Groupe symétrique
Bonjour,
voici quelques résultats sur le groupe symétrique.
voici la démonstration du théorème 5

Dans la partie "existence", l'auteur considère la restriction d'une permutation quelconque (différente de l'identité) à chacune de ces orbites. Il définit r restrictions de sigma réduites à leurs orbites et affirment que ce sont r cycles grâce à la proposition 4 ci-dessus.
1) Restriction ici, au sens précis de "restriction de permutation", a-t-il le même sens que pour une restriction de fonction "classique" ? Rien ne semble indiquer le contraire en faisant une rapide recherche Google.
2) En admettant qu'il s'agit de la même chose, comment peut-on définir les ci comme des cycles ? Un cycle est défini sur (1,n) entier. Or ici les ci sont des restrictions sur des orbites (ceux au cardinal au moins égal à 2), donc, par définition d'une restriction, ne sont pas définis au delà de ces orbites qui ne couvrent pas tout (1,n). Or, par définition, un cycle est une permutation qui fixe les points exclus de son support. Pourquoi les ci fixent les points hors de leurs orbites ?
Merci d'avance pour vos éclaircissements sur ce point sur lequel j'ai l'impression de passer complétement à côté.
voici quelques résultats sur le groupe symétrique.

voici la démonstration du théorème 5

Dans la partie "existence", l'auteur considère la restriction d'une permutation quelconque (différente de l'identité) à chacune de ces orbites. Il définit r restrictions de sigma réduites à leurs orbites et affirment que ce sont r cycles grâce à la proposition 4 ci-dessus.
1) Restriction ici, au sens précis de "restriction de permutation", a-t-il le même sens que pour une restriction de fonction "classique" ? Rien ne semble indiquer le contraire en faisant une rapide recherche Google.
2) En admettant qu'il s'agit de la même chose, comment peut-on définir les ci comme des cycles ? Un cycle est défini sur (1,n) entier. Or ici les ci sont des restrictions sur des orbites (ceux au cardinal au moins égal à 2), donc, par définition d'une restriction, ne sont pas définis au delà de ces orbites qui ne couvrent pas tout (1,n). Or, par définition, un cycle est une permutation qui fixe les points exclus de son support. Pourquoi les ci fixent les points hors de leurs orbites ?
Merci d'avance pour vos éclaircissements sur ce point sur lequel j'ai l'impression de passer complétement à côté.
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Réponses
Merci pour cette explication limpide!
Petite question supplémentaire : dans la dernière partie de la partie "existence", voici ce qu'écrit l'auteur
On sait que x n'est pas invariant par sigma. OK ça signifie qu'il appartient au support d'un cycle dont le cardinal du support est supérieur à 2.
Je ne suis pas sûr de bien comprendre. Bien entendu, les cycles étant à support disjoints, et les orbites formant une partition de (1;n), par définition (en tant que classse d'équivalence de R), il n'y a qu'un seul cycle par lequel x est invariant.
Cela ne me semble pas signifier pour autant, sauf erreur, qu'il n'y ait qu'une image possible pour l'évaluation par un élément invariant.
Par exemple dans le groupe symétrique indice 3 (désolé pour la notation), si on pose x=2, on a bien 2 images possibles dans l'évaluation par 2, qui ne sont pas 2, en l'occurence 1 et 3.
Or, ici, lorsqu'on écrit ci0(x)=sigma(x), cela suggère, sauf, erreur, qu'"il n'y a qu'une seule permutation dans le groupe symétrique tout entier qui invarie" x or ciO "invarie" x donc sigma(x)=ci0(x)" mais la première partie (en gras) de la proposition me paraît fausse dans la mesure où pour un x quelconque fixé invariant par une permutation, d'autres permutations évaluées en ce même point peuvent différés de lui-même sans pour autant être égale à l'image de la première par ce fameux point (j'espère que c'est clair).
