Un millionième

Ludwig

Bonjour,
Construire à l'aide d'un logiciel de géométrie un point distant de l'origine de moins d'un millionième. Tout doit être fait "à la main" : on ouvre la fenêtre au format standard (à peu près comme ci-dessous), pas le droit de zoomer (sinon il suffirait de le faire suffisamment pour placer dans la fenêtre, directement à la main, un point répondant au problème), pas le droit d'entrer une formule non plus (sinon il suffirait par exemple d'entrer le point $(0,10^{-8})$). Et la construction doit être faite "à hauteur d'homme" : une centaine d'instructions maximum.
Toutes les transformations du plan proposées par le logiciel sont autorisées : symétrie, inversion, homothétie, etc. Avec des droites des coniques tout ce que vous voulez.


Interdire le zoom empêche par exemple de partir du point $(0,1/10)$ et de répéter quatre fois une construction de la racine carrée. Interdire la saisie d'une formule empêche par exemple d'utiliser un point qui serait "hors-cadre". Peut-être est-ce plus facile que je ne le pense, en tous cas je n'ai rien trouvé. Bon courage !

Dom

Homothétie autorisée … en saisissant le rapport ? 😈

bisam

$2^{30}>10^6$ donc il suffit de faire $A_0=(0,1)$ puis 30 fois $A_{k+1}=\frac{1}{2}A_k$ (c'est-à-dire prendre le milieu à chaque fois entre $O=(0,0)$ et $A_k$), non ?

Ludwig

Non bisam : tu fais comment pour placer ces milieux sans zoomer ? C'est impossible.
Tu peux entrer le rapport d'une homothétie Dom, mais on va dire que celui-ci doit découler d'une mesure "sur le terrain". Sinon c'est considéré comme la saisie d'une formule, évidemment.

Rescassol

Bonjour,

On peut prendre le milieu sans zoomer, en désignant les points dans la partie algèbre de Géogébra.

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

Ah bien vu Rescassol, je n'avais pas pensé à ça. Mais cette technique est finalement du même acabit que l'entrée d'une formule dans le champ de saisie. Donc c'est interdit.

GaBuZoMeu

Bonjour,

La règle du jeu serait donc : uniquement dans la fenêtre Graphique de GeoGebra, uniquement à la souris, sans zoomer ?

JLT

Peut-être utiliser $\frac{1}{1062347}=1-\frac{4}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}-\frac{5}{19}-\frac{9}{23}$ ?

Ludwig

Oui GaBuZoMeu, on peut le dire comme ça. Et j'ajoute un autre petit détail technique : on peut sans doute placer assez facilement un point $A$ dont la distance $d$ à l'origine est plus petite qu'un millième. Et alors on obtiendrait une solution au problème du millionième en prenant l'image de $A$ par l'homothétie centrée sur l'origine et de rapport $d$. Mais pour cela il faut mesurer la distance $d$, l'accès au champ de saisie et à la fenêtre algèbre étant interdits. On pourrait la mesurer en approchant la souris de $A$ (et $O$), car le logiciel permet alors (clic droit) de choisir un des deux points. Cette opération est donc également interdite. Il faut que le choix d'un point se fasse manuellement, qu'on puisse différencier deux points quelconques de la construction simplement en déplaçant la souris.

Dom

Tant qu’on y est : uniquement à la souris sur le réseau prédéfini à l’unité ? (et les points déjà construits bien sûr)
peut-on sortir de la feuille ? je veux dire la déplacer à droite, etc. ?

Soc

Uniquement à la souris on peut prendre le milieu d'un segment, donc il faut être plus restrictif et précis sur les restrictions.

Ludwig

Il va peut-être falloir que je reformule le problème... je n'avais pas pensé à tous les points que vous avez soulevé.
@ Soc : prendre le milieu d'un segment ok, mais encore faut-il que celui-ci soit sélectionnable !
@ Dom : non pas le droit de sortir de la feuille, sinon tu peux obtenir directement un rapport d'homothétie très très grand. Oui pourquoi pas partir des points d'un quadrillage unitaire, mais c'est une contrainte pas si contraignante je crois, donc peu importe.
Excellente idée JLT ! Cela pourrait marcher à condition de pouvoir saisir à la main tous les points construits avec ta formule. Est-ce possible ?

