Exercice 1 terminale — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Exercice 1 terminale

Bonjour,

Je ne sais pas où est le corrigé mais je ne le vois pas. J'aimerais savoir si mes réponses sont correctes. Je ne suis pas sûr pour Q2 et Q3.

1) Tirage sans remise donc $5 \times (5-1)= 20$ possibilités.

2) Il y a $2 \times 1=2$ possibilités.

3) Il y a $3 \times 2 \times 2=12$ possibilités.

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Réponses

  • Modifié (1 Aug)
    La 3 est fausse. Tu n'as pas tenu compte de l'ordre. Les uplets sont ordonnés.

    Pour la 2) pourquoi tu n'es pas sûr ? D'ailleurs quelles sont les deux possibilités que tu obtiens ? C'est incroyable de poser cette question... :mrgreen:
  • Modifié (2 Aug)
    Ok merci j'avais oublié la notion de $n$ uplet ! 

    (Alice, Brigitte) et (Brigitte, Alice) donc 2 possibilités.

    3) Je ne sais pas faire. Le cours dit que si $E$ est un ensemble fini à $n$ éléments alors $card (E^p)=n^p$ (nombre de $p$ uplets)

    Mais ici on ne peut pas reprendre les éléments plusieurs fois donc je bloque.

    Dans les cours c'est plus facile à chaque fois, ici le fait d'avoir un mélange fille garçon m'embrouille c'est plus dur que le cours.



  • Modifié (2 Aug)
    Il faut donner du sens aux formules..
    "Le cours dit que si $E$ est un ensemble fini à $n$ éléments alors $card(E^p)=n^p$ (nombre de $p$ uplets)" : il y a p composantes (il me semble que c'est comme ça qu'on dit), la première peut prendre n valeurs différentes, la deuxième n valeurs différentes, ... la p-ième n valeurs différentes donc le p-uplet peut prendre en tout $n \times n \times ... \times n$ (p fois) valeurs différentes d'où $card(E^p)=n^p$.
    Exemples : Combien peut-on formé de codes de 3 caractères en utilisant seulement les 10 chiffres ? 
    Pour le deuxième cours que tu cites, as-tu compris pourquoi la formule diffère ?

    En fait, tu es sur une bonne piste pour la question 3. Le problème, souligné par raoul.S, est que tu n'as pas tenu comptes de l'ordre. 
    Par exemple, (David, Eric, Alice) est un des 3-uplet qui conviendrait. (Alice, David, Eric)  en est un autre. Y a-t-il d'autres 3-uplets avec Alice, David et Eric qui conviendraient ? Si oui, combien ? Quid du 3-uplet (David, Brigitte, Christophe) ? Conclure.
  • Ce que je ne comprends pas c'est que le cours ne parle pas d'ordre pour les $p$ uplet. Je ne vois pas comment tenir compte de l'ordre.  Pourquoi la formule du cours ne marche pas ici ? 

    On peut en former $10^3=1000$.

    Oui j'ai compris la formule du deuxième cours, c'est un tirage sans remise. 

    Il y en a $3!$ on fait des permutations. Je dirais $12 \times 3!$ mais je ne vois pas le rapport avec le cours. Je dis au feeling.

    Encore un autre cours qui ne parle pas d'ordre dans les $p$ uplets.

  • Et si tu faisais une liste exhaustive (punition de mardi matin) ou, disons, une liste raisonnée (avec des points de suspension) ? Les nombres en jeu ne sont pas si gigantesques.
  • Ce cours parle d'ordre, sans arrêt. Il ne parle que de ça.
    On choisit $x_1$ puis $x_2$.
    Ce mot puis, il veut dire quoi ? 
    Dans tous les calculs, on compte les solutions, en regardant bien l'ordre. $Vert$ puis $Rouge$ n'est pas considéré identique à $Rouge$ puis $Vert$.