Merci d'avance !
Je reviens à la charge avec une autre question. Voici ce qu'écrit l'auteur,
Voici le corollaire 8 de la page 1231 :
La proposition 12 est donnée telle quelle sans démonstration plus approfondie. Cela n'a rien d'une évidence pour moi.
Quelqu'un pourrait-il détailler le passage du cas des transpositions à la généralisation pour tout type de permutation (proposition 12) ?
Merci d'avance
Avec une récurrence sur le nombre de transpositions dans la décomposition de la permutation et en utilisant le fait que la signature est un morphisme dans l'hérédité, on arrive bien à ce résultat.
Merci
nouvelle question sur la partie "unicité" de la preuve. L'entier x, a, par définition, la même image par sigma et par cj et donc l'orbite de x par ces applications est la même. Mais pourquoi l'auteur peut-il affirmer que cj est bien le cycle (x, sigma(x),...,sigma^pj-1(x)) ? Pourriez-vous détailler ce passage? Cela n'est pas évident pour moi. Pj est l'ordre du cycle cj c'est-à-dire le cardinal de son support, je ne vois pas pour quelle raison pj apparaît ici.
L'enchaînement sur l'unicité du nombre de cycles et le fait qu'il ne s'agit des restrictions de sigma non réduit à un point n'est pas clair non plus.
Pourriez-vous détailler ce passage ?
Merci d'avance
Plusieurs personnes m'avaient dit qu'elle manquait de clarté.
Je te conseille de changer de livre.
Ce tout en un est une usine à gaz dans certaines preuves, j'ai perdu plusieurs heures à essayer de comprendre des preuves alors qu'en prenant un autre livre je la comprenais en 5 minutes.
merci pour l'explicitation et l'unicité de r. Mais comment l'auteur justifie que les cycles ont pour support les orbites non réduites à un point de sigma ?
@OShine
pour ma part, j'aime beaucoup ce livre car je trouve qu'il permet de constituer des bases solides et qu'il a le souci de ne jamais expliquer une notion A avec une notion B qui elle-même nécessite la notion A comme c'est souvent le cas. J'apprécie beaucoup ce livre. N'étant pas assez calé en maths, j'imagine qu'il est perfectible, quel type de livre conseillerais-tu pour avoir un cours aussi solide ?
C'est tout de même un livre co-écrit par Claude Deschamps, prof de maths en MP* à LLG et qui a fait entrer 700 étudiants à l'X. J'imagine qu'il ne fait pas des preuves "usine à gaz". Le deuxième auteur est le prof de maths de la MP* de Ginette...c'est compliqué de trouver meilleur j'imagine..
Les exercices de fin de chapitre sont pour 80 % d'entre eux infaisables (pour les personnes qui ont un niveau moyen). C'est décourageant de passer sa vie à lire des corrigés car on arrive à résoudre aucun exercice.
Certaines exercices difficiles sont corrigés trop succinctement.
Certaines démonstrations manquent de clarté, ou sont trop compliquées. Le cours contient trop de choses, c'est un peu difficile de retenir l'essentiel.
Les points forts du livre sont qu'il est très complet, tout est démontré et qu'il y a énormément d'exemples.
J'ai mis 1 an et demi pour terminer le livre en essayant de comprendre chaque détail.
Il n'y a pas d'action de groupes au programme de MPSI.
Donc, quitte à réordonner les cycles $c_1,...,c_r$, on a : $\sigma(x)=c_j \left (\prod\limits_{i=1 \\ i \neq j}^{r} c_i(x) \right)=c_j(x) \neq x$ .
Dès lors, on obtient : $\sigma(x)=c'_k(x)=c_j(x)$ puis (par commutativité des cycles à supports $2$ à $2$ disjoints et par récurrence immédiate), pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\sigma^n(x)=c'^n_k(x)=c^n_j (x)$ donc les orbites de $x$ selon $c'_k$ et $c_j$ coïncident donc $c'_k=c_j=(x,\sigma(x),...,\sigma^{p_{j}-1}(x))=(x,\sigma(x),...,\sigma^{q_{k}-1}(x))$ (un cycle étant entièrement déterminé par l'orbite d'un des éléments de son support) et les cycles $c'_k$ et $c_j$ ont le même ordre.