GaBuZoMeu

"Uniquement à la souris on peut prendre le milieu d'un segment"

Soc, as-tu essayé de prendre à la souris le milieu des points (0,0) et (0,1/100000) en les sélectionnant dans la fenêtre graphique ?

Dom

Peut-être qu’en cas de doute le logiciel (selon la version) propose un choix « cliquable ».

Bon, cela dit on a compris que toute astuce de ce type n’est pas dans les règles. 

Soc

Tu prends le milieu du milieu du milieu etc... 20 fois en partant de (0;0) et (0;1).

Edit: Je pensais que tu parlais du problème de définition à partir de Geogebra, mais effectivement au bout d'un moment on aura un problème pour cliquer sur le bon élément.

Dom

Sans saisie au clavier, Soc. 

GaBuZoMeu

As-tu essayé, Dom ?

Dom

Hélas… je ne peux pas. 

Ludwig

Je pense que c'est possible avec la formule de JLT : $\frac{1}{1062347}=1-\frac{4}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}-\frac{5}{19}-\frac{9}{23}$. On construit un segment dont la longueur est égale $\frac{4}{11}$ grâce au théorème de Thalès. Pareil pour les autres fractions. Ensuite on reporte ces longueurs grâce à des cercles, sur quatre segments d'origine $O$, de façon à ce que la saisie des points d'intersection soit aisée (voir la figure ci-dessous). Le point vert, intersection du cercle orange de rayon $\frac{9}{23}$ avec l'axe des abscisses, est situé à moins d'un millionième de l'origine : 

Sur cette figure je n'ai pas construit les fractions, j'ai directement tracé les cercles à partir des rayons. La construction "finale" est donc possible, mais pas sûr que la construction des fractions le soit sur la même feuille.

bisam

Peut-être est-il envisageable d'utiliser deux droites ayant des pentes très proches avec la suite de Fibonacci ?

Ludwig

Oui on peut construire une figure ainsi, en théorie en tous cas. Car il me semble que pour obtenir un point très proche de l'origine il va falloir utiliser de très grands nombres de Fibonacci et donc, en pratique, il ne sera pas facile de les obtenir sur notre feuille très limitée. Il est préférable d'utiliser de petits nombres, comme dans l'égalité postée par JLT. Au fait JLT, d'où sors-tu cette égalité fractionnaire ? J'imagine qu'on peut en établir autant qu'on veut ?

Dom

Une question : pourquoi Fibonacci interviendrait dans cet exercice ?

JLT

Oui, si $a_1,\ldots,a_n$ sont premiers entre eux deux à deux, $d=a_1\cdots a_n$ et $m$ est un entier, alors il existe des entiers $q$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que $\frac{m}{d}=q+\sum_i\frac{\lambda_i}{a_i}$.

Pour trouver en pratique les $\lambda_i$ je constate que $m\equiv \lambda_i \frac{d}{a_i}\pmod{a_i}$ donc $\lambda_i$ est, modulo $a_i$, le produit de $m$ par l'inverse de $\frac{d}{a_i}$.

Ludwig

Merci JLT c'est extra.
@ Dom : on peut étendre la construction de la figure bien connue du "paradoxe de Curry". En prenant l'origine comme indiqué sur la figure ci-dessous, la droite tracée va passer tout près. Il suffira alors de construire la perpendiculaire à cette droite passant par $O$ et de prendre l'intersection des deux droites. Pour les calculs on peut partir de l'égalité $F_nF_{n-3}-F_{n-1}F_{n-2}=(-1)^n$.

PetitLutinMalicieux

Bonjour.

Ce n'est pas tellement une question de géométrie, mais de logiciel, et ses dépassements de capacité. On peut créer un point (1000000000,0) sans soucis. Mais créer un point (0,10^(-8)) renvoie un point (0,0).

Si ce n'était qu'une question de géométrie, on appliquerait Thalès et c'est fini. Amusant que vous vouliez divisez par 2 30 fois, alors qu'il suffit de diviser par 1000 deux fois.

