Exercice 1 terminale
Bonjour,
Je ne sais pas où est le corrigé mais je ne le vois pas. J'aimerais savoir si mes réponses sont correctes. Je ne suis pas sûr pour Q2 et Q3.
1) Tirage sans remise donc $5 \times (5-1)= 20$ possibilités.
2) Il y a $2 \times 1=2$ possibilités.
3) Il y a $3 \times 2 \times 2=12$ possibilités.
Je ne sais pas où est le corrigé mais je ne le vois pas. J'aimerais savoir si mes réponses sont correctes. Je ne suis pas sûr pour Q2 et Q3.
1) Tirage sans remise donc $5 \times (5-1)= 20$ possibilités.
2) Il y a $2 \times 1=2$ possibilités.
3) Il y a $3 \times 2 \times 2=12$ possibilités.
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Réponses
Pour la 2) pourquoi tu n'es pas sûr ? D'ailleurs quelles sont les deux possibilités que tu obtiens ? C'est incroyable de poser cette question...
(Alice, Brigitte) et (Brigitte, Alice) donc 2 possibilités.
3) Je ne sais pas faire. Le cours dit que si $E$ est un ensemble fini à $n$ éléments alors $card (E^p)=n^p$ (nombre de $p$ uplets)
Mais ici on ne peut pas reprendre les éléments plusieurs fois donc je bloque.
Dans les cours c'est plus facile à chaque fois, ici le fait d'avoir un mélange fille garçon m'embrouille c'est plus dur que le cours.
"Le cours dit que si $E$ est un ensemble fini à $n$ éléments alors $card(E^p)=n^p$ (nombre de $p$ uplets)" : il y a p composantes (il me semble que c'est comme ça qu'on dit), la première peut prendre n valeurs différentes, la deuxième n valeurs différentes, ... la p-ième n valeurs différentes donc le p-uplet peut prendre en tout $n \times n \times ... \times n$ (p fois) valeurs différentes d'où $card(E^p)=n^p$.
Exemples : Combien peut-on formé de codes de 3 caractères en utilisant seulement les 10 chiffres ?
Pour le deuxième cours que tu cites, as-tu compris pourquoi la formule diffère ?
En fait, tu es sur une bonne piste pour la question 3. Le problème, souligné par raoul.S, est que tu n'as pas tenu comptes de l'ordre.
Par exemple, (David, Eric, Alice) est un des 3-uplet qui conviendrait. (Alice, David, Eric) en est un autre. Y a-t-il d'autres 3-uplets avec Alice, David et Eric qui conviendraient ? Si oui, combien ? Quid du 3-uplet (David, Brigitte, Christophe) ? Conclure.
On peut en former $10^3=1000$.
Oui j'ai compris la formule du deuxième cours, c'est un tirage sans remise.
Il y en a $3!$ on fait des permutations. Je dirais $12 \times 3!$ mais je ne vois pas le rapport avec le cours. Je dis au feeling.
Encore un autre cours qui ne parle pas d'ordre dans les $p$ uplets.
On choisit $x_1$ puis $x_2$.
Ce mot puis, il veut dire quoi ?
Dans tous les calculs, on compte les solutions, en regardant bien l'ordre. $Vert$ puis $Rouge$ n'est pas considéré identique à $Rouge$ puis $Vert$.
Si tu regardes les calculs qu'on doit faire, quand on ne s'intéresse pas à l'ordre, on va écrire la même chose que dans la démonstration, et on va ajouter à la fin d'autres calculs (on va ajouter une division par $p!$ )
C'est pour ça que tu as l'impression qu'on ne parle pas d'ordre. Les étapes supplémentaires (celles qui différencient le calcul de $A_n^P$ et $C_n^p$), on ne les fait pas ici. On ne les fait pas donc on n'en parle pas. Comme on ne fait pas les étapes qui passent de l'ordre au désordre, tu ne vois pas qu'on parle d'ordre.
L'énoncé de l'exercice demandait : "obtenir 2 prénoms masculins et un prénom féminin" ; vois-tu la différence avec : "obtenir 2 prénoms masculins puis un prénom féminin"
on commence par choisir x_1 parmi....puis on choisit x_2....et tu dis qu'il n'y a pas d'ordre ?
