Définition de la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt

Le Pingouin

Bonjour à toutes et à tous.

Je me pose une petite question sur la définition de la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt.

Considérons un espace probabilisé filtré $( \Omega ; \mathcal{F} ; ( \mathcal{F}_{n} )_{n \in \mathbb{N}} ; \mathbb{P} )$ ; on note $\mathcal{F}_{\infty} = \sigma\left( \displaystyle{\bigcup_{n \in \mathbb{B}} \mathcal{F}_{n}} \right)$. Considérons un temps d'arrêt $T$ pour la filtration $( \mathcal{F}_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$.

Pour certains auteurs, la tribu des événements antérieurs à $T$ est $\mathcal{F}_{T} = \{ A \in \mathcal{F}_{\infty} \mid \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap \{ T \leq n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$. Pour d'autres auteurs, elle est définie pat $\mathcal{F}_{T} = \{ A \in \mathcal{F} \mid \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap \{ T \leq n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$. Je me demandais laquelle est la bonne.

Notons $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )} = \{ A \in \mathcal{F}_{\infty} \mid \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap \{ T \leq n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$. $\mathcal{F}_{\infty} \subset \mathcal{F}$, donc $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )} \subset \mathcal{F}_{T}$. L'inclusion réciproque est-elle vraie ? J'ai essayé de calculer « à la main » $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )}$ et $\mathcal{F}_{T}$ mais ça devient vite épouvantable à écrire.

Quelle que soit la définition choisie, la variable aléatoire $X_{T}$ (dont la définition sur $\{ T = + \infty \}$ est problématique) est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable et on démontre le théorème d'arrêt sans faire appel au fait qu'un événement de la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt appartient à $\mathcal{F}$ ou à $\mathcal{F}_{\infty}$, mais je suis quand même gêné par ces deux définitions a priori différentes.
Qu'en pensez-vous ?
Le Pingouin

Calli

Bonjour,
Les deux définitions sont équivalentes car pour tout $A\in\mathcal{F}_T :=\{ B \in \mathcal{F} \mid \forall n \in \mathbb{N}, B \cap \{ T \leqslant n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$, on a $A = \displaystyle\bigcup_{n\in\Bbb N} A\cap\{T\leqslant n\}\in\mathcal{F}_\infty$.

Le Pingouin

J'avais pensé à ça mais si l'on considère un élement $\omega$ de $A$ tel que $T( \omega ) = + \infty$ alors il peut, a priori, ne pas être dans $\displaystyle{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A \cap \{ T \leq n \}}$.

Calli

Ah oui, j'avais oublié que les temps d'arrêts sont à valeurs dans $\Bbb N\cup\{\infty\}$. Dans ce cas, les deux définitions sont effectivement non équivalentes. Heureusement, ça ne doit pas changer grand chose en pratique. Moi la définition que je connaissais est $\mathcal{F}_T :=\{ A \in \mathcal{F} \mid \forall n \in \mathbb{N}, A \cap \{ T \leqslant n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$.

Le Pingouin

Je comprends. J'ai un ouvrage où l'on définit en effet les temps d'arrêt comme des variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$.

Ceci dit, dans le cas présent, je n'ai pas démontré que les deux définitions ne sont pas équivalentes. Plus précisément, je n'ai pas réussi à démontrer que $\mathcal{F}_{T} \subset \mathcal{F}_{T}^{( \infty )}$ mais je n'ai pas non plus démontré que cette inclusion n'était pas vraie en général.

Calli

Pour démontrer que l'inclusion réciproque peut être fausse, tu peux prendre $T\equiv+\infty$ constant et une situation où $\mathcal{F}_\infty \neq \mathcal{F}$.

Le Pingouin

Oui, donc en somme, il me faut seulement construire un exemple où $\mathcal{F}_{\infty} \neq \mathcal{F}$. Je n'ai pas trouvé de tel exemple. Je vais essayer de creuser de ce côté.

Merci pour l'idée.

Le Pingouin

Je crois avoir trouvé une petite idée, piquée en partie dans un bouquin.

On prend $\Omega = [ 0 ; 1 [$ et $\mathcal{F}$ la tribu de toutes les parties de $\Omega$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère la tribu $\mathcal{F}_{n}$ engendrée par les intervalles de la forme $\left[ \dfrac{k}{2^{n}} ; \dfrac{k + 1}{2^{n}} \right[$ avec $k$ parcourant l'ensemble $\{ 0 ; 1 ; \ldots ; 2^{n} - 1 \}$. On montre que $( \mathcal{F}_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ est une filtration telle que $\mathcal{F}_{\infty}$ est la tribu borélienne de $\Omega$, donc $\mathcal{F}_{\infty} \neq \mathcal{F}$.

Considérons l'application $T : \Omega \to \mathbb{N} \cup \{ + \infty \}$ identiquement égale à $+ \infty$ : c'est un temps d'arrêt pour la filtration $( \mathcal{F}_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$. On vérifie facilement que $\mathcal{F}_{T} = \mathcal{F}$ et que $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )} = \mathcal{F}_{\infty}$, donc $\mathcal{F}_{T} \neq \mathcal{F}_{T}^{( \infty )}$.

