Loi géométrique

OShine

Bonjour
Oral CCINP 2022.
Je ne sais pas comment résoudre la première question.
On sait que $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ si $X(\Omega)=\N^{*}$ et $P(X=k)=p (1-p)^{k-1}$. 

raoul.S

En français : dire que $X\leq n$ signifie que $X$ est égal à 1 ou égal à 2 ou.... ou égal à $n$.

PS. et ce sont des "ou" exclusifs...

lourrran

Pour la question 1,  tu sauras faire quand tu attaqueras les cours de lycée. 
Pour l'instant, tu n'as toujours pas lu ces cours là, donc tu ne peux pas t'en sortir.
Passe à la question 2, elle est plus compliquée.

nicolas.patrois

$P(X\leqslant n)$ est une somme finie de termes d’une suite géométrique.

Écris-le.

zeitnot

nicolas.patrois a dit :

une suite géométrique.

Il y avait un indice dans la première ligne de l'énoncé et dans le titre de ce nouveau fil.

Guego

Question 3 « Les événements $U$ et $V$ sont-ils indépendants ? » Aïe !

Heuristique

Normalement, calculer $P(X \geqslant n)$ est plus simple que $P(X = n)$. Si tu as trouvé le second, tu devrais pouvoir trouver le premier sans trop d'effort.

nicolas.patrois

$P(X=n)$, difficile ? La formule est donnée.

Alexique

@OShine : c'est vraiment pas possible. Il faut vraiment que tu comprennes à un moment que tes questions relèvent de difficultés de quelqu'un qui n'a pas fait DU TOUT de proba AU LYCEE. Ouvre un manuel de 2nd/1ère, mange des exos de lancer de dés, de tirages de boules dans des urnes et de lancer de pièces et reprends cet exo. Ca rime à quoi d'attaquer un exo qui parle de variables aléatoires géométriques indépendantes si tu ne vois pas comment calculer $\mathbb{P}(X \leq n)$ ? 
On sait que c'est pénible ces exos de lancés de dés alors qu'on rêve tous de calculer la proba qu'une météorite se crash sur la Terre comme dans les films de SF mais là typiquement, c'est ce que tu veux faire avec ton exo de CCP.

Je peux reprendre les exos que je donnais à mes 1ère ES sur les lois binomiales et c'était que des questions comme ça POUR COMMENCER l'EXO, même pas en question difficile de fin d'exo.

OShine

D'accord merci.
Q1) On a $\{ X \leq n \} = \displaystyle\bigcup_{k=1}^n \{ X= k \}$
L'union étant disjointe : $P(  X \leq n ) = \displaystyle\sum_{k=1}^n P(X=k)=  p \displaystyle\sum_{k=1}^n q^{k-1}$ où $q=1-p$.
Or, $  \displaystyle\sum_{k=1}^n q^{k-1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} q^k=\dfrac{1-q^n}{1-q}$
Finalement $\boxed{P(  X \leq n ) = 1-q^n}$
On sait aussi que $P(X \leq n) + P(X > n)=1$
Donc $P(X>n) = q^n$. Or $P(X \geq n)= P(X =n) + P(X>n) = pq^{n-1}+ q^n= q^{n-1} (p+q)$
Finalement : $\boxed{P(X \geq n)=q^{n-1}} $

nicolas.patrois

Ton union sur les nombres me fait bizarre.

OShine

J'ai corrigé, erreur de frappe merci.

OShine

En effet, la question $1$ était de niveau première, je réfléchis à la question $2$ j'ai quelques idées.
Les exos de CCP sont très biens, on assimile le cours en faisant les exos.

Homo Topi

@Guego en effet, j'espère que cette bourde n'était pas dans le sujet original donné aux candidats.

OShine

Finalement je n'ai pas réussi la question 2. Je ne vois pas comment faire. 

lourrran

L'énoncé dit : On pose $U=\min(X,Y)$
Ça veut dire quoi ?
Cette question est loin d'être rhétorique, elle est compliquée.
Quand tu auras répondu à cette question, correctement, la réponse à la question 2 devrait arriver très vite.
Mais si tu essaies de répondre à la question 2 sans répondre d'abord à ma question, tu fais comme d'habitude, tu fais tout à l'envers.

nicolas.patrois

Et pour ça, il peut être utile de faire un dessin et de regarder ce qui se passe pour n⩽5.

OShine

Justement je n'ai pas compris ce que signifie prendre le minimum de deux variables aléatoires c'est pour ça que je bloque sur la question. 

lourrran

Tu ne comprends pas l'énoncé. Et tu comptais répondre un truc au hasard ?

