Exercice X 2021 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Exercice X 2021

Modifié (3 Aug) dans Algèbre
Bonjour.

Soient $a,b,c$ trois entiers naturels Il s'agit de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $n^3+an^2+bn+c$ soit un carré parfait.
Je suis preneur de toute idée, merci d'avance.
«1

Réponses

  • Je n'ai pas testé mais pour commencer je tenterais de trouver $a', b', c', n$ tels que : 
    $(n \sqrt{n} + a' n + b' \sqrt{n} + c')^2 = n^3 + a n^2 + b n + c$
    Avec le terme de gauche qui doit être un carré parfait.

  • Je n'ai pas encore de solution complète mais j'ai peut-être 2-3 idées. Le pragmatique en moi voudrait savoir : "Exercice X" suggère un lien avec l'école Polytechnique, s'agit-il d'un exercice donné au concours d'entrée (écrit ou oral, peu importe) et qui doit donc logiquement être faisable avec les outils de L1-L2, ou est-ce un exercice donné à l'école Polytechnique et nécessitant donc logiquement des outils de L3 et plus ?
  • Exercice du concours d'entrée très certainement.
  • C'est un exercice donné à l'oral du concours X MP 2021.
  • On ne demande pas de trouver le nombre $n$ tel que ... 
    On demande de prouver qu'il existe.
    Trouver ce nombre $n$ me paraît un autre challenge, beaucoup plus compliqué.
  • Modifié (3 Aug)
    Une idée à creuser. 
    Je suppose que ce n'est pas le cas, càd que la distance entre n³+an²+bn+c à son carré parfait inférieur le plus proche atteint un minimum $e>0$ en $n_0$
    On a $0 < e \leq c$ en prenant $n = 0$

    Peut être on peut montrer qu'on peut trouver un entier $n_1$ qui fait descendre encore ce score

    Ca fait un peu penser au problème du saut de Viète 
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Saut_de_Viète#:~:text=Le concept de saut de,que l'on veut prouver.
  • Quelques valeurs numériques : 
    a=1, b=1, c=3,  la plus petite valeur de n qui convient est n=5708599
    a=2, b=2, c=3,  la plus petite valeur de n qui convient est n=3077838
    Je ne m'attendais pas à des valeurs aussi grandes !
  • Modifié (3 Aug)
    Si $a=3, b=4, c=2$, alors il me semble que ce n'est pas possible. En effet, $n^3+3n^2+4n+2=(n^3+3n^2+3n +1)+ (n+1)=(n+1)^3+(n+1)=(n+1)((n+1)^2+1)$. Si cette expression est un carré, alors il existe $k\geq 1$ (car $n \geq 0$) tel que $k(k^2+1)$ soit un carré. Si $k>0$ est un carré, alors $k^2+1$ n'est pas un carré, donc $k(k^2+1)$ n'est pas un carré. Donc $k$ n'est pas un carré, donc il existe un premier $p$ tel que $v_p(k)$ est impaire, or $v_p(k^2+1)=0$, car $p$ divise $k$. Donc $v_p(k(k^2+1))$ est impaire, donc $k(k^2+1)$ n'est pas un carré.
  • Modifié (3 Aug)
    Je ne pense pas que ce soit adaptable mais ça me fait penser à la très jolie solution de Ramanujan concernant le problème : 
    Trouver $(n, m) \in \mathbb{N}$ tel que $n^2 + a n + b = m^2$
    Le principe est de montrer que c'est équivalent à : 
    $\frac{2 n + a}{m} = \sqrt{4 + \frac{a^2 - 4 b}{m^2}}$
    Puis d'utiliser de fines connaissances en fractions continues pour obtenir sous certaines conditions $c, d \in \mathbb{Z}$ dépendant de $a^2 - 4 b$ tel que l'on aie : 
    $\frac{2 n + a}{m} \approx d + \frac{c}{2 d+ \frac{c}{2 d + \dots}}$
    Après, il est facile de trouver $(n, m)$ vérifiant le problème.
    Maintenant, je doute que ce soit adaptable à ce problème qui est plus général... et en plus, cela nécessite des connaissances qui dépassent probablement le niveau L1/L2. Mais c'est toujours bon de savoir ça pour la culture.

