Conjecture sur les pavages d'or — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Conjecture sur les pavages d'or

Modifié (22 Jul) dans Géométrie
Je dois être un peu lourd ... je persiste ... et je vous propose, en fichier joint, une nouvelle conjecture (peut-être vraie conjecture celle-là).
Bonne lecture

Réponses

  • Modifié (20 Jul)
    Cela fait penser aux pavages de Penrose avec les fléchettes et les cerfs-volants. La page wiki mentionne en premier tes pavages avec les triangles d'or et comment on peut réaliser un pavage de Penrose de type zéro en six étapes. L'univers de ces pavages est immense et a été aussi très étudié.
  • Le pavage que j'utilise est bien sûr un pavage de Penrose ; cela fait plus de 10 ans que je suis dans les pavages de Penrose ... mais la question n'est pas là :
    dans toutes mes lectures sur le sujet, je n'ai jamais trouvé une assertion qui pourrait ressembler de près ou de loin à ma conjecture ; je voudrais juste savoir si quelqu'un a déjà lu quelque chose de ressemblant, si quelqu'un peut me donner un contre-exemple ou si quelqu'un peut me trouver une démonstration.
    Cela m'importe pour mes activités.

    D'autre part, le pavage de Penrose de type zéro en six étapes (vu sur Wikipédia) n'a rien à voir avec mon assertion ; sur l'exemple de Wikipédia, il y a multiplication par phi à chaque étape ; dans mon sujet, il y a seulement déplacement de triangles.
  • En tout cas elle est plausible cette conjecture et très jolie. M'est avis qu'elle est démontrable et que le nombre minimum de transformations élémentaires pour passer d'une configuration à une autre doit pouvoir être borné par quelque chose dépendant de l'aire exprimée en DCP. D'où l'idée d'une démonstration par récurrence.
  • Premier point : les 2 documents que tu as proposés sont sympathiques, clairs, agréables à lire... Très bien.

    Je pense qu'on peut faire une conjecture un peu plus forte que celle que tu proposes, et paradoxalement, plus simple à démontrer.
    Partant des 2 schémas que tu proposes, voici un 3ème schéma.


    J'ai mis en bleu les frontières qui étaient communes aux 2 dessins.
    J'ai donc divisé le dessin en 11 dessins plus petits.
    Je conjecture qu'on peut trouver une succession de modifications élémentaires pour chacun de ces 11 dessins.
    En fait, c'est la même conjecture que toi.
    Mais ça veut dire : pour passer d'une configuration A à une configuration B, il existerait une succession de modifications élémentaires qui respectent toutes les parties déjà communes entre les 2 dessins.
    Et du coup, l'idée de récurrence s'impose vraiment.
  • Merci pour les commentaires ; pour la démonstration par récurrence, je suis d'accord, c'est même ce que j'essaie de faire depuis pas mal de temps ... mais ...

    Des questions plus techniques en attendant : je suis tout nouveau dans ce forum et j'avoue même que c'est la première fois que je vais dans un forum ... je vais donc faire des erreurs de débutant.
    Par exemple, mon premier document était en arithmétique ... mais mon deuxième aussi alors qu'il aurait dû être en géométrie : y-a-t 'il un moyen de le faire basculer en géométrie ? Ou bien dois-je le réécrire en géométrie et terminer celui-là ? J'ai vu des discussions où il était écrit "terminé" mais je ne sais pas comment faire.
    Autre chose : la plupart des discussions ont la mention "nouveau" mais pas les miennes ???? Par contre, il y a le symbole "paramètre" à gauche de l'étoile à mes discussions (????)
    Je remercie lourran et gerard0 pour les explications concernant LaTex : je vais donc m'y mettre ... et je ne résiste pas à mettre mon premier morceau de LaTex : $\varphi^8$  
  • Les discussions marqués 'nouveau', ce sont les discussions que tu n'as pas lues.
    Les discussions marqués ' n nouveau(x)', ce sont les discussions que as lues, mais il y a eu n nouveaux messages depuis que tu les as lues.
    Les discussions sans marquage, c'est parce qu'il n'y a rien de nouveau depuis que tu les as lues.

    Les discussions que tu vois avec 'nouveau' ou celles que je vois avec 'nouveau', ce ne sont donc pas les mêmes.

    L'icone roue-crantée permet de corriger/modifier un message précédemment envoyé. A utiliser parcimonieusement.