    Si tu regardes les calculs qu'on doit faire, quand on ne s'intéresse pas à l'ordre, on va écrire la même chose que dans la démonstration, et on va ajouter à la fin d'autres calculs (on va ajouter une division par $p!$ )
    C'est pour ça que tu as l'impression qu'on ne parle pas d'ordre. Les étapes supplémentaires (celles qui différencient le calcul de $A_n^P$ et $C_n^p$), on ne les fait pas ici. On ne les fait pas donc on n'en parle pas. Comme on ne fait pas les étapes qui passent de l'ordre au désordre, tu ne vois pas qu'on parle d'ordre.

    L'énoncé de l'exercice demandait : "obtenir 2 prénoms masculins et un prénom féminin" ; vois-tu la différence avec :  "obtenir 2 prénoms masculins puis un prénom féminin"
  • Oshine, as-tu bien lu mot à mot la démonstration que tu postes ? "Encore un autre cours qui ne parle pas d'ordre dans les n-uplets"
    on commence par choisir x_1 parmi....puis on choisit x_2....et tu dis qu'il n'y a pas d'ordre ?
  • Put... ce n'est jamais que le principe des arbres qu'on utilise en troisième et en seconde, ça n'a rien de sorcier tout ça.
  • Modifié (2 Aug)
    "Encore un autre cours qui ne parle pas d'ordre dans les n-uplets"
    Toujours l'incapacité à mettre du sens sur ce qui est écrit, l'incapacité à lire !
    On comprendrait ça d'un lycéen actuel qui arrive en fac, mais là, c'est un enseignant certifié en maths (*) qui devrait connaître depuis presque 20 ans la notation $(x_1, ... x_p)$ déjà très utilisée au lycée quand il y était, par exemple pour les coordonnées des points et vecteurs.
    On ne peut pas faire boire un âne qui n'a pas soif.
    (*) quelle blague !!
  • OShine a dit :
    Ok merci j'avais oublié la notion de $n$ uplet !
    On nage en plein cauchemar, là. Il FAUT que tu démissionnes de ton poste de prof, ce n'est pas possible.
  • Modifié (2 Aug)
    Bonjour
    OShine, dans le premier message, tu fais exactement ce que font les élèves, et qui me met les nerfs à vif : tu balances un résultat avant même d'avoir avancé le moindre raisonnement. Pour ton amour propre, fais le contraire. Dans le dénombrement discret, on regarde deux critères : ordre et répétition. 2 critères (ordre et répétition) avec 2 valeurs (oui ou non) chacun, cela fait 4 cas :
    • Ni ordre, ni répétition -> c'est une combinaison. $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Archétype: quantité de grilles de loto. $C_{49}^6\approx 13.9M$
    • Ordre, sans répétition -> c'est un arrangement. $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Archétype : quantité de podiums différents parmi une foule de candidats. $A_n^3$
    • Ordre et répétition -> c'est une p-liste. $k^n$. Archétype : quantité de fichiers de n bits : $2^n$
    • Sans ordre mais répétition -> combinaison avec répétition. $\Gamma_n^k=C_{n+k-1}^k$. Archétype : quantité de dominos $\Gamma_7^2=C_8^2=28$
    Si tu cherches ordre et répétition, tu résous la majorité des exercices de dénombrement simples.
  • Vous semblez découvrir que OShine est en difficulté avec le programme de lycée ? Visiblement, il n'y a pas que OShine qui a des problèmes de mémoire  ;)
  • DomDom
    Modifié (2 Aug)
    Je ne connaissais pas la notation avec $\Gamma$. 
  • Dans la formule du cours les $x_1$, $x_2$, ... ,$x_n$ appartiennent au même ensemble. Tu pourrais utiliser ces formules si la question étaient "On tire 3 cartons successivement, combien y a-t-il de 3-uplets possibles ?" mais ici on prend 2 cartons dans l'ensemble des garçons et 1 dans l'ensemble des filles.

    En fait je vois deux méthodes pour résoudre cet exercice et je me suis rendu compte en me réveillant que j'ai fait une confusion entre les deux.

    Méthode 1 :
    C'est celle que tu a commencé à faire dans ton calcul incomplet. Tu n'as regardé que le cas où on tire un garçon puis un garçon puis une fille. Il y a effectivement 12 possibilités. Etudie les autres cas et ajoute les possibilités (les cas sont disjoints) et tu auras le résultat.