Ludwig

C'est faux le point $(0,10^{-8})$ est bien reconnu par GGB, sans doute as-tu choisi un option arrondi avec peu de décimales. Et diviser par mille deux fois n'est pas possible à cause des contraintes que j'ai fixées au début (et qui ont évoluées au cours du fil..) : on ne pourra pas sélectionner les objets créés.
Tu as raison de parler de géométrie, car c'est bien sur ce terrain que je voulais aller. Il n'y a pas vraiment de géométrie dans la construction liée à l'égalité de JLT, car elle ne repose sur aucune propriété. Je préférerais une construction avec des transformations, de sorte qu'en bougeant un point son image graviterait très très près de l'origine.

JLT

Peut-être chercher du côté de trisections approchées d'angles mais je ne connais pas bien.

Math Coss

J'exploite le fait que $\sqrt{82}=9+1/(18+1/(18+1/(18+1/\cdots)))$. Avec à peine trois occurrences de $18$, on est à moins de $3\cdot10^{-8}$ de $\sqrt{82}$.

sage: sqrt(82.)-(9.+1/(18+1/(18+1/(18+1))))
2.59139394387375e-8

Sur la figure ci-dessous, certains points sont placés avec leurs coordonnées entières : $A=(19,18)$, $B=(0,19)$, $C=(1,18)$, etc. Les autres sont construits par Thalès. On a $y_D=18+\frac{1}{19}$, $x_G=-\frac1{18+\frac{1}{19}}$, $y_K=-\frac1{18+\frac1{18+\frac{1}{19}}}$, de sorte que $0\le LJ-LK\le3\cdot10^{-8}$. Ou peu s'en faut.

(Le fichier joint est un .ggb dont l'extension a été modifiée.)

Ludwig

Bravo Math Coss ! Très jolie cette méthode.

En voici une autre, qui contourne le problème de sélection de points trop proches. Je vais appliquer huit fois de suite une homothétie de rapport $1/10$. Pour cela j'utilise une astuce basée sur le calcul littéral suivant : $ \frac{x}{10}= \frac{x+a}{10} - \frac{a}{10}$. Autrement dit je vais faire agir l'homothétie de rapport $1/10$ non pas sur le point directement, mais sur l'image de ce point par une translation (de norme $a$), et ensuite je récupère la bonne image en faisant une autre petite translation (de norme $a/10$). Je pose $h_a(x)= \frac{x+a}{10}$ ($a$ entier) et note $h$ l'homothétie centrée sur l'origine et de $1/10$. Que se passe-t-il quand on applique successivement des transformations du type $h_a$ ? On a $h_{a_1} \circ h_{a_2} \circ ... \circ h_{a_n} = t \circ h^n$ où $t$ est une translation de norme $0,{a_n}...{a_1}$ (il suffit de faire le calcul pour le voir).

En pratique : je trace les droites $x=-7$, $x=-6$, ... , $x=0$ et je place $M_1$ sur la première. Je construis $H_1$ image de $M_1$ par l'homothétie de centre $A_1$ et de rapport $1/10$. Puis je place $M_2$ tel que $A_2M_2= A_1H_1+5$ (ici j'ai choisi $5$ pour décaler suffisamment $M_2$ vers le haut, mais j'aurais très bien pu prendre $6$ ou $7$). Je construis $H_2$ image de $M_2$ par l'homothétie de centre $A_2$ et de rapport $1/10$. Puis je recommence cette manip avec la droite suivante. Les valeurs de "décalage" utilisées sont $5$, $4$, $6$, $6$, $7$, $8$ et $5$, de sorte que le point $H_8$ est tel que $OH_8= A_1M_1/10^8+0.5876645$. Ce nombre décimal est facilement constructible, par exemple avec Thalès. Il ne reste donc qu'à soustraire ce nombre à l'ordonnée de $H_8$ pour trouver un point distant de $O$ de moins d'un millionième (sur ma figure l'ordonnée de $M_1$ vaut à peu près $3$) : 

Dom

Bonjour,

Tu saisis donc 1/10 à la main ? C’est interdit dans le cahier des charges. 

On peut éventuellement construire 10 points régulièrement répartis et cliquer sur des points pour obtenir le rapport idoine. 