    Edit : il manque un terme correctif quelque part mais il me semble que la méthode existe et marche correctement.
  • a=3, b=4, c=2, la plus petite solution est n=1000199
  • Modifié (3 Aug)
    Non, ce n'est pas un carré d'après Wolfram Alpha pour $a=3, b=4, c=2$ et $n=1000199$:
  • Modifié (3 Aug)
    Edit : Contrairement à ce que j'avais calculé à 14 h 52, c'est bien marco qui a raison.
    sage: (x^3+3*x^2+4*x+2).subs(x=1000199)
    1000600120009000200
    sage: factor(ZZ(_))
    2^3 * 3 * 5^2 * 73 * 137 * 1667 * 100030001
    
    Je ne sais plus ce que j'ai fait (faux) sur le Sage cell.
  • Avec SageMath, ce n'est pas un carré non plus.
  • Oui effectivement,  Python me ment.
    Excel aussi, mais ça, j'ai l'habitude.
  • Modifié (3 Aug)
    Et pour $a=b=0$ et $c=6$?
  • Modifié (3 Aug)
    Pour $a = 2 p$, $b = p^2$, $c = 0$, l'ensemble des solutions est l'ensemble des carrés parfaits (et c'est facile à montrer).
  • Modifié (3 Aug)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Très bien trouvé ! Il ne nous reste plus qu'à être déçus qu'un sujet de polytechnique soit faux. Est-ce qu'ils les corrigent et vérifient les corrigés avant de les donner ? Est-ce qu'un corrigé officiel est trouvable quelque part ?
  • Modifié (3 Aug)
    Ou alors donnent-ils sciemment quelques sujets faux pour qu'au milieu de l'oral, l'élève se dise "attends une minute... c'est faux en fait..." et démontre un esprit critique à toute épreuve ? Ça ferait une super anecdote ! Mais déjà, est-ce réellement un exo d'oral X2021 ?
  • Je trouverais ça extrêmement malhonnête de leur part... mais je n'ai aucune raison de croire que ce sont des bonnes personnes.
  • C'est une question que je me pose depuis des années en ce qui concerne les sujets d'écrit, qui comportent souvent des questions fausses. Est-ce volontaire ou accidentel ?

    En l'occurrence, s'agissant d'un sujet d'oral, selon sa provenance, peut-être la question posée était-elle différente (la source est-elle l'examinateur lui-même ou bien un élève qui aurait rapporté son sujet de mémoire ?).
  • P.2P.2
    Modifié (4 Aug)
    ''mais je n'ai aucune raison de croire que ce (les examinateurs de l'X) sont  des bonnes personnes. ''
    Elle est bonne celle la ! Des exos bancals exprès !
  • Modifié (4 Aug)
    Je penche pour une erreur de l'élève qui a transmis son sujet. La question était peut-être :
    "Soient $a,b,c$ trois entiers naturels. Montrer qu'il existe $n\in \N$ tel que $n^3+an^2+bn+c$ NE soit PAS un carré parfait."
    C'est intéressant, et pas très difficile à traiter avec un développement asymptotique de $n \mapsto \sqrt{n^3+an^2+bn+c}$ lorsque $n$ est au voisinage de $+\infty$.
  • Modifié (4 Aug)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Je veux bien qu'on me dise que j'ai un sale caractère. Mais j'ai aussi vu 2-3 choses dans ma vie d'étudiant. Je n'estimerai jamais qu'un examinateur fait forcément du bon travail juste "parce que c'est un examinateur". Sujets mal posés, examinateurs sadiques/rabaissants, tout ça je l'ai vu. Polytechnique ou non n'y change absolument rien à mes yeux.
    Cela dit je n'exclus pas la possibilité que le sujet ait été mal rapporté par un candidat non plus.
  • Sans accuser les examinateurs d'être malveillants, pourquoi ne pas supposer des erreurs volontaires pour trier les candidats sur leur capacité à voir les choses fausses ?
  • Modifié (4 Aug)
    Oui, c'était plutôt ça que je voulais dire. Mais vu le stress qu'on subit lors des oraux, ce serait vraiment sadique...
  • Modifié (4 Aug)
    S'il s'agit d'évaluer la capacité à conjecturer, autant poser une question ouverte du style :  "est-il vrai qu'il existe toujours $n\in \N$ tel que $\ldots$?"
  • Modifié (4 Aug)
    [Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
    Personnellement, je trouve ça malveillant. Mais bon, c'est juste mon avis.
  • J'espère qu'un examinateur qui essaierait de piéger les élèves par des questions volontairement fausses serait viré sur le champ si l'affaire venait à être prouvée.
  • DomDom
    Modifié (4 Aug)
    Je n’aime pas non plus qu’on piège sadiquement puis qu’on rabaisse plus bas que terre quelqu’un. 
    Je me fais l’avocat du diable.
    « Essayer de piéger » : n’est-ce pas une interprétation ?
    L’énoncé peut être mal rapporté. 
    L’énoncé peut être faux alors que l’examinateur pense qu’il est vrai. 
    Ce qui compte n’est-ce pas la manière de décomposer le problème ? Les réflexes à avoir ?

