Point de rebroussement dans une variété?

LoïcChantry

Bonjour

J’espère que ma question n'est pas stupide, mais cela me taraude à chaque fois que je revois la définition (hors sous-variété de $\mathbb{R}^n$) des variétés différentielles.

Pour mieux m'expliquer je vais prendre l'exemple de l'image $\mathcal{C}$ de la courbe courbe paramétrée $f : t \in I \mapsto (t^2,t^3)$.

Sous variété du plan ? Pour $I$ intervalle ouvert ne contenant pas $0$, il s'agit bien d'une sous-variété du plan. Alors que dans le cas contraire on montre, en utilisant la caractérisation par plongement et en montrant qu'une éventuelle immersion ne peut exister en $(0,0)$, que cette ensemble n'est pas une sous-variété du plan. On trouvera les détails ici par exemple : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/geo/geodiff&type=fexo. Tout cela me semble clair.

Par contre si on cherche à vérifier en utilisant directement de définition de variété différentiel quelque chose me perturbe.
On considère le cas $I=\mathbb{R}$. En tant qu'image d'un homéomorphisme avec $\mathbb{R}$ il est immédiat que $\mathcal{C}$ est une variété topologique. Si on considère la famille d'atlas des atlas compatibles avec l'atlas constitué de la carte $g : (x,y)\in\mathcal{C}\mapsto y^{1/3}$, il me semble que $\mathcal{C}$ remplit toutes les conditions pour être une variété. Pas besoin de vérifier le critère de différentiabilité des changements de carte vu qu'il n'y en a qu'une. Alors peut-être que $\mathcal{C}$ est une variété sans être une sous-variété du plan mais quelque chose me dit que je fais une erreur quelque part.
Plus précisément ma surprise viens du fait qu'aucune condition de différentiabilité n'intervient sur les parties des variétés non recoupées des atlas dans la définition générale des variétés, alors que ces conditions interviennent dans le cas des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$.
D'avance je vous remercie pour vos éclaircissement,

Loïc.

Calli

Bonjour,
Comme $\cal C$ est homéomorphe à $\Bbb R$ (en tant que sous-espace topologique de $\Bbb R^2$), tu peux la munir d'une structure de variété différentielle compatible avec cette topologie. Par exemple avec la carte $(x,y)\mapsto y^{1/3}$ comme tu l'as dit. Et alors l'injection ${\cal C}\to \Bbb R^2$ est même de classe $\mathcal{C}^\infty$. En revanche, cet atlas n'en fait pas une sous-variété de $\Bbb R^2$.
Il y a un phénomène un peu analogue en topologie. Soient $E:=[0,1]$ muni de la topologie discrète et $F:=\Bbb R$ muni de sa topologie usuelle ($E$ est l'analogue de $\cal C$ et $F$ est l'analogue de $\Bbb R^2$ dans cet exemple). $E$ et $F$ sont des espaces topologiques, $E\subset F$, et l'injection $E\to F$ est continue. Mais $E$ n'est pas un sous-espace topologique de $F$ car la topologie trace de $F$ sur $[0,1]$ n'est pas la topologie discrète.

LoïcChantry a dit :

Plus précisément ma surprise viens du fait qu'aucune condition de différentiabilité n'intervient sur les parties des variétés non recoupées des Atlas dans la définition générale des variétés, alors que ces conditions interviennent dans le cas des sous-variétés de $\mathbb{R}^n$.

Je n'ai pas compris ce que tu veux dire par "les parties des variétés non recoupées des Atlas".

Positif

C'est une variété mais pas une sous-variété parce que le "pic" comme tu l'as bien remarqué. C'est comme le carré qui est une variété topologique mais pas une sous-variété.

Homo Topi

Je suis curieux de ce que nos intervenants plus savants diront au sujet de cette courbe et du théorème de Whitney. C'est censé être une SV de $\R^2$ puisque c'est une variété (de dimension 1 si je ne m'abuse, puisque c'est une courbe), c'est sûrement le choix de l'atlas qui fait déconner mais je ne sais plus très bien faire ça.