Ludwig

Oui bien sûr, mais gagner du temps ce n'est pas interdit
J'ai corrigé mon message précédent : la fonction $h_a$ c'est juste $\frac{x+a}{10}$ et non pas la première formule.
Un lien vers une figure GGB :  https://www.geogebra.org/m/qk3ewbze
On peut choisir $6$ pour tous les entiers de "décalage", ce qui simplifie la valeur de translation finale : $0,6666666$. Et alors on prend plutôt $2/3$, plus facile à construire ! Et la construction sera tout aussi valide.

Ludwig

Ci-dessous la construction à partir de la grille unité d'un point (le rouge) situé à moins de $10^{-10}$ d'un noeud du quadrillage. J'ai répété dix fois une homothétie de rapport $1/10$. Ce coup-ci tout est fait à la main sans tricher. Avec $h(x)= \frac{x+6}{10}$ on a $h^{10}(x)= \frac{x}{10^{10}}+0.6666666666$. Une application de l'homothétie par segment vertical. La construction utilise Thalès pour prendre le dixième. À droite le petit triangle pour la construction de $2/3$.



Bien sûr on peut faire une figure analogue pour aller jusqu'à par exemple $10^{-20}$. Ce qui veut dire qu'on peut placer à la main un point théoriquement différent de l'origine mais qui sera confondu avec par le logiciel. Mais cela n'est pas vraiment une surprise.

Ludwig

J'ai fait la construction en allant jusqu'à $10^{-18}$ (lien vers la figure sur le tube), pour montrer clairement les limites du logiciel. À partir d'un point $M$ qui se ballade sur l'axe des ordonnées j'ai construit le point $N$ tel que $y(N)=y(M)/10^{18}+2/3$, à partir de la grille unité, sans zoomer, tout est fait à taille humaine. Quand on demande au logiciel si $y(N)=2/3$ il répond toujours "true", ce qui en théorie est toujours faux, sauf si $M$ se trouve à l'origine. 

Cette construction fait donc mentir GeoGebra !

Quand on regarde la construction "de l'extérieur", d'un oeil innocent, on ne voit que des points placés sur un quadrillage, des tracés de parallèles et des points d'intersection. Elle ne diffère pas d'une construction classique - cela dit il y a quand même une répétition, ce qui pourrait faire penser à une convergence (c'est d'ailleurs le cas!) - mais dans ce fil sur les FLTI  j'ai construit une figure où il y a aussi une répétition, et la construction montrait un point fixe, qui aurait donc très bien pu ne pas l'être en théorie, mais seulement pour le logiciel. 

Conclusion : une preuve est toujours nécessaire ! (quoi ? tout ça pour ça ??). 



Ah mais je suis content  

Ludwig

Content, mais à moitié satisfait. Car la construction de Math Coss ainsi que la mienne sont basées sur un processus convergent : Math Coss prend une réduite d'une fraction continue, et j'ai répété dix fois une homothétie de rapport $1/10$. Or on ne rencontre jamais de processus convergent quand on fait une figure géométrique "classique". C'est autre chose pour la méthode qui repose sur le calcul de JLT : elle permet d'atteindre des nombres très très petits à partir de nombres "à taille humaine", ce qui est vraiment ce que je voulais. Seulement son calcul provient de l'arithmétique et cela va se compliquer si on veut fabriquer quelque chose de continu comme avec ma méthode. Je doute d'ailleurs que cela soit possible (en faisant une seule figure avec le logiciel).

Mettons qu'on a fait une petite figure habituelle avec le logiciel, dans laquelle le déplacement d'un point, par exemple sur une droite, entraîne un déplacement de trois droites qui, tout l'indique, semblent concourantes. J'ai tendance à penser qu'elles le sont pour de bon ! Autrement dit, c'est prouvé !! Et je ne parle pas de preuve symbolique, de toute façon la commande PROUVER ne fonctionne pas, je parle simplement de constatations numériques empiriques.

En gros : tu peux pas constamment atteindre un nano espace à partir d'un mano espace sans être en présence d'une propriété géométrique.