- Ni ordre, ni répétition -> c'est une combinaison. $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Archétype: quantité de grilles de loto. $C_{49}^6\approx 13.9M$
- Ordre, sans répétition -> c'est un arrangement. $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Archétype : quantité de podiums différents parmi une foule de candidats. $A_n^3$
- Ordre et répétition -> c'est une p-liste. $k^n$. Archétype : quantité de fichiers de n bits : $2^n$
- Sans ordre mais répétition -> combinaison avec répétition. $\Gamma_n^k=C_{n+k-1}^k$. Archétype : quantité de dominos $\Gamma_7^2=C_8^2=28$
Si tu cherches ordre et répétition, tu résous la majorité des exercices de dénombrement simples.En fait je vois deux méthodes pour résoudre cet exercice et je me suis rendu compte en me réveillant que j'ai fait une confusion entre les deux.
Méthode 1 :
C'est celle que tu a commencé à faire dans ton calcul incomplet. Tu n'as regardé que le cas où on tire un garçon puis un garçon puis une fille. Il y a effectivement 12 possibilités. Etudie les autres cas et ajoute les possibilités (les cas sont disjoints) et tu auras le résultat.
Méthode 2 :
Tu calcules combien de sous-ensemble à 3 éléments (c'est-à-dire sans tenir compte de l'ordre) contiennent exactement 2 garçons et exactement 1 une fille, puis tu fais des permutations (pour tenir compte de l'ordre) ce qui revient, comme tu l'as dit, à multiplier ton résultat par 3!.
Je t'invite à faire les deux méthodes et à vérifier que tu trouves bien le même résultat dans les deux cas. Si tu es encore motivé ensuite, tu pourras essayé de comprendre pourquoi finalement $(3 \times 2 \times 2) \times 3!$ n'était pas la bonne réponse.
itertools.combinationsitertools.permutations(en utilisant le deuxième paramètre)itertools.productitertools.combinations_with_replacement-- Schnoebelen, Philippe
@lourrran oui.
Je sais trouver la réponse avec un arbre mais ça ne va rien m'apporter concernant mes difficultés sur les notions d'arrangements, combinaisons etc....
Je ne sais pas faire la méthode $1$. Le cours ne donne pas cette configuration.
Méthode $2$ :
Avec les combinaisons c'est $\binom{5}{3} \times 3!= \dfrac{ 5! }{3! 2! } 3! =3 \times 4 \times 5 = 60$.
Pour la méthode 1, nul besoin du cours, il suffit de réfléchir. On cherche à obtenir deux garçons et une fille (sans tenir compte de l'ordre). Tu as traité le cas ou on obtient un garçon, puis un garçon, puis une fille (dans l'ordre..). Y a-t-il d'autres cas permettant d'obtenir deux garçons et une fille ? En fait, peux-tu donner, disons 15 triplets (mais tu comprendras peut-être avant) qui conviendraient ?
Pour la méthode 2, ton résultat est faux. D'où vient le $\binom{5}{3}$ ? Faire une phrase en français puis comparer avec la consigne.
PS. C'est ton instinct d'ingénieur qui prend le dessus ?
- $\binom{3}{2}$ est le nombre de façon de tirer $2$ garçons parmi les $3$ garçons.
- $\binom{2}{1}$ est le nombre de façon de tirer $1$ fille parmi les $2$ filles.
- $3!$ désigne le nombre de permutations possibles.
Ce qui donne $\dfrac{ 3! 2! 3!}{2! } = (3!)^2 = \boxed{ 36 }$ possibilités."Au pus simple pour des terminales, on peut déterminer le nombre de triplets G, G F : il y en a 12. Le nombre de triplets G, F, G, il y en a 12 aussi, et enfin les triplet F, G, G et bien il y en a 12." C'est ce que j'avais appelé la méthode 1..
Intuitivement j'aurais surement fais cette méthode mais comme on parlait de comment passer d'une situation où l'ordre compte à une situation où l'ordre ne compte pas j'ai pensé à cette autre méthode qui me paraissait intéressante.
Mais merci pour ta solution @zeitnot.
Je l'aurais plutôt présenté vers la fin du chapitre (enfin après avoir fait tout le cours en gros) comme un exercice où l'on doit reconnaitre une situation et produire un raisonnement en s'appuyant sur les principes vus en cours.
1) Il y a $7! = 5 040$ tirages possibles.
2) SI la première boule tirée est rouge, on a $2$ possibilités pour la première. Donc $2 \times 6 ! = 1 440$ possibilités.
3) On a $5 \times 2 \times 5! = 1200$ cas.
4) Il faut donc tirer aucune noire lors des deux premiers tirages. Donc $2 \times 1 \times 5 ! = 240$ cas.
Question subsidiaire : est-ce que c'était le raisonnement attendu par le type qui a rédigé l'exercice.
-- Schnoebelen, Philippe