Bonjour. Voici ce que dit Monsieur Ibrahim Assem dans son Introduction au langage catégorique :
La théorie des catégories avait dès l’origine pour ambition de fournir un langage conceptuel et unificateur utilisable dans toutes les branches des mathématiques. Mais elle n’est pas qu’une métamathématique : depuis son introduction, ses applications se sont multipliées en algèbre, topologie, géométrie, d’autres branches des mathématiques, et aussi en informatique. (...) J’ai essayé de donner au lecteur une base solide en théorie des catégories,tout en développant son aptitude à « penser catégoriquement », c’est-à-dire à privilégier l’étude des applications entre objets mathématiques et comment passer d’un objet (ou d’un domaine) à un autre. (...)
Une catégorie peut être vue comme un contexte mathématique : on considère certains types d’objets mathématiques ainsi que celles des applications entre ceux-ci qui sont pertinentes au problème étudié. Ainsi, on peut considérer la classe de tous les ensembles et les applications entre eux, celle des groupes avec les homomorphismes de groupes, ou celle des espaces topologiques avec les fonctions continues, etc. Une fois ceci fait, la théorie des catégories permet de passer d’un contexte à un autre. Ainsi, une idée de base de la topologie algébrique est de transformer un problème portant sur des espaces topologiques en un problème portant sur des objets algébriques (comme des groupes ou des modules). [C'est moi qui mets en gras]
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
gerard0 : Pas sûr, ça dépend de ce que veut amafhh (s'il veut une réponse mathématique ou métamathématique ou autre). Par exemple si sa question avait été "qu'est-ce qu'un ensemble ?" alors il y a bien une "vraie définition mathématique" (ou plutôt "logique"). Je crois que c'est fait au tout début du premier Bourbaki.
Je ne sais pas si il y a une "vraie définition" de ce qu'est un objet dans une catégorie. Il y a une page "Mathematical object" sur wiki en anglais. (https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_object) On peut y lire (traduction approximative) :
[...] un objet est ce qui est (ou ce qui peut-être) formellement défini et avec lequel on peut raisonner et donner des preuves mathématiques
Mais on peut aussi lire après :
Le statut ontologique des objets mathématiques est un sujet foisonnant d'étude et de débats chez les philosophes des mathématiques.
Md, le mot "ensemble" est un mot des mathématiques qui a un sens technique différent de son sens en français courant (*). Il n'y a pas de sens technique de "objet" même si un auteur peut préciser le sens (restreint) qu'il veut utiliser.
Cordialement
(*) où on peut parler de l'ensemble de tous les ensembles sans problème.
Effectivement, mais on ne parle pas d'objets mathématiques. Seulement d'objets. Inutile de perdre du temps, Amaffhh pose régulièrement ce genre de question hors contexte. Et ne donne pas de référence même si on le demande.
C'est peut-être méconnu mais il est possible de faire ça en mathématiques classiques, dans le formalisme Bourbakiste par exemple.
Si $F$ est n'importe quelle formule, $\tau_x F$ désigne un ensemble tel que s'il existe au moins un $y$ tel que $F[x:=y]$, alors on a aussi $F[x:=\tau_x F]$ (si la propriété ne peut être satisfaite alors le terme en question désigne simplement autre chose). Par suite $\tau_x \left (\forall y, y \in x \right )$ est un terme légitime du langage, qui se lit à voix haute comme "l'ensemble de tous les ensembles" et qui ne possède pourtant pas tous les ensembles comme éléments, sauf si les maths courantes sont contradictoires.
Les formulations telles que "le machin satisfaisant la propriété P" sont toujours grammaticalement correctes que ce soit en français ou en maths même si P est aberrante ...
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je suis très loin d'être un spécialiste des catégories, mais de ce que j'en sais, une catégorie est la donnée de deux "classes" (au sens de l'axiomatique NBG, par exemple), une classe dite d'objets et une classe dite de flèches, une flèche étant un "truc" (défini par la catégorie en question) associé à un couple d'objets. Par exemple, dans la catégorie $\text{Grp}$ des groupes, un objet de la catégorie est un groupe, et une flèche de la catégorie est un morphisme de groupes. Donc en ce sens, un "objet mathématique" ça ne veut toujours rien dire, mais un objet d'une catégorie spécifique, c'est parfaitement défini par la donnée de la catégorie.
Réponses
Ce pluriel me paraît très singulier.
Cordialement,
Rescassol
Cordialement
Je ne sais pas si il y a une "vraie définition" de ce qu'est un objet dans une catégorie.
Il y a une page "Mathematical object" sur wiki en anglais. (https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_object)
On peut y lire (traduction approximative) :
Cordialement
(*) où on peut parler de l'ensemble de tous les ensembles sans problème.
Inutile de perdre du temps, Amaffhh pose régulièrement ce genre de question hors contexte. Et ne donne pas de référence même si on le demande.
Cordialement.
J’ai osé une synthèse.