Je ne sais pas si on peut toujours ramener le problème à la question suivante mais cela pourra peut-être faire avancer le shmilblick : on a une fonction continue définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Cette fonction est quasi nulle (c'est-à-dire à moins de $10^{-10}$ de $0$) pour un grand nombre de valeurs. Connaît-on des classes de telles fonctions dont on a prouvé que du coup elles étaient nulles sur tout l'intervalle ? Et je ne parle pas de quelque chose en rapport avec la densité, car ce grand nombre de valeurs est bien sûr fini. 

Ludwig

Un petit slogan qui sonne bien et qui résume mon message précédent : NO NANO A LA MANO.
Bon weekend ! Ludwig

nicolas.patrois

Nano War ?

Ludwig

And we will probably lose this Nano War. Voici un exemple qui ne répond pas complètement au problème mais qui peut mettre sur la voie. Il s'agit d'une figure facile à faire et dans laquelle un point reste très proche d'une droite. Ce point est le n°$1986$ de l'encyclopédie ETC (ce fil du forum en a récemment parlé).

Soit donc trois points $A$, $B$ et $C$ du cercle trigonométrique $(O)$.
$A'$ symétrique de $A$ par rapport à $(BC)$, $M_1$ milieu de $AA'$. $A''$ symétrique de $A'$ par rapport à $(AC)$, $A'''$ symétrique de $A'$ par rapport à $(AB)$ et $M_2$ milieu de $A''A'''$.
$B'$ symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$, $M_3$ milieu de $BB'$. $B''$ symétrique de $B'$ par rapport à $(BC)$, $B'''$ symétrique de $B'$ par rapport à $(AB)$ et $M_4$ milieu de $B''B'''$.
$X_{1986}$ est le point d'intersection des droites $M_1M_2$ et $M_3M_4$.

Lien vers une figure GeoGebra où les points $A$, $B$ et $C$ sont manipulables.

Lorsque l'angle $\widehat{AOB}$ est proche de $120°$ le lieu du point $X_{1986}$ lorsque $C$ varie a été colorié en vert : c'est quasi un segment avec un quasi cercle (de centre $O$ et de rayon $1/2$). $X_{1986}$ parcourt cette partie quasi circulaire lorsque $C$ parcourt une toute petite portion du cercle trigonométrique, proche de $(1,0)$. D'autant plus petite que l'angle $\widehat{AOB}$ est proche de $120°$. Si cet angle mesure exactement $120°$ le lieu est réduit au segment. Lorsque $C$ parcourt la partie restante $X_{1986}$ reste très proche de la droite $(AB)$, pourvu que l'angle $\widehat{AOB}$ soit proche de $120°$. Et une telle configuration est facilement réalisable à la main, en déplaçant par exemple $A$ et $B$ pour rendre leurs abscisses proches de $-1/2$, ce que j'ai fais sur la figure ci-dessous. J'ajoute que $X_{1986}$ n'est pas défini lorsque le triangle est équilatéral.

Alors bien sûr la construction est conditionnée au placement d'un point d'abscisse nano-proche de $-1/2$ (c'est pour cela que le problème n'est pas résolu), mais c'est une construction élémentaire avec une distance, celle de $X_{1986}$ à la droite $(AB)$, qui restera presque toujours nano-proche de $0$ (sans être constante, car cela est facile à faire).

Bon dimanche, Ludwig

jelobreuil

Ludwig a dit :

Content, mais à moitié satisfait. Car la construction de Math Coss ainsi que la mienne sont basées sur un processus convergent : Math Coss prend une réduite d'une fraction continue, et j'ai répété dix fois une homothétie de rapport $1/10$. Or on ne rencontre jamais de processus convergent quand on fait une figure géométrique "classique".

Bonne nuit, Ludwig, 

Je ne sais pas si cela te contredit vraiment, mais je me permets de te renvoyer à ce que je présentais dans l'un de mes premiers messages sur ce forum : partant d'un polygone inscrit dans un cercle, l'application qui le transforme en le polygone dont les sommets sont les milieux de chaque arc, fait tendre ce polygone, par itérations successives, vers le polygone régulier de même ordre.

Je te joins ce document, dans sa dernière version.