    Pour moi, cette discussion est correctement classée dans ce forum 'Arithmétique', mieux qu'en géométrie. Et de toutes façons, s'il fallait la déplacer dans un autre forum, la bonne solution ne serait surtout pas d'ouvrir une nouvelle discussion. 
    Les administrateurs peuvent déplacer cette discussion si ça s'avère utile. 
  • Dans mon dessin, j'ai tracé en bleu les traits qui étaient communs aux 2 dessins.
    La première chose qu'on peut constater (et essayer de démontrer ?), c'est qu'on n'a pas de configuration comme celle-ci : 

    On n'a pas de trait bleu 'en impasse', chaque trait bleu est une partie d'un contour. 

    Le 2ème point, c'est que toutes les zones délimitées par des traits bleus sont convexes.  

    Ca reste des sous-conjectures, je n'ai aucune démonstration. Mais démontrer ces  2 sous-conjectures peut faire avancer le dossier.

    Tu demandais des démonstrations, ou des contre-exemples, je ne sais pas si tu auras des démonstrations, mais je pense que tu n'auras pas de contre-exemple.
  • Modifié (22 Jul)
    En liaison avec les traits bleus que tu as rajoutés, j'ai cherché dans mes "tiroirs" et j'ai trouvé un pentagone régulier de côtés $2\varphi +1$ et d'aire $29\varphi + 18$ (je voulais mettre l'aire en rouge comme je fais toujours mais je ne sais pas comment faire) avec 2 pavages tels qu'il faut 22 modifications élémentaires pour passer de l'un à l'autre. J'y ai mis "tes" traits bleus : il n'y a pas d'impasse et toutes les parties sont convexes.
    Il y a 2 trapèzes d'aire $4\varphi +3$.

    J'envoie aussi le pentagone irrégulier du début de mon texte (avec, indiqué par une flèche, le trait bleu que tu avais oublié ...)
    Je vais chercher dans mes "tiroirs" d'autres figures ... je crois qu'il y a encore du boulot !!!

  • Modifié (22 Jul)
    Bonsoir Tetpen,
    Tes pavages du pentagone régulier m'intéressent grandement !
    Surtout, pour commencer, le pavage que l'on voit avec uniquement des traits bleus, donc avec des "grands" triangles ...
    Bien cordialement, JLB
    PS pour la modération : je suggère de déplacer ce fil en "Géométrie" ou, peut-être, en "Combinatoire et graphes" ?
    PS pour Lourran : Désolé de ne pas être de ton avis en ce qui concerne la localisation de cette discussion ...
  • Combinatoire et graphes, j'aurais pu proposer ce sous-forum. J'ai proposé de ne pas changer pour éviter du travail aux modérateurs ;)

    On remarque un truc sur les 2 dessins. 
    Dans chaque zone délimitée par une frontière bleue, on a $a$ triangles de type $1$ et $b$ triangles de type $\varphi$, avec systématiquement $|a-b|  \le 1$
    C'est juste une constatation, sur la base d'un échantillon limité (4 dessins, dont 2 configurations seulement), mais j'y crois.
    Ce serait un nouveau petit pas.
  • Modifié (23 Jul)
    Pour JLB : merci pour le passage en géométrie qui me convient ; tu écris : "Tes pavages du pentagone régulier m'intéressent grandement !" A quel point de vue ? Les traits bleus sont une idée de Lourran pour essayer de trouver une démonstration à la conjecture proposée au début de la discussion ...
    Pour Lourran : merci pour le nouveau petit pas ...

    Voici deux pavages d'un pentagone régulier de côtés $\varphi +2$ et d'aire $20\varphi + 15$ tels qu'il faut 15 modifications élémentaires pour passer de l'un à l'autre.

    Je vous laisse marquer les traits bleus et voir si les 3 hypothèses restent vraies sur cet exemple.
    Je joins un autre pavage du même pentagone (je n'ai pas compté le nombre de modifications élémentaires nécessaires.

    Pentagone phi+2 autre.png

    PS : j'avais fait un petit appel du pied discret (trop discret apparemment !) dans mon dernier texte ; j'explicite ma question : peut-on mettre des couleurs dans le texte d'une discussion ?
    Bonne lecture.
    [Pour insérer une image cliquer sur le bouton 'image' (5ème à partir de la droite au dessus de la fenêtre d'édition). AD]
  • Les 2 premiers dessins ont beaucoup de triangles en commun ; la zone centrale avec les 10 triangle $\varphi$, et les 5 triangles $1$ aux sommets.
    Si on supprime ces 15 triangles, on se retrouve avec une couronne constituée de 5 pentagones, avec chacun 2 triangles $1$ et 2 triangles $\varphi$

    On constate qu'une des sous-conjecture s'avère fausse : chaque polygone délimité par ces traits bleus n'est pas forcément convexe.
    Bon, c'était la sous-conjecture sur laquelle j'avais le plus de doutes, et qui semblait la moins utilisable.



