Équivalent d'une suite
Bonjour, je recherche activement un équivalent de la suite définie par $$ u_1 > 0 ,\qquad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{nu_n} $$ Déjà, elle tend vers $+\infty$, ce qui est (supposé être) pratique pour donner des équivalents ;
(en effet, elle est croissante et si elle convergeait, elle serait majorée, ce qui, quand on l'écrit, aboutit à une contradiction :
$ \displaystyle u_n = u_1 + \sum_\limits{k=1}^{n-1} \frac{1}{ku_k} \geqslant u_1 + \frac{1}{M} \sum_\limits{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty $ ).
Un méthode non orthodoxe mêlée à mon oeil de lynx me dit qu'elle est très probablement équivalente à $ v_n = \sqrt{2\ln(n)} $ ;
D'ailleurs, c'est cohérent car on a bien $v_{n+1} - v_n \sim \frac{1}{nv_n} $
Il faudrait donc montrer $ u_n^2 \underset{n\to\infty}{\sim} 2\ln(n) $ ; peut-être en utilisant la relation $ \sum\limits_{k=1}^n u_k(u_{k+1} - u_k) = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \ln(n) $...?
(en effet, elle est croissante et si elle convergeait, elle serait majorée, ce qui, quand on l'écrit, aboutit à une contradiction :
$ \displaystyle u_n = u_1 + \sum_\limits{k=1}^{n-1} \frac{1}{ku_k} \geqslant u_1 + \frac{1}{M} \sum_\limits{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty $ ).
Un méthode non orthodoxe mêlée à mon oeil de lynx me dit qu'elle est très probablement équivalente à $ v_n = \sqrt{2\ln(n)} $ ;
D'ailleurs, c'est cohérent car on a bien $v_{n+1} - v_n \sim \frac{1}{nv_n} $
Il faudrait donc montrer $ u_n^2 \underset{n\to\infty}{\sim} 2\ln(n) $ ; peut-être en utilisant la relation $ \sum\limits_{k=1}^n u_k(u_{k+1} - u_k) = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \ln(n) $...?
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Réponses
Purée, bien joué ! Je suis impressionnée.
Merci encore, sinon.
$y’=\frac{1}{xy}$
$2yy’ = \frac{2}{x}$ d’où $y^2 = 2\ln(x) + c $
$y \sim \sqrt{2\ln(x)}$
$u_n \sim \sqrt{2\ln(n)}$
Ou encore
$u_n - u_1 = \sum\limits_{k=1}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) = \sum_\limits{k=1}^{n-1} \frac{1}{ku_k} $
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
La suite est strictement croissante.
Supposons la majorée.
Alors elle converge vers un réel $M>0$.
Mais alors, la série $\sum u_{n+1}-u_n$ converge, donc $\sum \frac{1}{nu_n}$ converge puis (par équivalence de séries à termes positifs)$\sum \frac{1}{Mn}$ converge...etc.