Existe-t-il un nombre parfait impair?
Existe-t-il un nombre parfait impair?
O(n) = 2n
Soit a, b, ...c les nombres premiers puissance r1, r2,.. r3 etc.. Qui compose n.
On a donc:
O(a*b*..*c) = 2*a*b*..*c
O(a)O(b)..O(c) = 2*a*b*..*c
Disons que seul O(x) est pair, car n est impair.
Soit O(x) = 2q avec q impair.
2*q*O(a)*O(b).. = 2*a*b*..*c*x
q*O(a)*O(b).. = a*b*..*c*x
(q-1)*O(a)*O(b).. = a*b*..*c*x - q
(q-2)*O(a)*O(b).. = a*b*..*c*x - q - q
.
.
Puisque q est impair nous pouvons avoir cela, Tel que
(q-2k)*O(a)*O(b).. = a*b*..*c*x - 2kq
avec 2k = q-1:
O(a)*O(b).. = a*b*..*c*x - 2kq
O(a)*O(b).. + 2kq = a*b*..*c*x
O(a)*O(b).. + k*O(x) = a*b*..*c*x
2*O(a)*O(b).. + 2*k*O(x) = 2*a*b*..*c*x
2*O(a)*O(b).. + 2*k*O(x) = O(n)
2*O(a)*O(b).. + 2*k*O(x) = O(a)*O(b)..O(x)
O(a)*O(b).. + k*O(x) = O(a)*O(b)..q
O(a)*O(b).. + 2kq = O(a)*O(b)..q
2kq = O(a)*O(b)..q - O(a)*O(b)..
2kq = O(a)*O(b)..(q-1)
2kq = O(a)*O(b)..k
2q = O(a)*O(b)..
Absurde.
Donc il n'existe pas de nombre parfait impair.
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Réponses
PS. À ceux que ça intéresse et qui ne comprennent pas le message, ce que Pwolmi note O est en fait la fonction somme des diviseurs, notée habituellement $\sigma$.