Bien cordialement, JLB

Ludwig

Merci Jelobreuil de t'intéresser à ce que je raconte. Mais dans ton document tu utilises justement une méthode que j'ai choisi d'écarter. Pas d'itérations ! Sinon il est "facile" de construire un point aussi proche que l'on veut d'un autre. Par contre le faire à la main, à hauteur d'homme, c'est une autre histoire ! Et ce que je prétends c'est que si GGB te dit que tu y es arrivé, c'est qu'une propriété géométrique t'y a aidé. 

Une construction très simple en guise d'exemple : je prends un triangle, je trace ses trois hauteurs et je prends leurs intersections 2 à 2. Trois points donc, et GGB me dit qu'ils ne font qu'un. Que peut-on en conclure ? Ben rien du tout ! Car le logiciel dit simplement que la distance entre deux de ces points est plus petite qu'un petit millionième, rien de plus ! Ce n'est pas en son pouvoir de dire qu'elle est nulle. Cela étant dit, il faut quand même ajouter que ces trois distances restent quasi-nulles lorsqu'on bouge les sommets du triangle, et là, ça se complique ! Car on a des fonctions qui restent quasiment nulles pour un grand nombre de points, et pas des fonctions compliquées ! Alors.. ben quoi, elles sont nulles pour de bons. Qui ne l'a pas pensé ça ?

Si NO NANO A LA MANO est vrai, alors on aura des preuves de propriétés géométriques données en cadeaux par les logiciels, comme ça, sans rien faire du tout. Des preuves qui n'expliquent rien ! Et ça c'est quand même énorme. Enfin, surtout, ce qui énorme, c'est de ne pas encore avoir trancher la question : un constat empirique numérique fait à partir d'une construction pas trop compliquée (*) constitue-t-il une preuve ?

Tant que cette affaire ne sera pas réglée, que ce doute qui plane ne sera pas dissipé, la chape de plomb qui en résulte continuera à ruiner la transmission. Comment ça j'en fait des tonnes ? Amicalement, Ludwig

(*) Oui bon ok, tout est dans ce "pas trop compliquée" mais je pense avoir déjà pas mal cadrer le sujet : pas d'itérations, pas de zoom, pas de points hors de la feuille, etc.

jelobreuil

Bonne nuit, Ludwig,

En fait, ce sur quoi j'ai tiqué hier, c'est ton affirmation "on ne rencontre jamais de processus convergent quand on fait une figure géométrique "classique"." Et je t'ai envoyé ce document comme un bon exemple, à mon sens, de processus convergent ... Mais il est vrai que le même processus peut se révéler divergent, si l'on choisit pour le paramètre "k" une valeur supérieure à 1 ou inférieure à 0 ...

Comme je suis l'initiateur du fil auquel tu fais allusion, concernant le point ETC  X1986, tu comprends bien que ton fil m'ait titillé ...

D'un autre côté, ma marotte, c'est de rechercher des constructions approchées "à la règle et au compas", de polygones réguliers d'ordre impair. et il me semble que parmi celles que j'ai trouvées, il y en a quelques-unes qui pourraient peut-être satisfaire tes exigences, non pas sur l'origine, mais sur un sommet particulier ... Je t'en joins quelques exemples, parmi les plus exactes.

Bien amicalement, JLB

Ludwig

Merci JLB, Elles sont formidables tes constructions approchées, mais ce n'est pas ce que je recherche, Car tu auras réussi à n'approcher qu'un seul point. Ou une seule fois si tu préfères. Je veux une figure qui, quand par exemple on déplace un point, un autre bouge mais reste toujours très proche de, par exemple, une droite. Par très proche j'entends à moins de mettons $10^{-9}$. Et une figure qui a été faite sans procédé itératif, sans zoom, comme je l'ai dit plus haut. Une petite figure toute simple, faite à la main, qu'un enfant de cinq ans pourrait refaire.

Et je brûle ! Tiens, regarde, toujours avec le point $X_{1986}$. Je prends $B(-1,0)$, $O(0,0)$, $C(1,0)$ et je trace le cercle de centre $B$ passant par $D(0,1)$. Il coupe l'axe des abscisses en $E(-1-\sqrt{2},0)$. Je trace le cercle de centre $O$ passant par $E$ et je place un point $A$ sur un arc de ce cercle (voir figure). Ensuite je construis le point $X_{1986}$ du triangle $ABC$ (tu connais bien sa construction : elle est elle aussi très élémentaire). 

