Un millionième

jelobreuil

Bonjour Ludwig,

C'est pas mal du tout ! Je suis intrigué par ta note : est-ce le résultat d'un calcul ?

En tout cas, c'est une figure très simple, et facile à étudier ! En fait, le point (1, 0) est le point limite atteint par E quand B se retrouve à l'infini ...

Bien amicalement, JLB

 

Ludwig

Bonsoir jelobreuil,

Une correction tout d'abord : c'est la distance de $E$ à $x=1$ qui donne le millionième aussi rapidement, pas celle de $E$ à $(1,0)$ (celle-ci converge moins rapidement vers $0$).

Ce rayon de $2+\sqrt{5}$ provient en effet de cet autre fil. Ce matin je n'avais pas fait les calculs quand j'ai dit que c'est avec ce rayon-là que la convergence est la plus rapide. La figure de l'autre fil m'a suggéré ce résultat, et puis c'est vérifié expérimentalement pour cette nouvelle construction du millionième.

Je viens de faire quelques calculs, mais je ne suis pas très sûr de mon raisonnement, qui n'est d'ailleurs pas vraiment terminé..

Je note $a$ le rayon du cercle de centre $O$ (celui qui contient $C$) et $B(0,-b)$. Des calculs pas très compliqués mais assez pénibles donnent : $$x(E)=\frac{(1-b^{2}) \sqrt{-a^{4} + 4a^{2}b^{2} + 2 a^{2} - 1}}{-2a b^{3} + 2 a^{2} b - 2 a b - 2 b}.$$



Alors voilà ce que j'ai fait : je dérive cette abscisse par rapport à $a$ et je cherche quand cette dérivée s'annule. Je trouve six nombres qui dépendent de $b$. Trois sont négatifs lorsque $b$ est assez grand, deux autres divergent vers l'infini. Reste celui-là : $\frac{2 \; b^{2} + \sqrt{5 \; b^{4} + 2 \; b^{2} + 1}}{b^{2} + 1}$, dont la limite est $2+\sqrt{5}$ lorsque $b$ tend vers $+\infty$. 

Reste à faire le lien entre cette limite et la vitesse maximale de convergence. À mon avis le résultat est correct, il y a peut-être quelque chose en rapport avec une interversion de limites.

Amicalement, Ludwig

Ludwig

Une petite remarque pour terminer : je remplace $b$ par $2b$ dans la formule de l'abscisse (appelons $E'$ le point correspondant de la construction), puis je calcule la limite de $(1-x(E'))/(1-x(E))$ quand $b$ tend vers l'infini : $1/64$. Autrement dit, au lieu de faire la construction avec $B$, faisons-là avec le symétrique de $O$ par rapport au symétrique de $O$ par rapport à $B$ : la vitesse de convergence sera multipliée par $64^2=4096$ .

Ludwig

La répétition d'une construction voisine de la précédente est encore plus efficace pour aller dans le nano espace que celle liée à $X_{76}$.

$A$ point du cercle orange de centre $o(0,0)$ et de rayon $2+\sqrt{5}$, $B(-1,0)$.
La médiatrice de $[AB]$ coupe $(oy)$ en $O$ et $[oA]$ coupe le cercle trigonométrique en $G$.
$(OG)$ recoupe ce cercle en $M$.

$[oM)$ coupe le cercle orange en $A'$. Je refais pour $A'$ la même construction que pour $A$ :
La médiatrice de $[A'B]$ coupe $(oy)$ en $O'$ et $[oA']$ coupe le cercle trigonométrique en $M$ (déjà placé).
$(O'M)$ recoupe ce cercle en $M'$.

Dès que l'angle polaire de $A$ est plus petit que $45°$ l'abscisse de $M'$ est à moins d'un millionième de la droite d'équation $x=1$. Si cet angle est plus petit que $30°$ elle est à moins d'un milliardième, et si vous le rendez plus petit que $15°$ le logiciel vous dira que cette abscisse est égale à $1$ (on peut démontrer que cela est faux).

Une poignée de droites et deux cercles suffisent pour envoyer GeoGebra dans les choux.

Ludwig

Bonsoir,
En partant de la figure précédente j'ai réussi à construire un point $M''$ très proche d'un autre point, le point $C$, qui lui est variable sur une droite ($x=1$). Si proche que le logiciel indique que les deux points sont confondus. Or c'est faux, ils ne sont pas confondus (on peut le prouver, la droite $x=1$ est juste une asymptote de la courbe - une cissoïde - sur laquelle se déplace $M''$). Donc ici, GGB se trompe tout le temps, quelle que soit la position du point $C$ sur la droite. Autrement dit, pour le logiciel, la courbe et son asymptote ne font qu'une ! L'indiscernabilité n'est plus seulement locale mais globale.
Pour cela j'ai construit la cissoïde de pôle $M'$ du petit cercle (centré sur l'origine et de rayon $1$, voir figures ci-dessus et ci-dessous) et de sa tangente en $x=1$. Lorsqu'on rapproche $A$ de l'axe $(Ox)$ le point $M'$ se rapproche très vite du point $(1,0)$ et la cissoïde se confond avec la droite $x=1$.
Une construction à peine plus compliquée que la précédente : huit droites et deux cercles.
Lien vers une figure en ligne. Déplacez le point $C$ ! (et le point $A$ pour voir se déformer la cissoïde).