Dénombrement subtil
Bonjour,
On veut calculer $D_n$, nombre de manières de décomposer un n-gone convexe en triangles au moyen de diagonales.
Dans le journal de Liouville de 1838, Lamé et Olinde Rodriguez ont montré que $D_{n+1} = (4n - 6)D_n/n$ ; cela donne $D_n = (2n - 4)!/(n - 1)!(n - 2)!$ ou $D_n = C(2n - 3, n - 2)/(2n - 3)$, avec $C(..., ...)$ coefficient binomial.
On note que $n - 2$ est le nombre de triangles dans une décomposition et que $2n - 3$ est le nombre de segments (côtés ou diagonales) reliant les sommets deux à deux dans une décomposition ; partant de cette remarque, ne peut-on pas en déduire une preuve plus simple que celles de Lamé et Rodriguez ?
A+
On veut calculer $D_n$, nombre de manières de décomposer un n-gone convexe en triangles au moyen de diagonales.
Dans le journal de Liouville de 1838, Lamé et Olinde Rodriguez ont montré que $D_{n+1} = (4n - 6)D_n/n$ ; cela donne $D_n = (2n - 4)!/(n - 1)!(n - 2)!$ ou $D_n = C(2n - 3, n - 2)/(2n - 3)$, avec $C(..., ...)$ coefficient binomial.
On note que $n - 2$ est le nombre de triangles dans une décomposition et que $2n - 3$ est le nombre de segments (côtés ou diagonales) reliant les sommets deux à deux dans une décomposition ; partant de cette remarque, ne peut-on pas en déduire une preuve plus simple que celles de Lamé et Rodriguez ?
A+
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Bien cordialement.
kolotoko
e.v.