Et alors... surprise !! Lorsque le point $A$ parcourt cet arc le point $X_{1986}$ se déplace lui aussi bien sûr mais reste très très proche du cercle trigonométrique (en bleu) ! Il est dessus deux fois (lorsque $A$ est aux extrémités de l'arc, et alors il est en $B$ ou $C$), mais le reste du temps il n'est pas tout à fait dessus : au plus loin il doit être à environ $7$ millièmes, mais c'est de l'ordre du dix-millième en moyenne.
 
On peut dire que c'est plié non ? Il doit sûrement exister des figures toutes simples où un point reste nano-proche de par exemple un cercle comme ici. No nano à la mano, c'est faux ! Amicalement, Ludwig

jelobreuil

Bonsoir Ludwig,

Et merci du compliment, ça fait toujours plaisir !

Je serais curieux de savoir comment t'est venue cette idée de recherche, et pourquoi tu t'es focalisé précisément sur ce point particulier ...

En tout cas, c'est un résultat étonnant !

Retrouves-tu ce phénomène pour d'autres positions du point D  ou du point E ?

Et puisque tu apprécies mes constructions, que dis-tu de celle-ci ?

Bien amicalement, JLB

 

Ludwig

Ce qui m'étonnes dans tes constructions c'est que pour la très bonne précision qu'elles permettent d'obtenir elles sont finalement plutôt simples. C'est épatant !
J'ai pris $X_{1986}$ à cause du fil que tu as ouvert il y a peu, je ne connaissais pas ce point avant. Et pour obtenir la construction de mon message précédent c'est tout simple : j'ai tracé le lieu de $X_{1986}$ lorsque $A$ varie sur un cercle. Et j'ai changé le centre et le rayon de ce cercle pour que ce lieu devienne simple. Une fois qu'on sait à peu près quel est ce cercle c'est facile de le déterminer exactement (en regardant par exemple dans le menu algèbre ou bien avec des points particuliers). 
Une bonne journée, Ludwig

Ludwig

Et maintenant on peut essayer avec d'autres points de l'encyclopédie ! En voilà un qui donne de très bons résultats : $X_{76}$, le troisième point de Brocard, facile à construire car c'est le conjugué isotomique du point de Lemoine $L$. Je prends toujours $B(-1,0)$, $O(0,0)$, $C(1,0)$ et je place un point $A$ sur le cercle de centre $O$ et de rayon $3$. Lorsque $A$ varie sur ce cercle le lieu du point $X_{76}$ du triangle $ABC$ admet deux belles tangentes verticales en $B$ et $C$. Et alors c'est facile d'avoir un millionième, et même un milliardième ! Il suffit de rapprocher le point $A$ de par exemple $(3,0)$, car la distance de $X_{76}$ à la tangente devient vite très petite. On a le milliardième à la main (une ordonnée de $A$ de l'ordre du dixième donne déja le millionième).

jelobreuil

Bonjour Ludwig,

Sans vouloir te vexer, je dois dire qu'on pouvait s'y attendre : en effet, quel que soit le triangle ABC, le point de Lemoine, conjugué isogonal du centre de gravité G, se trouve toujours, comme G, à l'intérieur du triangle ABC, n'est-ce pas ? Et il en est de même de son conjugué isotomique. Donc, quand tu fais en sorte que le triangle ABC soit presque plat, et c'est bien ce qui arrive quant tu amènes le point A tout près du point (3, 0), il est bien compréhensible que les trois points G, L et X76 se rapproche extrêmement du point C ... Tu pourrais peut-être faire un calcul numérique des coordonnées de ces points en fonction de celles de A, je suppose qu'il ne ferait que confirmer mes dires ...

Quant à mes constructions de polygones réguliers, sache que j'ai pris l'habitude de les enregistrer en mode partagé sur Geogebra, et je suppose que tu peux aller les y consulter, sachant que j'y ai un dossier au nom de "Breuil Jean-Louis". Donc, si le cœur t'en dit ... D'ailleurs, j'aimerais bien que tu me dises si tu peux y accéder facilement ou non ...

