Agrégation interne, sujet d'algèbre de 1990 !
Bonjour à vous,
j'ai besoin d'aide sur une question du sujet d'agrégation interne d'algèbre de 1990.
$E$ désigne un $R$-espace vectoriel de dimension finie non nulle $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $tr(u^p)=0$ pour tout entier $p \in N^*$.
La question est : "prouver que $u$ n'est pas surjectif (on pourra utiliser le théorème de Cayley-Hamilton)".
Le problème est que je ne vois pas du tout en quoi le théorème de Cayley-Hamilton (qui dit que le polynôme caractéristique de $u$ est annulateur de $u$) va m'aider à prouver la non-surjectivité de $u$.
Je peux seulement dire que : comme $tr(u)=0$, le coefficient devant $X^{n−1}$ du polynôme caractéristique de $u$ vaut $0$ . De même pour les polynômes caractéristiques de $u^2,u^3$ etc.
Donc je suis bloqué et je vous remercie pour votre aide !!!
D'autre part, si jamais quelqu'un sait s'il existe un corrigé de cette épreuve d'algèbre de 1990 (agrégation interne, en ligne ou autre), je lui en serais très reconnaissant !!!
Bonne journée à vous.
Réponses
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On pourrait montrer que $u$ est nilpotent. Si $u$ était surjectif, que pourrait-on dire de $u^k$ (avec $k$ l'indice de nilpotence de $u$) ?
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Voici un corrigé en libre accès sur http://concours-maths-cpge.fr/.
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Kolakoski a dit :On pourrait montrer que $u$ est nilpotent. Si $u$ était surjectif, que pourrait-on dire de $u^k$ (avec $k$ l'indice de nilpotence de $u$) ?Donc $0$ ne serait pas valeur propre de $u^k$ pour tout entier naturel $k$.Mais je ne vois pas le lien avec le théorème de Cayley-Hamilton. Dans le sujet de 1990, le fait que $u$ soit nilpotent est à démontrer $2$ questions plus loin ! Ce qui me semble étrange hahaha !
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Math CossMille mercis !!! J'ai compris du coup comment on peut y arriver avec le théorème de Cayley-Hamilton !!!Merci infiniment pour le corrigé !!!
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Je ne comprends pas l'argument sur les images emboîtées, l'inclusion est dans le mauvais sens pour déduire des choses que l'hypothèse que $\mathop{\mathrm{Im}} u$, la plus grosse des images, est l'espace entier.
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Math Coss a dit :Je ne comprends pas l'argument sur les images emboîtées, l'inclusion est dans le mauvais sens pour déduire des choses que l'hypothèse que $\mathop{\mathrm{Im}} u$, la plus grosse des images, est l'espace entier.
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Moi je passerais sur $\C$. Les sommes de Newton des valeurs propres sont toutes nulles, leurs fonctions symétriques élémentaires aussi du coup, j'en déduis qu'au signe près le polynôme caractéristique est $X^n$ et donc $u$ est nilpotent.
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Certes mais la nilpotence de $u$ est demandée deux questions plus loin et sans indication, qui plus est dans la première partie du problème, cette voie me paraît hors de portée.
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Ah merci, je n'avais lu ni le sujet ni le corrigé ; je voulais voir si je n'étais pas encore trop rouillé en maths géné ...
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Plutôt que hors de portée j'aurais dû écrire pas dans l'esprit.
Bonjour!
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