  • Modifié (23 Jul)
    J'ai colorié en vert les parties qui ne changent pas : ce sont des triangles 1 ou des triangles $\varphi$.
    Chacune des autres parties entourées de bleu contient une ou plusieurs modifications internes.

    Sur les 7 modifications élémentaires de l'exemple fourni au début de cette discussion, les modifications 1 et 2 sont internes au grand triangle en haut à gauche, les modifications 5 et 6 interviennent dans le trapèze vers la droite, les modifications 3, 4 et 7 interviennent chacune dans un triangle d'aire $\varphi + 1$.

     

    J'ai fait la même chose avec le pentagone régulier de côtés $2\varphi + 1$ ; on voir par exemple que les modifications 7 à 13 interviennent dans le trapèze d'aire $4\varphi + 3$ qui pointe au sommet du pentagone :



    Enfin, pour le pentagone régulier de côtés $\varphi + 2$, chacun des 5 pentagones irréguliers d'aire $2\varphi + 2$ contient 3 modifications élémentaires ce qui fait en tout, 15 modifications élémentaires :

    Et j'ai oublié de dire que, sur les 3 exemples donnés, les 2 hypothèses formulées qui restent tiennent le coup.
    À plus !
  • Bonjour Tetpen,
    Oui, je trouve ton travail très intéressant, du point de vue combinatoire autant que du point de vue géométrique ...
    Je me demande si tu n'aurais pas intérêt à systématiser davantage ton approche, comme tu le fais dans tes deux derniers dessins de pavage du pentagone régulier, entre lesquels on peut imaginer (quitte à briser la symétrie d'ordre 5) des pavages intermédiaires, en passant de l'un à l'autre en ne modifiant qu'un seul des cinq pentagones non-convexes, puis en en modifiant deux, puis trois ... le nombre de pavages différents possibles s'exprime alors par une factorielle !  
    Pour ma part, j'ai commencé par m'intéresser aux pavages d'un pentagone régulier de côté 1 par des triangles d'or $1$ et $\varphi$, en me limitant à n'utiliser comme sommets des triangles que des points d'intersection de diagonales du pentagone de départ. j'en ai trouvé deux, y en a-t-il d'autres ?
    Pour ces deux pavages, j'ai utilisé 4 triangles $\varphi$ et 3 triangles $1$. Je note que le nombre de points d'intersection de diagonales du pentagone de départ utilisés comme sommets des triangles du pavage vaut 2 pour le premier, 4 pour le deuxième.
    Pour introduire une symétrie, on est obligé de subdiviser les deux triangles formant le trapèze inférieur, en faisant apparaître le cinquième point d'intersection de diagonales, on utilise alors des triangles $1/(\varphi)$ et $1/((\varphi)+1)$ :
     
    On peut aussi réorganiser le pavage autrement :

    Tetpen, je ne pense pas que cela fasse avancer la résolution de ta conjecture, mais peut-être y trouveras-tu quelque indice ?
    Bien cordialement, JLB
  • Pour Jelobreuil : tu parles de pavages intermédiaires que je devrais faire ; je pense que tu n'as pas lu le premier texte de cette discussion ; il y a un fichier .pdf joint qui parle justement de ces pavages intermédiaires (j'avais mis un fichier .pdf car je débute dans ce forum et, à ce moment là, je ne savais pas inclure des images dans le texte).
    Avec mes conventions (qui se trouvent dans ce .pdf), ton premier pentagone a pour côté $\varphi$ (et non 1) et pour aire $4\varphi + 3$.
    J'en profite pour réitérer ma demande : j'ai pour habitude de marquer les longueurs en noir et les aires en rouge : y-a-t 'il un moyen d'écrire en rouge ?

    Autre chose : le dessin ci-dessous semble être un pavage du pentagone que tu proposes différent des 2 tiens.

     
  • Modifié (23 Jul)
    Tetben, à vrai dire, je n'avais que survolé ton pdf ! Je viens de le regarder un peu moins vite, et je suis d'accord en ce qui concerne tes remarques : simplement, pour moi, un pentagone régulier a normativement des côtés de longueur $1$ et des diagonales de longueur $\varphi$ ... mais je veux bien adopter ta convention pour la suite de notre échange ...
    Merci pour ce pavage que je n'avais effectivement pas trouvé : apparemment, il viendrait s'insérer logiquement entre les deux premiers de mon message, si l'on en juge par le nombre, ici 3, de points d'intersection de diagonales utilisés comme sommets de triangles. D'ailleurs, pour mieux le voir, il suffit de le faire basculer vers la droite, de manière à ce que le triangle 1 soit en bas ...
    Et pour gagner de la symétrie, il faut de nouveau subdiviser deux pièces
    Je pense que ta conjecture est probablement vraie, mais que la démontrer rigoureusement nécessite des développements assez lourds ...
    Quant à ta question concernant le fait d'écrire en rouge, je te suggère de la poster sur le sous-forum "Vie du forum et de ses membres", soit en ouvrant une nouvelle discussion (mais cela me semble superflu, pour un tel sujet), soit dans la discussion "Mise à jour du forum" où des questions similaires ont été abordées.
    Bien cordialement, JLB
  • Bonjour