Bonne journée, bien amicalement
Jean-Louis.

Ludwig

C'est pas faux Jelobreuil, et on pourrait d'ailleurs généraliser à n'importe quelle construction où apparaît une tangente. Par exemple, si tu prends un cercle et une de ses tangentes, la distance d'un point du cercle à cette tangente va tendre vers zéro à l'approche du point de tangence. Mais tu ne pourras pas accéder au millionième aussi facilement qu'avec cet $X_{76}$ (j'ai essayé j'arrive à peine au cent-millième). Avec $X_{76}$ on parvient facilement au milliardième, à la main. Car la pente est bien plus raide.

Oui oui on trouve facilement tes figures sur le tube GGB.
Amicalement, Ludwig

Ludwig

Avec cet $X_{76}$ il est facile d'aller aux limites du logiciel : je pars de la construction de ce messsage, et je place un point $A'$ sur le cercle tel que la distance $IA'$ soit égale à celle de $X_{76}$ à la tangente $x=1$. Puis je répète la construction du troisième point de Brocard (noté  $X'_{76}$) pour le triangle $BCA'$. 
La figure est entièrement faite à la main, sans zoomer, et sans utiliser de points hors-cadre. Et dès que $A$ se trouve à moins de deux centimètres de $I$ (lien vers une figure en ligne), ce point $X'_{76}$ est indiqué comme élément de la tangente, ce qui est bien sûr tout à fait faux en théorie.
Bon j'ai répété une construction, ce que je m'étais interdit, mais je l'ai fait juste pour le plaisir d'avoir planté le logiciel.

jelobreuil

Bonjour Ludwig,

En effet ! c'est assez bluffant !

De mon côté, j'ai mis ce matin sur Geogebra une construction, très simple, d'un heptadécagone régulier presque parfait, avec 15 angles à 11 cent-millièmes de degré de la valeur exacte ...

Bien amicalement, Jean-Louis

Ludwig

Je ne trouve pas ton heptadécagone Jelobreuil, mais seulement celui de 2020 sur le tube GGB.

Dans cette quête d'un nano espace j'ajoute une contrainte : il faut y aller directement dans cet espace, le recours à un intermédiaire - par exemple en passant par un micro-espace - est interdit. Sinon c'est trop facile. Ou si vous préférez il faut y aller en une seule fois. Car dans la figure de mon message précédent j'aurais très bien pu ne pas répéter la construction mais en utiliser une autre, à partir de la convergence de $X_{76}$ vers $x=1$ : par exemple avec les propriétés similaires d'autres points de l'encyclopédie. À ce propos, j'en ai repéré quelques autres : vous pouvez regarder si le coeur vous en dit les nano potentiels des points  $X_{37}$,  $X_{38}$,  $X_{39}$,  $X_{42}$,  $X_{99}$,  $X_{103}$,  $X_{183}$,  $X_{312}$, $X_{345}$, $X_{346}$, $X_{399}$ et $X_{468}$.

Il y a combien de points dans ETC déjà ? 72000 ? Il y en aura bien un qui va faire exploser les compteurs.

Une bonne soirée, Ludwig

jelobreuil

Bonne nuit, Ludwig,

Le fichier Geogebra de ce matin, je l'ai nommé "heptadécagone régulier quasi parfait rac2". Mais il est vrai qu'il n'apparaît pas en haut de la page, je ne sais pas pourquoi ... Je ne sais pas si je puis organiser moi-même cette page sur le site Geogebra ... Il y en aurait bien besoin, pourtant !

Je te joins le png correspondant.

Bien amicalement, JLB

 

Ludwig

Le millionième en trois coups : 
$O(0,0)$, $A(-1,0)$, $B$ point de $x=0$. Le cercle de centre $B$ passant par $A$ coupe celui de centre $O$ et de rayon $2+\sqrt{5}$ (*) en $C$, $[OC]$ coupe le cercle trigonométrique en $D$, la droite $(BD)$ le recoupe en $E$. Dès que $|y(B)| >12$ la distance entre $E$ et le point de coordonnées $(1,0)$ est plus petite que le millionième.

(*) : $2+\sqrt{5}$ est le rayon qui minimise la valeur de $|y(B)|$ nécessaire.