    Méthode 2 :
    Tu calcules combien de sous-ensemble à 3 éléments (c'est-à-dire sans tenir compte de l'ordre) contiennent exactement 2 garçons et exactement 1 une fille, puis tu fais des permutations (pour tenir compte de l'ordre) ce qui revient, comme tu l'as dit, à multiplier ton résultat par 3!.

    Je t'invite à faire les deux méthodes et à vérifier que tu trouves bien le même résultat dans les deux cas. Si tu es encore motivé ensuite, tu pourras essayé de comprendre pourquoi finalement  $(3 \times 2 \times 2) \times 3!$ n'était pas la bonne réponse.
  • Modifié (2 Aug)
    Si on fait un arbre niveau troisième, on compte ce qu'on cherche et on a immédiatement la réponse. Je n'encourage vraiment pas OShine à apprendre une série de formules par cœur vides de sens pour lui. Dans cette situation je dois faire, ça, quand y a ceci j'applique celle-là, c'est à mon avis une très très mauvaise approche pour démarrer, surtout pour un exercice aussi simple. (D'ailleurs, on remarque que c'est l'exercice 1. Inutile de sortir la bazooka pour résoudre ce premier exercice de terminale, dont le seul intérêt est d'utiliser et de s’approprier le mot u-plet qui est nouveau pour un élève.)
  • Modifié (2 Aug)
    Entre nous, l'énoncé a l'art de noyer la simplicité dans le jargon technique. Un 2-uplet est ce qu'on appelle, en bon français, un couple. Et un 3-uplet, un triplet. Qu'est-ce qu'on ferait pas pour justifier son salaire !
  • Quel est le rapport avec le salaire ?
  • SocSoc
    Modifié (2 Aug)
    Entre nous, l'énoncé a l'art de noyer la simplicité dans le jargon technique. Un 2-uplet est ce qu'on appelle, en bon français, un couple. Et un 3-uplet, un triplet. Qu'est-ce qu'on ferait pas pour justifier son salaire !
    Pas exactement, c'est même un faux-ami entre les maths et le français courant car en français courant un couple n'est pas ordonné et correspond plutôt à {a;b} qu'à (a;b).

  • Dans un exo de maths, il n'y a pas trop d'ambiguïté : un couple est ordonné (comme un triplet ou un quadruplet).
  • Tout à fait, d'où la différence entre le français courant et les maths.
  • Modifié (2 Aug)
    • Ni ordre, ni répétition -> c'est une combinaison. $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Archétype: quantité de grilles de loto. $C_{49}^6\approx 13.9M$
    • Ordre, sans répétition -> c'est un arrangement. $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Archétype : quantité de podiums différents parmi une foule de candidats. $A_n^3$
    • Ordre et répétition -> c'est une p-liste. $k^n$. Archétype : quantité de fichiers de n bits : $2^n$
    • Sans ordre mais répétition -> combinaison avec répétition. $\Gamma_n^k=C_{n+k-1}^k$. Archétype : quantité de dominos $\Gamma_7^2=C_8^2=28$
    Dans le module itertools de Python, c’est, dans le même ordre :
    • itertools.combinations
    • itertools.permutations (en utilisant le deuxième paramètre)
    • itertools.product
    • itertools.combinations_with_replacement
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (2 Aug)
    Ah, c'était sur le "en bon français" que tu réagissais !
  • Tout à fait!
  • Modifié (2 Aug)
    Mais le but de l'exercice n'est pas de faire un arbre mais d'utiliser les arrangements, combinaisons etc..
    @lourrran oui.
    Je sais trouver la réponse avec un arbre mais ça ne va rien m'apporter concernant mes difficultés sur les notions d'arrangements, combinaisons etc....
    Je ne sais pas faire la méthode $1$. Le cours ne donne pas cette configuration.
    Méthode $2$ : 
    Avec les combinaisons c'est $\binom{5}{3} \times 3!= \dfrac{ 5! }{3! 2! } 3! =3 \times 4 \times 5 = 60$.
  • C’est grâce aux arbres (pas seulement !) que l’on peut se représenter ces technicités. 
    Brûler les étapes est idiot. 
    Mais ça doit faire la millième fois cette année qu’on le dit. 
  • Non, le but c'est de faire fonctionner son bon sens avant tout, pas d'utiliser bêtement des formules.
  • Modifié (2 Aug)
    Ben si OShine, ça va t'apporter, tu ne crois pas que si cette notion d'arbre était déjà très claire dans ta tête tu n'aurais même pas besoin d'en faire un et que la réponse ou le calcul à faire serait tout simplement évidents, sans avoir besoin de se raccrocher au cours. Tu ne vois pas le lien entre la notion d'arbre et les "formules"  de dénombrement aux quelles on s'intéresse dans cet exercice sont totalement similaires.
    Tu es dur de la feuille.  :D
  • Dom et zeinot ont raison. Faire un arbre aide à mieux comprendre le cours. Par contre, je pense que dans cet exemple n va avoir du mal à faire rentrer tout  sur une feuille mais essaye, ça peut aider.