    Une idée sans doute très bête mais en affinant la trame , on a affaire à deux coloriages de la même grille .

    Domi 
  • Bonjour,

    Je trouve que ces pavages du pentagones régulier sont aussi beaux que la conjecture énoncée. Je suis certain que vous y avez déjà pensé, mais je donne quand même l'idée qui me vient à l'esprit en vous lisant.

    Je pense que l'appellation "opération élémentaire" est très bien choisie et n'est pas innocente. En effet, un peu comme pour le déterminant d'une matrice qui reste identique quand on lui applique des opérations élémentaires, je crois qu'on peut trouver des invariants par opération élémentaire d'un pavage. Moi je pense à $(n_0,n_1,...,n_p)$ où $n_i$ est le nombre de triangles de même nature $i$ dans une même zone bleue (voir les dessins précédents). Il me semble bien que pour une même zone bleue, ce sera conservé quand on appliquera des opérations élémentaires.
    Cela pourrait servir à deux choses :
    _ être le $n$ de la récurrence. Par exemple, pour le cas où c'est un pavage qui ne contient que deux types de triangles, j'imagine bien une récurrence forte qui pourrait donner des choses intéressantes.
    _ permettre de trouver un contre-exemple. S'il s'avère que c'est bien un invariant, alors il suffit de trouver deux pavages pour lesquels quand on trace les zones bleues, cet invariant est différent. C'est une manière rapide de vérifier que c'est un contre-exemple à la conjecture.
  • Modifié (31 Jul)
    Je propose de nommer les 2 triangles de base différemment.
    $T_0$ : le triangle de surface $1$, avec les angles $(\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{5}, 3\frac{\pi}{5} )$ 
    $T_1$ : le triangle de surface $\varphi$, avec les angles $(2\frac{\pi}{5} ,2\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{5} )$ 

    Pourquoi ? 
    Le triangle $T_k$ a pour surface $\varphi^k$
    Ici, on a les 2 premiers triangles de cette suite, mais on peut définir cette suite pour tout entier $k$

    Les triangles d'indice $k$ pair sont semblables au triangle $T_0$ : isocèle, avec un sommet d'angle $3\frac{\pi}{5} $ 
    Et les triangles d'indice $k$ impair sont semblables au triangle $T_1$ 

    Tous les triangles dans les figures proposées par Jelobreuil sont des triangles de cette suite. et plus généralement, tout triangle formé en combinant les 2 triangles de base sont forcément des triangles de cette suite. 

    Idem, travailler sur les trapèzes isocèles.
    Le trapèze de base (celui sur lequel on a le droit de faire une permutation) a la même surface que $T_2$ ; notons le $Z_2$
    On peut aisément construire un trapèze isocèle de surface $\varphi^3=2\varphi+1$, avec des angles de $(\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{5}, 4\frac{\pi}{5} , 4\frac{\pi}{5} )$ , qu'on va noter $Z_3$

    Et on peut également définir la suite complète de ces trapèzes, en multipliant à chaque étape la surface par $\varphi$
    Les trapèzes $Z_0$ et $Z_1$ n'existent pas. 
     
    Je définis cette suite de trapèze par souci de cohérence, mais l'utilité me paraît moindre.
    On retrouve quelques-uns de ces 'grands' trapèzes dans les figures déjà dessinées.

    L'idée serait de déjà démontrer la conjecture sur les triangles et trapèzes de ces 2 suites.
  • Bonjour, Lourran,
    Merci de ton message, c'est effectivement la manière la plus logique de présenter les choses !
    Bien cordialement, JLB
  • J'aime bien l'idée de la série des triangles $T_k$ ; par contre, je ne vois pas comment cela pourrait intervenir dans la démonstration ...
    Pour l'autre série, les trapèzes isocèles $Z_k$, j'ai un problème avec $Z_3$ : je ne trouve pas un tel trapèze d'aire $2\varphi + 1$ !

