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Triangle - théorème de la bissectrice et cercle circonscrit

Modifié (1 Aug) dans Géométrie

Réponses

  • Bonsoir,

    1) Ici, on parle français.
    2) Qu'as tu fait ? qu'est ce qui te bloque ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (2 Aug)
    Bonjour, je crois  que JL Ayme a posé le même rapport comme exercice mais...
    ce n'est pas pareil
     https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329758/un-rapport

    Edit
  • Modifié (2 Aug)
    Bonjour J. P.
    vos relations sont toujours intéressantes...surtout la dernière...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (2 Aug)
    Bonjour à tous
    Bof!
    Ce n'est qu'une des nombreuses relations liées à la théorie des défuntes divisions harmoniques.
    Je ne suis pas certain que le théorème sur les bissectrices soit lui même encore enseigné, alors ce petit corollaire, on peut l'oublier!
    Amicalement
    pappus
  • Mon cher pappus,
    toujours pessimiste...j'observe aussi que tout semble allez dans le mauvais sens sous l'impulsion de la soi disant ''élite'' qui nous dirige ...mais il y a la Vie de la Géométrie i.e. son intériorité voire son âme que nous aimons tant...
    Je vais maintenant rédiger ma preuve sur mon site..

    Toutes mes amitiés
    Jean-Louis
  • Un triangle particulier  correspondant à la figure donnée, en nombres entiers : Si (a; b; c) = (7; 6; 8), AD = 6 et AF = 8.

  • Modifié (2 Aug)
    Bonjour,
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (4 Aug)
    Pour être complet ... et sans doute plus lourd 😉

    Un corolaire
       BD DC = AB AC DF / AF
                   = AD DF
           ⇒ AB AC = AD AF
               (par similitude des ΔABD et ΔAFC)
               (ou par lemme de Thanasis Gakopoulos 
                pour toute A-cévienne étendue au cercle
                circonscrit :
                AF sin α = b sin α₁︎ + c sin α₂︎
                avec α₁︎ = α₂︎ = α/2)

    Comme sin a/2 / sin a = 1 / (2 cos a/2)
    on peut rajouter
                cos α/2 = ½ (AB + AC) / AF
    On notera aussi
                DF/DC = BD/AD         
                (par similitude des ΔABD etΔCFD)
    Une petite contribution à une géométrie qui n'est plus enseignée ... dans le microcosme francophone.
  • Bonjour, il y a cette façon trigonométrique, 
    par les valeurs des angles inscrits on a que  $DC=\lambda DA$ est $DF=\lambda DB$
    (triangles semblables).
    En notant $AD=x$, $\hat{BAD}=\alpha$ et $\hat{BDA}=\theta$, on a que $DB=x\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\alpha)+\tan(\theta))\cos(\theta)}$ élémentairement en menant une hauteur et simplifiant les formules trigonométriques. 
    Et de l'autre côté si $\hat{DAC}=\alpha$, $DC=x\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\theta)-\tan(\alpha))\cos(\theta)}.$  Soit $\lambda=\dfrac{\tan(\alpha)}{(\tan(\theta)-\tan(\alpha))\cos(\theta)}$.
    Le rapport est équivalent (par la loi des sinus dans $BAD$) à $\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{AD}{FD}+1=\dfrac{\sin(\theta)^2}{\sin(\alpha)^2}$ ou bien $$\dfrac{\tan(\theta)^2\cos(\theta)^2+(1-\cos(\theta)^2)\tan(\alpha)^2}{\tan(\alpha)^2}=\dfrac{\sin(\theta)^2}{\sin(\alpha)^2}$$ qui est vrai.
    Inversement si $\hat{DAC}\neq \alpha$, $\lambda$ change ainsi que $\dfrac{AF}{FD}$ contradiction.
  • Modifié (4 Aug)
    Pour une approche trigonométrique, il est intéressant d'utiliser les formule sans (AD) ou dans le cercle circonscrit (AD -> AF) donnant la A-cévienne en fonction des côtés AB et AC du triangle et de l'angle α partagé en deux par cette cévienne

          (sin α )/ d = (sin α₁︎)/b + (sin α₂︎)/c
          AF (sin α) = b (sin α₁︎) + c (sin α₂︎)     [Gakopoulos]
  • Merci, Gypsic, pour ce sujet et ses développements !
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (8 Aug)
    Pour vraiment être complet, je rajoute un lemme de Thanasis Gakopoulos (qui intéresse sans doute JL Ayme) et une égalité trigonométrique que j'ai déduite d'un autre lemme de Thanasis Gakopoulos pour toute cévienne:
     sin α   AF = sin α₁︎   AC + sin α₂︎    AB
    à ne pas confondre avec
     sin α / AD = sin α₁︎ / AC + sin α₂︎  / AB

  • Bonjour, il ne faut pas tourner en rond :)  par les triangle similaires  $ABD$ et $AFC$.
  • Merci Tonm ... c'était bien mon propos dans mon premier « post »
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