    Pour la méthode 1, nul besoin du cours, il suffit de réfléchir. On cherche à obtenir deux garçons et une fille (sans tenir compte de l'ordre). Tu as traité le cas ou on obtient un garçon, puis un garçon, puis une fille (dans l'ordre..). Y a-t-il d'autres cas permettant d'obtenir deux garçons et une fille ? En fait, peux-tu donner, disons 15 triplets (mais tu comprendras peut-être avant) qui conviendraient ?

    Pour la méthode 2, ton résultat est faux. D'où vient le $\binom{5}{3}$ ? Faire une phrase en français puis comparer avec la consigne.  
  • Peut-être qu'@Oshine n'a pas compris qu'apprendre, c'est précisément construire un schéma mental qui va permettre de relier des notions préalablement connues. Peut-être croit-il qu'en faisant de nombreux exercices sur un thème donné, on comprend ledit thème (par "infusion du savoir", sans doute...)
  • Modifié (2 Aug)
    @OShine tu appliques le cours comme une recette... essaie de répondre à la question 3 sans le cours mais avec ta logique.

    PS. C'est ton instinct d'ingénieur qui prend le dessus ? :mrgreen:
  • Modifié (2 Aug)
    Je dirais $\binom{3}{2} \times \binom{2}{1} \times 3!$
    • $\binom{3}{2}$ est le nombre de façon de tirer $2$ garçons parmi les $3$ garçons.
    • $\binom{2}{1}$ est le nombre de façon de tirer $1$ fille parmi les $2$ filles.
    • $3!$ désigne le nombre de permutations possibles.
    Ce qui donne $\dfrac{ 3! 2! 3!}{2! } = (3!)^2 = \boxed{ 36 }$ possibilités.
  • Modifié (2 Aug)
    Vois-tu un rapport entre ton 12 de ton premier message et le 36 que tu viens de trouver ?
    Sinon, tu n'as pas manipulé la notion de triplet qui suffisait amplement et qui est l'objectif de l'exercice, tu prends une enclume pour écraser une mouche . Tu n'es donc pas en mesure d'expliquer l'exercice 1 du chapitre dénombrement à des élèves de terminale.
  • Tu t'attendais vraiment à autre chose @zeitnot ?
  • Moi, j'aurais fait comme le dernier message d'OShine. (Bravo). Zeitnot, je veux bien voir ta solution.
  • Modifié (2 Aug)
    Pour débuter avec des lycéens collégiens, on peut déterminer le nombre de triplets G, G F : il y en a 12 (3 fois 2 fois 2). Le nombre de triplets G, F, G, il y en a 12  (3 fois 2 fois 2)aussi, et enfin les triplet F, G, G et bien il y en a 12. (2 fois 3 fois 2) :)
    Sans faire un arbre  mais dès qu'on en a compris le fonctionnement, c'était bien suffisant.  J'imagine la tronche des élèves. "Bon on vient de voir la définition d'un n-uplet. Pour résoudre l'exo 1, on va utiliser combinaison et nombre de permutations qu'on verra plus tard.
  • @zeitnot "tu prends une enclume pour écraser une mouche" en fait c'était mon idée😳 (ce que j'avais appelé méthode 2)

    "Au pus simple pour des terminales, on peut déterminer le nombre de triplets G, G F : il y en a 12. Le nombre de triplets G, F, G, il y en a 12 aussi, et enfin les triplet F, G, G et bien il y en a 12." C'est ce que j'avais appelé la méthode 1..