Même si ça me titille quelque part, est-ce vraiment un problème d'avoir ces deux définitions « disjointes » ? N'est-on pas ici dans le même genre de débat que lorsque qu'n auteur dit « corps » pour « corps commutatif » ? Il faut, en fait, fixer les conventions au début d'un ouvrage...

Calli

Ton exemple fonctionne. Il faut juste savoir montrer que $([0,1[,\mathcal {F}) $ peut être muni d'une mesure de probabilité pour qu'il soit complet.

Sinon, moi je pensais à quelque chose de plus trivial : prendre $(\Omega, \mathcal {F}, \Bbb P) $ n'importe quel espace probabilité tel que $\mathcal{F} \neq\{\varnothing, \Omega\} $, et poser $\mathcal {F}_n=\{\varnothing, \Omega\}$ pour tout $n$.

Je ne sais pas si cette coexistence de deux définitions a des conséquences. Moi je n'en vois pas. C'est différent de la distinction corps commutatif vs corps gauche qui change beaucoup de choses. 

Le Pingouin

Calli a dit :

Ton exemple fonctionne. Il faut juste savoir montrer que $([0,1[,\mathcal {F}) $ peut être muni d'une mesure de probabilité pour qu'il soit complet.

Le mesure de Lebesgue sur $[ 0 ; 1 [$ convient, non ?

Calli a dit :

Sinon, moi je pensais à quelque chose de plus trivial : prendre $(\Omega, \mathcal {F}, \Bbb P) $ n'importe quel espace probabilité tel que $\mathcal{F} \neq\{\varnothing, \Omega\} $, et poser $\mathcal {F}_n=\{\varnothing, \Omega\}$ pour tout $n$.

Comme temps d'arrêt, on prend n'importe quelle application constante sur $\Omega$ ?

Calli a dit :

Je ne sais pas si cette coexistence de deux définitions a des conséquences. Moi je n'en vois pas.

Je n'en vois pas non plus car j'ai regardé dans mes notes de cours (niveau M1) où l'on fait apparaître la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt et le seul truc que l'on utilise dans les démos, c'est « $\forall n \in \mathbb{N}, A \cap \{ T = n \} \in \mathcal{F}_{n}$ ». Le fait que $A \in \mathcal{F}$ ou $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ n'apparaît pas.

Calli a dit :

C'est différent de la distinction corps commutatif vs corps gauche qui change beaucoup de choses. 

C'est vrai mais j'avais pensé à ces petites distinctions de vocabulaire que font parfis certains auteurs.

Calli

Le Pingouin a dit : 

Le mesure de Lebesgue sur $[ 0 ; 1 [$ convient, non ?

Non car tu avais posé $\mathcal{F}=\mathcal{P}([0,1[)$ et la mesure de Lebesgue n'est pas définie dessus.

Le Pingouin a dit :
Comme temps d'arrêt, on prend n'importe quelle application constante sur $\Omega$ ?

Je prends $T:=+\infty$ constant, comme j'avais dit avant.

Le Pingouin

Calli a dit :

Le Pingouin a dit : 

Le mesure de Lebesgue sur $[ 0 ; 1 [$ convient, non ?

Non car tu avais posé $\mathcal{F}=\mathcal{P}([0,1[)$ et la mesure de Lebesgue n'est pas définie dessus.

Exact. J'avais pensé à un truc du style mesure extérieure mais une mesure extérieure n'est pas nécessairement une mesure au sens usuel et en plus, elle n'est pas nécessairement finie. Si jamais je ne trouve pas de probabilité définie sur tout $\mathcal{P}( [ 0 ; 1 [ )$, mon exemple tombe à l'eau. Ce qui m'a « foutu dedans », ce que la probabilité mise en jeu n'intervient pas dans la définition de $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )}$ et $\mathcal{F}_{T}$ donc par paresse, je l'avoue, j'ai complètement occulté cette proba.

Calli a dit :

Je prends $T:=+\infty$ constant, comme j'avais dit avant.

Un t.a. constant quelconque ne conviendrait pas dans notre cas ?

Calli

Heureusement, il est possible de définir une mesure de proba sur $([0,1[, \mathcal{P}([0,1[))$. Par exemple $\Bbb P(A):={\bf1}_A (0)$.

Le Pingouin a dit :

Un t.a. constant quelconque ne conviendrait pas dans notre cas ?

Non car si $T$ est constant et fini, on a dans mon exemple $\mathcal{F}_T = \mathcal{F}_T^{(\infty)}=\{\varnothing,\Omega\}$ (en appliquant les définitions).

Le Pingouin

Eh oui...

Merci @Calli pour toutes ces indications et cette discussion enrichissante

Calli

De rien :-)

Saturne

Hmm j'ai du mal à y croire. La v.a. égale à $+\infty$ est un temps d'arrêt non ? Et si deux temps d'arrêt $S$ et $T$ satisfont $S \leq T$ alors $\mathcal{F}_S \subset \mathcal{F}_T$ non ? Ça ne me paraît pas "logique" que la tribu arrêtée sorte de la filtration... je vais essayer de comprendre le contre-exemple.

Saturne

Ah ok j'ai saisi. Ça ne contredit pas ce que j'ai dit, c'est juste une histoire de deux définitions. Mais la bonne définition est celle avec $\mathcal{F}_\infty$. Wikipedia ne donne pas la bonne ! J'ai appris un truc, merci.