu'il a brûlé les étapes, je ne m'en suis pas rendu compte. En tout cas, ça montre bien que c'est inférieur à une somme de série géométrique si on le fait proprement justement.
  • D'accord. Une rédaction complète ne serait pas de refus, mais comme là j'ai la flemme de la faire moi-même, je ne le reprocherai pas aux autres non plus.
  • Modifié (4 Aug)
    Homo Topi a dit :
    @Bibix oui mais... non ? Ou c'est peut-être mal rédigé.

    Certes $\displaystyle \sum_{k \geqslant n+1}\dfrac{n!}{k!} = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \dots$, il appelle ça $u_n$ et "justifie avec les mains" que $n u_n \longrightarrow 1$ (on peut le faire proprement, le problème n'est pas là), mais où est la preuve que $u_n = \{n!e\}$ ?
    car $(u_n)$ tend vers $0$ et donc pour $n$ assez grand $u_n$ est strictement plus petit que 1.
  • Dans ce cas, $u_n  = \{n!e\}$ à partir d'un certain rang. C'est suffisant pour le calcul de limite/l'équivalent, j'accepte.
  • J'ai utilisé la formule de Taylor avec reste intégral.
  • Modifié (4 Aug)
    Je n'ai pas compris le rapport entre l'exercice et la formule de Taylor avec reste intégral.

    On a $e=\displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{1}{k!}$

    Donc $n! e = \displaystyle\sum_{k=0}^{+ \infty} \dfrac{n!}{k!} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!} + R_n $

    Or $\forall (x,y) \in \R^2 \ \ \lfloor x + y  \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$

    Pour tout $k \geq n+1$, on a $ k! \geq n!$ donc $0 \leq \dfrac{k!}{n!} \leq 1$ donc $\lfloor \dfrac{k!}{n!}  \rfloor=0$

    Donc $\boxed{\lfloor n! e  \rfloor  = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}  \lfloor \dfrac{n!}{k!}   \rfloor }$

    Donc $\boxed{  \{ n! e \} =  \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!} + R_n  -  \displaystyle\sum_{k=0}^{n}  \lfloor \dfrac{n!}{k!}   \rfloor }$

    A partir d'ici je bloque.
  • $\lfloor 1,5 + 1,5 \rfloor = \lfloor 1,5\rfloor +  \lfloor 1,5 \rfloor$, ah bon.
  • Modifié (4 Aug)
    Or $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$

    Peux tu démontrer cette assertion?
  • OShine a dit :
    Or $\forall (x,y) \in \R^2 \ \ \lfloor x + y  \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$

    Allez, arrête de te moquer du monde, démissionne et va planter des patates sérieux. C'est en primaire qu'on apprend qu'on apprend à poser des additions, à comprendre le principe des retenus qui font que 1,5+1,5, ça ne va pas faire 2 virgule quelque chose et qu'il ne suffit pas d'additionner les chiffres de même rang. Ecrire cette daube sur un exo X-ENS, c'est encore une fois de foutre complètement de la gueule du monde.  

  • Ca marche que pour $x,y \in \Z$ en effet  :'(
  • C'est typique du syndrome d'OShine, il fonce en plein dans la difficulté principale de l'exercice parce qu'il ne la reconnait pas comme telle.
    N'importe qui qui a un jour été un étudiant en mathématiques normal a une réaction d'appréhension quand il voit une partie entière dans un exercice d'analyse, parce que la première fois que ça lui est arrivé, il a vu que la partie entière ne vérifie aucune des relations fonctionnelles algébriques qu'on aimerait bien avoir sous le coude pour bazarder les exercices sur la partie entière. On l'a encore vu dans ce fil, pour résoudre l'exercice, il faut trouver une écriture de "partie entière de" qui n'utilise surtout pas la fonction partie entière elle-même, pour s'en sortir.
    OShine, lui, commence directement par manipuler des parties entières. Il n'y a que deux issues possibles : il se rend compte qu'il est bloqué parce que la fonction partie entière est un véritable boulet, ou il fait une fausse hypothèse et continue d'avancer. Dommage !
  • Le plus choquant pour moi est d'écrire le développement en série entière de l'exponentielle et de dire "je ne vois pas le rapport avec Taylor reste intégral".
  • Modifié (4 Aug)
    "Ca Ça marche que pour $x,y \in \Z$ en effet "
    Non seulement c'est idiot de vouloir parler de partie entière pour des entiers ... mais en plus la phrase est fausse.
    Pas une once d'intelligence.

  • Modifié (4 Aug)
    @Homo Topi
    J'ai assez manipulé les parties entières pour ne pas avoir de difficultés avec celles-ci.
    Je me suis embrouillé avec wikipédia

  • Modifié (4 Aug)
    Si tu t'es embrouillé avec des propriétés vraies, c'est que tu n'as pas assez manipulé la partie entière. Mais ce n'est pas grave, cette fonction pose des problèmes (d'autres beaucoup plus compliqués que les tiens) à des mathématiciens de renommée mondiale. Il faut juste que tu te rendes compte de la difficulté.
  • @Cyrano non je ne sais pas.

    Vous donnez des solutions sans rien expliquer, la partie entière est passée où ? Vous n'expliquez pas comment vous la faites disparaître.

    Formule de Taylor avec reste intégral.

    Soit $e^b= e^a+ \displaystyle\sum_{k=1}^n e^a \dfrac{ (b-a)^k}{k!} + \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{ (b-t)^n}{n!} e^t dt$

    Je ne vois pas le rapport entre l'exercice et la formule de Taylor avec reste intégral.
  • @Oshine : Arrête de demander que les autres t'expliquent ce qu'ils ont fait. Ce n'est pas comme ça que tu apprendras quoi que ce soit, on te l'a déjà dit 100 fois.
    Essaie les pistes qui t'ont été suggérées. Essaie de comprendre le rapport avec un développement de Taylor, si ça t'est utile. Si tu trouves sans t'en servir... peu importe.
  • A part toi, les étudiants qui travaillent sur les exercices de l'X ou des ENS n'ont aucune difficulté avec le programme de Terminale. Comparé à toi, ce sont des génies.
    Tu ne comprends pas, parce que tu n'as pas du tout le niveau.
    Quand tu auras la réponse ultra détaillée sous les yeux, tu vas la comprendre (reste à définir ce mot), mais tu seras totalement incapable de la reproduire.

  • Rassure-moi, tu t'es déjà rendu compte que les développements en série entière des fonctions qui en admettent coïncidaient avec leur développement de Taylor ?
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