    Une remarque : de plus en plus d’élèves s’exclament « c’est un piège » dès qu’on modifie une peccadille d’un énoncé. Il faut raison garder. 

    Petit illustration toute simple :
    1) faire un cours sur Pythagore,
    2) insister sur « pour l’appliquer (hors contraposée), assurez-vous que le triangle soit rectangle »
    3) demander de calculer un côté dans un triangle dont on donne deux longueurs et dont on ne précise pas (volontairement) que le triangle est rectangle. 

    Est-ce un piège ? Ou est-ce une évaluation qui permet de s’assurer que l’élève n’applique pas n’importe comment un théorème ?
    La réponse attendue est « je ne sais pas comment faire » ou encore « s’il est rectangle alors … » ou toute autre réponse non vide pertinente. 
  • On est d'accord Dom. L'hypothèse de l'énoncé mal rapporté me paraît la plus plausible dans tout ça.
  • Pour les sujets d'écrit je ne trouverais pas la pratique si illégitime que ça, tant qu'on ne bloque pas les questions clés dont le résultat détermine en partie ou entièrement la suite.
  • SocSoc
    Modifié (4 Aug)
    @Dom Je fais ça très régulièrement et les élèves ne s'en offusquent pas particulièrement. Je mets quand même un gros indice avec un "si possible" dans l'énoncé, généralement avec plusieurs questions pour qu'ils ne sachent pas tout de suite où ça pointe (un truc du style "Dans chacun des triangles suivants calculer si possible la longueur AB."). Ensuite il arrive aussi que ce ne soit pas possible suite à une erreur d'énoncé ou une imprécision (typiquement dans les exercices de style brevet où l'on sous-entend des angles droits qui peuvent être douteux).
  • Calculer si possible ... il n'y a pas d'arnaque, tout va bien.  En particulier si on précise 'Si possible', c'est un méga-indice.

    Montrer qu'il existe $n$ tel que ...  : il y a arnaque si on sait que le $n$ n'existe pas.
    C'est l'expression 'Montrer que' qui est trompeuse.  Quand on dit 'Montrer que la propriété P est vraie', on dit en fait : 
    Je vous affirme que la propriété P est Vraie, c'est certain, vous n'avez aucune raison d'en douter.
    Dites-moi juste pourquoi je peux affirmer cela.
  • SocSoc
    Modifié (4 Aug)
    Pour ce qui est des oraux de concours, c'est très instructif d'assister à de nombreux oraux car quand on n'est pas le nez dans le guidon on perçoit beaucoup mieux le type de question posée par le jury: hausser la difficulté pour voir si le candidat encaisse, pointer une faute pour voir si le candidat la repère/corrige, viser les oublis/non-dits autour du sujet.
    Pendant un oral on peut passer d'une question pour vérifier une base à une question un cran au dessus de la difficulté déjà proposée. Cela peut être très déstabilisant alors que le jury cherche juste à tirer le meilleur du candidat, mais a peut-être monté la barre trop haut d'un coup.
    Pour ma part j'ai eu une nettement meilleure image des jurys après en avoir observé un certain nombre et dans le tas j'ai effectivement observé quelques questions vachardes mais vraiment très peu (et provenant du même type de personnalités, que j'imagine facile à filtrer quand on constitue les jurys, mais sans doute que la charge de travail au vu de la rémunération ne provoque pléthore de candidatures pour être jury).
  • Dans le même genre d'idées, y a-t-il aussi des examinateurs qui inventent des exercices infaisables et les donnent aux candidats simplement car ils sont fiers de leur découverte et veulent la contempler en action ?
  • On peut aussi poser la question suivante: soient $a,b,c \in \N$, est-ce qu'il existe nécessairement $n \in \Z$ tel que $n^3+an^2+bn+c$ soit un carré parfait ?
  • Un oral, c'est un dialogue. Au départ, il y a un exercice, et selon le comportement de l'élève, l'examinateur oriente la discussion dans un sens ou un autre.
    C'est très sain. Si la notation au final reflète bien ce qui s'est passé.
  • La notation devenant dans ce cas extrêmement subjective, je suis entièrement contre. Mais on s'éloigne de l'exercice...
  • En effet marco. 
    Et on peut même enlever « nécessairement » sauf si c’est rhétorique (insistance volontaire ici). 
  • Modifié (4 Aug)