    Je reviens un peu en arrière : l'idée des "traits bleus", elle, me paraît géniale et je crois que c'est de ce côté là qu'il faut se diriger.
  • J'avais bien exploré la série des Triangles $T_i$, et j'ai ajouté à la va-vite les trapèzes $Z_i$ ; effectivement, j'ai dû me planter sur les $Z_i$ avec $i$ impair.

    Une des idées serait de démontrer déjà la conjecture sur tout triangle. 

    On voit que chaque triangle $T_i$ se décompose de 2 façons 'triviales' en $T_i = T_{i-1} + T_{i-2}$, et donc, on voit des suites de Fibonacci.

  • Un petit texte qui n'apporte rien à la démonstration : comme je suis plutôt de la vieille école, j'utilise plus le papier-crayon que l'ordi-souris et la plupart de mes dessins concernant le pavage par les triangles d'or sont fait d'abord sur papier quadrillé (petits carreaux) ; ci-dessous, à gauche, on voit les différentes positions d'un segment de longueur $1$ (2,5 et 2 veulent dire que le segment est la diagonale d'un rectangle 2,5x2) ; à droite, les différentes postions d'un segment de longueur $\varphi$.
    On voit aussi sur ce dessin les triangles $T_0$ et $T_1$ tracés suivant le quadrillage.
     

    Les longueurs ne sont pas vraiment respectées mais, sur les milliers de pavages que j'ai pu dessiner, je n'ai jamais eu de problèmes.

    Ci-dessous, un pentagone de côté $\varphi + 1$ et son pavage utilisant le quadrillage :


    Si cela peut servir ne serait-ce qu'à une seule personne, je serais ravi.

  • Modifié (1 Aug)
    Je pense avoir une conjecture équivalente à la tienne, mais qui me semble mieux définie : 
    Soient deux pavages $P_1$ et $P_2$ d'une même figure avec $T_0$ et $T_1$, on peut toujours trouver un enchaînement d'opération élémentaires $E$ tel que si l'on modifie $P_1$ avec cet enchainement, on obtienne un pavage $MP_1$ qui a un ensemble de traits communs avec $P_2$ qui sépare la figure en deux morceaux de manière "consistante avec $(MP_1, P_2)$".

    On dit qu'une séparation est consistante avec $(P_1, P_2)$ si les deux morceaux qui sont issus de cette séparation ont tous les deux le même nombre de $T_0$ et de $T_1$ pour les deux pavages $P_1$ et $P_2$. Comme $\varphi$ est irrationnel, c'est une condition nécessaire au fait qu'on puisse itérer sur chacun des morceaux comme tu l'as mis dans ton document initial.

    Edit : je pense que la consistance ne sert à rien car si on arrive à séparer une figure en deux, l'aire de chaque morceaux ne dépend pas du pavage donc le nombre de $T_0$ et $T_1$ reste le même quelque soit le pavage dans un même morceau.
  • Bonjour Bibix,
    Le terme de "consistance" dans ton message me semble être une traduction erronée du faux-ami anglais "consistency" dont le sens est plutôt celui de "cohérence".
    Si je me trompe, merci de fournir une référence en français pour ce terme.
    Bien cordialement, JLB 
  • Modifié (1 Aug)
    C'est une définition que j'ai trouvé sur le tas, donc j'ai bien peur de ne pas avoir de référence sur le sujet. Je me suis inspiré du terme "consistante" en logique qui permet de désigner si une théorie est cohérente ou non. 

    Mais comme je l'ai mis en edit, je crois que cette définition ne sert à rien, car s'il existe une séparation de deux pavages, alors elle est forcément consistante (ou cohérente selon tes termes) avec ces deux pavages. Je suis sur mon portable pour l'instant, mais je pourrais illustrer ça ce soir avec l'aide de l'ordinateur.

    Edit : voilà mes images :
    On voit bien que pour que les deux pavages aient les traits bleus comme communs, il faut appliquer une opération élémentaire au trapèze en haut à droite. Après avoir fait cette opération, si on sépare les deux morceaux, on voit qu'il suffit de faire une autre opération sur le morceau bas résultant de cette séparation pour obtenir exactement le même pavage.
    Si on itère le processus dans des pavages quelconques, ce nombre va strictement décroître (tant qu'on peut séparer) et donc (vu que le nombre de triangles est un entier) on va forcément tomber sur le même pavage. Le seul cas pour lequel j'ai un doute est un pavage uniforme (avec uniquement $T_0$ par exemple), car on ne peut pas faire d'opérations élémentaires dans ce cas... Je pense que c'est un cas à part. En tout cas, c'est une conjecture équivalente à celle de TetPen.