Calli

@Positif : Le carré ouvert est une sous-variété différentielle de $\Bbb R^2$, comme tout ouvert.

@Homo Topi : Le théorème de Whitney dit qu'il existe un plongement $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$ (je conserve la structure de variété différentielle sur $\cal C$ que Loïc a donnée, i.e. la carte $(x,y)\mapsto y^{1/3}$). Par exemple, dans notre cas, $(x,y)\in\mathcal{C} \mapsto (0,y^{1/3}) \in\Bbb R^2$ est un plongement $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$. Mais le théorème ne dit pas que toute injection continue $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$ qui est un homéomorphisme sur son image (on pourrait appeler ça un "plongement topologique") est un plongement (différentiel celui-là du coup). Par exemple l'injection canonique $\mathcal{C}\to\Bbb R^2$ n'est pas un plongement. La nuance est donc grosso modo un quantificateur $\exists$ vs $\forall$ et il n'y a évidemment pas de contradiction.

Math Coss

Je pense que @Positif parlait du bord du carré, homéomorphe à un cercle mais pas difféomorphe au même.

Calli

Ah oui, sûrement. 

LoïcChantry

Bonjour
Je vous remercie tous pour vos réponse.
Il faut donc bien faire confiance aux définitions !

$\mathcal{C}$ est une variété différentielle mais pas une sous-variété de $\mathcal{R}^2$. De même j'imagine que la "surface du cube" à trois dimensions est une variété différentielle mais pas une sous-variété de $\mathbb{R}^3$.
Donc si je comprend bien, la structure de variété différentielle en tant qu'espace topologique métrisable séparé, localement homéomorphe à $\mathcal{R}^n$ et muni d'un atlas est d'avantage caractérisée par la "structure de son atlas" (la façon dont il se recoupe etc...) de référence que l’éventuel forme qu'il pourrait adopter au sein d'un espace qui le contiendrait ?

@Calli j"entendais par partie non recoupé d'un atlas l'ensemble des points d'une variété qui ne sont atteints que par une seule carte d'un atlas donné.
Loïc

Homo Topi

La grammaire et l'orthographe, au secours. Désolé, fallait que ça sorte.

C'est surtout le "degré de différentiabilité" qui dépend de l'atlas. Si tu lis l'anglais, tu peux lire la section "Definition" ici où c'est plutôt bien expliqué. Dans une variété topologique, on veut juste avoir des cartes locales, a priori on ne se préoccupe pas tant que ça des changements de cartes (et certainement pas de leur degré de différentiabilité). Pour faire de la topologie sur une variété topologique, c'est suffisant (comme ça a été rappelé, pour le topologue, un carré, un cercle, une étoile etc c'est pareil, le topologue s'intéresse à d'autres choses : connexité, compacité...). L'intérêt des changements de carte de classe $C^k$, c'est que si tes applications cartes sont elles-mêmes de classe $C^k$, alors tu peux toujours choisir une carte privilégiée pour faire tes calculs et les traduire ensuite dans une autre carte. D'où l'intérêt de la notion d'atlas maximal, ça donne plus de choix pour espérer faire des calculs simples. Toi, avec ton unique carte, tu es condamné à faire des calculs dans une seule représentation de ta variété, qui ne contourne pas ton problème du point de rebroussement non-différentiable. Alors, oui, certes, tu as défini une structure différentielle sur ta courbe qui vérifie proprement la définition, mais est-elle pratique ?

Math Coss

Au lieu de prendre un pauvre point de rebroussement, on peut regarder par exemple la courbe qui définit le flocon de Von Koch, qui est paramétrée par un segment (brave variété) mais qui n'est différentiable nulle part --- le flocon n'est une sous-variété en aucun point.