    Intuitivement j'aurais surement fais cette méthode mais comme on parlait de comment passer d'une situation où l'ordre compte à une situation où l'ordre ne compte pas j'ai pensé à cette autre méthode qui me paraissait intéressante.
  • Cet exo serait plus rigolo si deux garçons portaient le même prénom ;)
  • Modifié (2 Aug)
    Cet exercice est trop difficile pour introduire les $n$ uplet. Il faudrait un exemple plus simple.
    Mais merci pour ta solution @zeitnot.
  • J'avoue que ce n'est pas l'exercice que j'aurais choisi pour introduire les n-uplets. Qu'est-ce qui te fais dire que c'est l'objectif de cet exercice ?
    Je l'aurais plutôt présenté vers la fin du chapitre (enfin après avoir fait tout le cours en gros) comme un exercice où l'on doit reconnaitre une situation et produire un raisonnement en s'appuyant sur les principes vus en cours.

  • @OShine tu arrives à faire le 2 sans fôtes ? :mrgreen:
  • Modifié (2 Aug)
    Je continue. Ma solution à l'exercice $2$ est-elle juste ? 
    1) Il y a $7! = 5 040$ tirages possibles. 
    2) SI la première boule tirée est rouge, on a $2$ possibilités pour la première. Donc $2 \times 6 ! = 1 440$ possibilités.
    3) On a $5 \times 2 \times 5! = 1200$ cas.
    4) Il faut donc tirer aucune noire lors des deux premiers tirages. Donc $2 \times  1 \times 5 ! = 240$ cas.

  • Modifié (2 Aug)
    Faux. Les boules de même couleur sont indiscernables.
    Imagine que toutes les boules sont rouges. Tu comptes combien de tirages ?
    Bon, l'énoncé étant un peu ambigu, on va dire que c'est correct même si je pense qu'en fait il faut compter le nombre de listes de la forme (Rouge,Rouge,Noir,etc.)
  • Ta réponse est correcte.
    Question subsidiaire : est-ce que c'était le raisonnement attendu par le type qui a rédigé l'exercice.
  • OShine, tu arrives à refaire l'exo 2 sans fautes ? :mrgreen:  
  • Je pense aussi qu'il faut compter les tirages (rouge, rouge, noire, noire, noire, noire, noire) et (rouge, rouge, noire, noire, noire, noire, noire) (par exemple) comme étant un seul et même tirage.
  • C'est juste ! Bravo.
    On peut envisager un autre point de vue : les boules noires sont numérotées de 1à 5 et les rouges 6 et 7.
    Malheureusement il faut un instrument spécial pour voir les numéros et on n'a pas cet instrument.
    Combien verra-t-on de tirages différents sachant que l'on ne sait pas distinguer le tirage (1;2;3;4;5;6;7) du tirage (2;3;5;1;4;7;6) ?
    Et on peut aussi répondre aux autres questions dans ce cadre.
  • À mon avis c'est la deuxième interprétation faite par verdurin ci-dessus qui est celle de l'énoncé. Autrement l'énoncé aurait probablement été : Une urne contient 7 boules numérotées, 5 noires et 2 rouges...
  • Qu'est qui cloche dans l'exercice ? Il aurait fallu que l'auteur écrive "on appelle tirage la suite de 7 couleurs des boules extraites" ou quelque chose comme ça ? C'est comme ça que j'ai compris l'exercice.
  • Des boules numérotées 1;1;1;1;1;1;1? :)
  • À sa décharge, les exercices de dénombrement de terminale sont souvent casse-gueule.
    Je me souviens avoir été repris par un élève de TL il y a un bail, du temps où il y avait des dénombrements en option.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
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