  • Merci Bibix de cette précision, qui ne fait corroborer ce que je pense : les termes "consistance"  et "consistant" employés en logique sont des traductions paresseuses, donc fausses, des termes anglais "consistency" et "consistent" ...
    En tant que traducteur technique professionnel, je ne puis que regretter que cette erreur, source de mauvaise compréhension, devienne de plus en plus fréquente ...
    Bien cordialement, JLB
  • J'avoue que je ne comprends pas bien les explications de Bibix ; la seule chose qui a attiré mon regard est le dernier paragraphe où il parle d'un pavage uniforme (c'est-à-dire avec uniquement des $T_0$ par exemple) ; ce paragraphe m'intéresse car, au cas où la conjecture de départ serait démontrée, il y aurait là un corollaire :
    Si une figure admet un pavage fait uniquement à l'aide de triangles $T_0$ (respectivement $T_1$), alors elle n'a qu'un seul pavage ; en effet, si elle avait un autre pavage par des triangles $T_0$ (respectivement $T_1$), on ne pourrait pas faire de modifications élémentaires pour passer d'un pavage à l'autre.

  • Et bien ce que je dis, c'est que si on note $C_1$ ta conjecture, $C_2$ ma conjecture et $Co$ le corollaire de $C_1$ que tu as donné, on a : 
    ($C_2$ et $Co$) $\Longleftrightarrow C_1$
    En effet, si $C_1$ est vrai alors on peut retrouver le même pavage et donc forcément des traits communs qui séparent la figure en deux. Si $C_2$ et $Co$ sont vrais, alors on peut séparer en morceaux toujours plus petits jusqu'à n'atteindre que des pavages uniformes et donc on aura le même pavage à la fin pour la figure en entier d'après $Co$.
    J'ai peut-être mal compris ta conjecture cependant... . Tu dis que c'est vrai pour toute figure construite avec un pavage, ou uniquement pour le pentagone régulier et le parallélogramme arrondi que tu as montré ?

  • Dans l'histoire des 'traits bleus', il y a un truc qui semble vrai, mais qui n'est pas démontré, et pas repris dans tout ça.

    On a 2 pavages différents d'une même forme. On prend tous les segments qui sont communs aux 2 pavages. On constate que ce réseau ne comporte pas de trait en impasse. Tous les traits forment des contours. Ce premier constat est déjà surprenant.

    Et pour répondre à Bibix, la conjecture de Tetpen s'applique à toute forme, pas uniquement les 2 qui ont été illustrées.
  • En fait, pour comprendre le but de cette liste, il faut à tout prix lire le fichier .pdf qui est joint au premier texte.
    Pour une démonstration complète, il faut d'abord expliquer que, si une figure a 2 pavages différents d'aires respectives $a\varphi + b$ et $a'\varphi + b'$, alors $a = a'$ et $b = b'$ (cette partie est enfantine vu que $\varphi$ est irrationnel).
    Ensuite il faudrait démontrer que si, pour toute figure d'aire $m\varphi + n$ ayant 2 pavages distincts par $T_0$ et $T_1$, le passage d'un pavage à l'autre peut se faire par une suite finie de modifications élémentaires, alors cela reste vrai pour toute figure d'aire $(m+1)\varphi + n$ ainsi que pour toute figure d'aire $m\varphi + (n+1)$.
    Pour $(m+1)\varphi + n$ par exemple, s'il y a un triangle $T_1$ qui a la même position dans les deux pavages, la démonstration est simple mais si aucun triangle $T_1$ n'occupe la même place dans les deux pavages alors ... !!! ???
    Où mettre les "traits bleus dans le cas général ?
  • Dans le cas général, il se peut très bien que les traits bleus ne soient que le contour de la figure. Dans ce cas, bonne chance pour la récurrence...
    C'est pour cela que j'ai formulé ma conjecture, il faut d'abord faire apparaitre des traits bleus à l'intérieur de la figure pour l'hérédité.
  • lourrran a dit :
    On a 2 pavages différents d'une même forme. On prend tous les segments qui sont communs aux 2 pavages. On constate que ce réseau ne comporte pas de trait en impasse. Tous les traits forment des contours. Ce premier constat est déjà surprenant.
    Pour @lourrran : oui, et je pense que c'est surprenant parce-que c'est faux pour des formes suffisamment grandes. Voici un contre-exemple de ce "constat" pour $n_0 = 4$ et $n_1 = 6$ (je m'excuse de la mocheté de mes tracés, j'ai du mal avec ma souris ^^) :) :

