Matrice $4 \times 4$

marco

Bonjour,

Existe-t-il $(a_i)_{i=1,2,3,4} \in \N^4$ et $(b_j)_{j=1,2,3,4} \in \N^4$, tels que il existe une unique matrice $4 \times 4$, $M=(m_{ij})_{i,j=1,2,3,4}$ à coefficients appartenant à $\{1,2,3, \ldots, 9\}$ telle que, quel que soit $i=1,2,3,4$, les nombres de la ligne $i$ sont tous différents (c'est-à-dire $m_{ij} \neq m_{ik}$ si $j\neq k$), et quel que soit $j$, les nombres de la colonne $j$ sont tous différents, et telle que, pour tout $i$, la somme des nombres de la ligne $i$ soit égale à $a_i$, et, pour tout $j$, la somme des nombres de la colonne $j$ soit égale à $b_j$ ?

Merci d'avance.

Heuristique

Bonjour,

Commence par fixer les $m_{i,j}$ vérifiant tes contraintes "les nombres sur une même ligne/colonne sont 2 à 2 distincts". Ensuite, tu définis $a_i$ et $b_j$ qui collent bien.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Heuristique, as-tu compris la question, avant de répondre ? En quoi ton explication permet-elle d'aboutir à un couple de quadruplets donnant une matrice unique ?

Heuristique

Ah oui pardon, pourtant le "unique" était en gras... Je file, je me rachète des lunettes chez mon opticien !

depasse

Bonjour,

$a_{1,2,3,4}=b_{1,2,3,4}=10,14,18,22$ ?

marco

Merci Depasse, mais je trouve au moins deux solutions:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&8&1&3\\3&1&8&6\\4&3&6&9 \end{pmatrix}$

et

$\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&8&1&3\\3&1&6&8\\4&3&8&7 \end{pmatrix}$

depasse

Merci Marco.

Ma matrice était
1234
2345
3456
4567
J'ai pigé mon erreur.
As-tu résolu le problème dans le cas $3\times 3$?
Cordialement
Paul

marco

Oui, dans le cas $3 \times 3$,  on choisit $a_{1,2,3}=24,11,10$ et $b_{1,2,3}=10,12,23$. Il n'y a alors qu'une solution.