    Dom a dit :
    Je n’aime pas non plus qu’on piège sadiquement puis qu’on rabaisse plus bas que terre quelqu’un. 
    Je trouve que c'est un peu vouloir mouler les candidats sous le prisme d'une forme restrictive d'intelligence.

    Moi sur un pont suspendu, je remercie l'ingénieur qui a su tout de suite qu'il devait y avoir quelque chose qui cloche dans telle ou telle équation, en fait erronée. Vous me direz avec l'ordinateur, ce genre de compétences sont désuètes, en fait non, on aura toujours besoin de cette forme d'intelligence, qui ne s'applique pas qu'aux sciences mais à des trucs genre relations humaines « avancées ». Il n'y a rien d'insultant à se voir reprocher un manque de cette forme d'intelligence, tout autant respectable qu'une autre.

    Ca serait intéressant de voir si dans d'autres pays (notamment aux Etats-Unis), si ca leur pose pas moins de cas de conscience.
  • eiram
    Sur la RMS 132-2 l'exercice 275 page 63 (oral X en MP) demande : 

    Soient $a,b,c$ trois entiers naturels. Montrer qu'il existe $n\in\N$ tel que $\sqrt{n^3+an^2+bn+c}\notin\N$
  • dSPdSP
    Modifié (6 Aug)
    Bonjour.
    La version donnée par Jandri est précisément celle que j'ai communiquée à la RMS à partir du relevé d'un élève. Si j'en crois mes souvenirs, je n'ai pas eu à en rectifier l'énoncé.
    Depuis près d'une dizaine d'années, la plupart des exercices de Polytechnique sont donnés "en banque", c'est-à-dire que les examinateurs d'une filière donnée mutualisent des propositions, se concertent sur la liste des exercices, et donnent ensuite les exercices simultanément. Ce système, adopté dans beaucoup d'autres concours, fait que les erreurs d'énoncé sont rarissimes et que la circulation d'énoncés contenant des erreurs est presque toujours imputable à des relevés de mauvaise qualité par les candidats.
    À signaler que les relevés publiés dans la RMS subissent plusieurs filtres avant publication : d'abord les professeurs qui ramassent les exercices auprès des candidats vérifient la correction des énoncés, ensuite il y a plusieurs phases de relecture au sein de la revue.
  • J’aime bien cet exercice qui (sauf erreur) se résout simplement avec un développement limité comme la mentionné eiram.
  • Modifié (14 Aug)
    Bonjour ! J'ai un exercice sur lequel j'ai déjà pas mal avancé mais sur lequel je n'arrive pas à conclure... du coup je remets en question le début :-(
    L'énoncé : soit $a, b, c$ dans $\mathbb{N}$. Montrer qu'il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $\sqrt{n^3 + an^2+bn+c} \notin \mathbb{N}$
    En raisonnant par l'absurde, on suppose qu'un tel entier n'existe pas, on veut donc montrer que si pour tout $n$ entier naturel, l'expression est dans $\mathbb{N}$ alors on a une contradiction. Je me suis dit qu'un développement asymptotique permettrait de visualiser l'expression pour n grand. Par le calcul (vérifié ensuite sur wolfram alpha pour ne pas avoir à recopier) j'obtiens ceci.
    On a alors  comme développement asymptotique : (Le grand O peut se remplacer par par  $o(\frac{1}{n^3}$)
     
    Est-il possible de conclure de cette manière ?
    Merci d'avance
    Tux

    [Discussions fusionnées --JLT]
  • Modifié (14 Aug)
    Regarde plutôt $u_{n+1}-u_n$
  • Modifié (14 Aug)
    Cela se comporte comme $\frac{3\sqrt{n}}{2}$...

  • Et $u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n$ ?
  • Cette fois ci $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ mais je ne suis pas certain de voir le lien...
  • $u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n$ est un entier pour tout $n$, est-ce qu'on peut avoir $u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\sim \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ ?
  • Okkk j'aurais du réfléchir à deux fois avant de demander. Merci beaucoup !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!