  • Voilà une avancée (ou un recul) très intéressante.
  • Merci pour cette forme que j'appellerai le décagone de Bibix ; j'avoue que j'ai eu peur pour ma conjecture mais ça va : on s'en sort avec 9 modifications élémentaires (M1 à M9 ci-dessous) :


    Par contre, pour les traits bleus, il y a vraiment un problème :



    Comme le dit Lourran, voilà une avancée très intéressante !!!    ; (
  • Modifié (3 Aug)
    Je ne sais pas du tout si on peut adapter, mais il existe un théorème de William Thurston sur les pavages de portions du plan par des dominos qui prouve que l'on peut passer d'un pavage à un autre par une suite d'opérations élémentaires (à savoir remplacer deux dominos horizontaux adjacents par le grand côté par deux dominos verticaux).
    Il existe aussi un algorithme de Thurston permettant de dire si un domaine pavable avec un nombre pair de triangles équilatéraux est pavable par des losanges et de donner un tel pavage dans ce cas.
    Malheureusement, je n'ai pas trouvé de papier qui fait le lien entre ces théorèmes et celui de Penrose sur les pavages non périodiques.
  • Fabuleux ! Je suis allé voir un peu du côté du théorème de William Thurston ; je n'ai pas encore lu la démonstration mais j'explique en quelques mots de quoi il s'agit et ce que ça nous apporte.
    Il s'agit de pavages par des dominos ; voici un exemple de rectangle pavé par des dominos :

    Ci-dessous, une modification élémentaire (qui fait passer de $a$ à $b$ ou de $b$ à $a$) :

    Ci-dessous, une même forme avec 2 pavages différents notés $1$ et $2$  ; on passe de $1$ à $2$ par 3 modifications élémentaires ($M1$, $M2$ et $M3$) :

    Le théorème de Thurston dit que ce passage est toujours possible excepté pour les figures ayant des trous (la forme trouée suivante admet 2 pavages par des dominos notés $3$ et $4$ mais il est impossible de passer de l'un à l'autre par des modifications élémentaires :


    Nous avons le même problème avec les pavages d'or ; les 2 pavages de ce pentagone troué montrent qu'on ne peut pas passer de l'un à l'autre :

    Il faut donc rajouter comme restriction le fait que la figure pavée n'ait pas de trou pour que la conjecture reste valable.

    Merci Bisam !!!

  • Je reviens sur la dernière phrase de Bisam : ici il ne s'agit que de pavages finis donc nous n'aurons pas de pavages apériodiques.
  • Modifié (3 Aug)
    J'ai représenté ce que cela donne pour les traits bleus d'étapes en étapes et j'ai obtenu ceci :
    On voit quand même assez bien les morceaux (séparations) se dessiner quand on passe de M9 à M1. Je pense donc pour ma part que c'est plus une histoire de "traits en commun" plutôt que de triangles (même si cela revient au même).
    Comme je ne suis pas d'accord avec TetPen sur la marche qu'il faudrait suivre, je vais proposer un plan de travail alternatif : 
    On pose $G_n$ : "pour tout $k \in \mathbb{N}$, pour deux pavages $P_1$ et $P_2$ d'une même forme quelconque d'aire $n \varphi + k$, on peut trouver un enchainement d'opérations élémentaires à appliquer à $P_1$ qui fasse apparaître un ensemble $T$ de traits communs avec $P_2$ tel que $T$ sépare la forme en deux formes plus petites".
    On doit montrer $\forall n \in \mathbb{N}, G_n$, ce qui est équivalent à $C_2 + Co$ et donc à la conjecture de TetPen (voir plus haut).

    Initialisation :
    On montre que $G_0$ est vrai, ce qui est équivalent à montrer que $Co$ est vrai. Autrement dit, il faut montrer que tout pavage uniforme de triangles $T_0$ d'une forme quelconque d'aire entière est forcément unique. Pour TetPen, ce cas se traiterait dans l'hérédité, mais on ne pourrait pas y échapper...

    Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$, on suppose que $G_l$ est vrai pour tout $l \leq n$. Il faut montrer $G_{n+1}$.
    Soit $k \in \mathbb{N}$, on prend deux pavages $P_1$ et $P_2$ d'une même forme d'aire $(n+1) \varphi + k$, il faut faire apparaître à l'aide d'opérations élémentaires des traits communs qui séparent la figure en deux morceaux. C'est quasiment la même chose que pour TetPen, mais cela me paraît plus général et donc plus pratique.
  • Bonsoir, Tetpen, Biblix,
    J'avoue que je préfère travailler en mettant en évidence les symétries possibles d'une figure, et c'est pourquoi je vous propose d'orienter ce décagone selon la figure jointe, où j'en ai fait ressortir l'un des pavages symétriques par rapport au seul axe de symétrie de ce polygone.
    En construisant ce polygone, j'ai constaté que c'est le résultat de l'association de quatre pentagones accolés ensemble, les deux du bas "dos à dos", les deux du haut "tête à tête" et imbriqués l'un dans l'autre. C'est pourquoi je propose de l'appeler 'décagone tétrapentagonal".
    Bien cordialement, JLB


     
  • Dans la succession d'étapes proposée ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2372585/#Comment_2372585 et reprise par Bibix, je pense qu'on peut avoir un truc plus visuel.
    A l'étape M1, on a un triangle $T_0$ en haut à gauche, qui est déjà dans sa position finale.
    Je le dessinerais en pointillé ou quelque chose du genre.
    Dès qu'un triangle est commun entre la situation en cours et la situation visée, il ne bougera plus (c'est une conjecture, a priori valable si ce triangle est sur la frontière, plus douteux s'il est au centre). Comme il ne bougera plus, je le dessine d'une autre couleur, pour montrer l'avancée.
  • Modifié (3 Aug)
    Bonne nuit à tous,
    Concernant les pentagones troués, je ne serais pas aussi affirmatif que toi, Tetben ... Ou alors, c'est que je n'ai rien compris à ta problématique !
    Ces deux pavages entrent-ils parmi ceux que tu considères ? Tu peux constater qu'on passe de l'un à l'autre en effectuant cinq de tes "transformations élémentaires" concernant un triangle ... Et je viens de m'en rendre compte : ils sont images l'un de l'autre dans un miroir (perpendiculaire au plan de la feuille), donc non superposables par simple déplacement (translation ou rotation) dans le plan ...
    Bien cordialement, JLB



  • @jelobreuil si on retourne à 180° la figure, ça ressemble vaguement à un buste. Vu la technicité de ton appellation, je pense qu'on pourrait juste appeler cette forme un buste décagonal, ce sera plus parlant.
  • @ Bibix Les contours d'un buste sont en général plutôt courbes, non ? Mais après tout, pourquoi pas ? ...
  • 3 choses :
    1) Pratique : dans ta dernière intervention, Lourran, tu as écrit "Dans la succession d'étapes proposée ici" puis tu as mis un lien qui ramène à une intervention précédente ; peux-tu me dire comment tu trouves ce lien ; je pense que cela pourra m'être utile par la suite.

    2) Pour Jelobreuil : 

    L'exemple que tu donnes montre 2 pavages d'une même forme (trouée) tels qu'on peut passer de l'un à l'autre par des modifications élémentaires.

    L'exemple ci-dessus montre 2 pavages d'une même forme (trouée) tels qu'on ne peut pas passer de l'un à l'autre par des modifications élémentaires.
    Il suffit d'un contre-exemple pour détruire une conjecture.
    Je pense qu'il faut donc éliminer les formes trouées si l'on veut que la conjecture marche à tous les coups.

    3) A Jelobreuil et Bibix : vous cherchez un nom au décagone cité plus haut ... !!! ??? Décagone de Bibix me plaisait bien ! 

  • Dans l'entête d'un message, il y a le nom de l'auteur, et sur la ligne en dessous la date ou l'heure et un lien 'signaler'
    La date est en fait un lien vers le message en question ; si tu fais clic droit sur la date, tu peux récupérer l'adresse et ensuite la mettre dans ton nouveau message, encapsulée avec l'outil 'url'.
  • Merci pour la réponse sur l'Url ; j'essaie tout de suite : dans ce message https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2372803/#Comment_2372803 tu suggères de colorier le triangle qui ne bougera plus.
    Voici ce que ça donne :

    Je n'ai pas résisté à voir ce que cela faisait en partant de la fin et en faisant les modifications élémentaires à l'envers :

    A plus !

  • Modifié (4 Aug)
    Bonjour,

    Je découvre ce joli fil après une très (trop ?) longue absence du forum. Il me semble que tes "modifications élémentaires" sont des réflexions d'axes la médiatrice du segment [BC] d'un triangle ABC isocèle de sommet A et la droite joignant les milieux des côtés parallèles d'un trapèze. Si on peut montrer que 1) il y a un nombre fini de pavages d'or d'aire a et 2) l'action du groupe engendré par ces réflexions sur l'ensemble des pavages d'or de même aire est transitive, on aura gagné.
  • Modifié (5 Aug)
    Par ailleurs on peut définir une dualité entre les triangles $1$ et $\varphi $ en ce qu'ils sont image l'un de l'autre par l'involution $x\mapsto \varphi/x$ où $x$ est la longueur d'un côté.
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