Il faut faire les choses dans l'ordre. 
Etape 1 : comprendre la ligne 1 de l'énoncé.
Etape 2 (après l'étape 1) : lire la ligne 2 de l'énoncé.

Homo Topi

Mais c'est in-cro-yable.

$\{U=n\}$ c'est l'évènement $\{\min(X,Y)=n\}$. Comment, quand on a un Bac+5, peut-on réécrire "le minimum de deux machins vaut $n$" ? Que PERSONNE ne t'aide. C'est évident que tu sais faire ça.

OShine

Mais je ne comprends pas ce que signifie $\min(X,Y)=n$.

gerard0

Apprends la définition de "variable aléatoire". 
Encore une fois tu demandes aux autres de réfléchir à ta place. Fainéantise intellectuelle ! 

lourrran

En fait, j'ai brulé des étapes. Je ne t'ai pas posé la bonne question.
L'énoncé commence par : Soit X et Y 2 variables aléatoires indépendantes.
J'ajoute un POINT ici, la suite n'est pas utile pour l'instant.

Ca veut dire quoi, cette phrase ?

Alexique

Mais je ne comprends pas ce que signifie $\min(X,Y)=n$.

Ben apprends la définition du minimum alors. Ca veut dire quoi que $n$ est le minimum de $x$ et $y$ ? Ca veut dire quoi que le plus petit des nombres $x$ et $y$ vaut $n$ ? On touche le fond OS comme dab. Tu nous sors un CCP sous prétexte que ça va te décrasser les bronches mais là, ça met juste une fois de plus en lumière ton manque de réflexion et ton manque d'expérience sur des exos prébac. A chaque exo, on part d'un contexte intéressant et quand on creuse ce sur quoi tu bloques, l'intérêt de la conversation mathématique avec toi devient nul voire négatif. On part de VA géométrique indépendante et là, on discute de la définition de $\{X >n\}$ et de la définition de $min(X,Y)$. C'est pénible. Ca rend fortement futile les conversations avec toi.

J'espère que tes élèves savent ce qu'est un minimum. Qu'ils ne sachent pas le définir de façon formelle (puisque c'est cela qu'on attend de toi sur cette question), c'est autre chose mais eux n'en sont pas là dans leur apprentissage.

Amédé

On demande que le minimum entre $X$ et $Y$ soit $n$. $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\N$ et indépendantes... $U=n\Longleftrightarrow (X=n$ et $Y>n$) ou ($X>n$ et $Y=n$) ou $(X=Y=n)$ peut-être?

lourrran

Vous allez trop vite. 
1. Quelle est la définition de variable aléatoire ?
2. Quelle est la définition de variables aléatoires indépendantes ?
3. Quelle est la définition de variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$ ?

Après, et donc demain, il sera temps de parler du minimum de 2 variables aléatoires.
Mais ces 3 premières questions viennent avant.

JLapin

OShine a dit :

Justement je n'ai pas compris ce que signifie prendre le minimum de deux variables aléatoires c'est pour ça que je bloque sur la question. 

De même que personne n'en voudrait à un élève de troisième de ne pas comprendre cet énoncé, personne ne t'en voudra si tu renonces spontanément à chercher à répondre à cette question dont tu n'as pas la moindre idée du commencement du début des enjeux.

OShine

@Amede ça sert à rien de donner la réponse à la question j'oublierai la réponse le lendemain.

Le seul moyen c'est que je comprenne par moi-même en répondant aux questions qu'on me pose, les exos de CCP ne demandent jamais des idées de génie comme ceux de Centrale Mines X.

raoul.S

La question d'OShine n'est peut-être pas si stupide que ce qu'on pourrait penser. On va voir si c'est le cas ou pas.
@OShine est-ce que tu pourrais dire :
1) c'est quoi $\min(x,y)$ si $x,y$ sont deux nombres réels ?
2) comment tu définis une variable aléatoire ?

Heuristique

@nicolas.patrois Je ne disais pas que $P(X=n)$ était difficile, juste qu'il fallait réfléchir 1 seconde (guère plus).

Je vois plus la loi géométrique comme le premier succès d'une suite de Bernoulli indépendantes. La valeur de $P(X = n)$ est donc un résultat (trivial, certes, mais un résultat). Avec cette vision, le calcul de $P(X > n)$ est immédiat, sans avoir à passer par une série. De toute façon, on ne manipule pas des notions qui cassent 3 pattes à un canard...

OShine

Après 45 minutes de réflexion j'ai peut être réussi à calculer $P(U=n)$. Cette question me semble difficile pour CCINP.
$P(X=n)$ est donnée par le cours, c'est une définition de la loi géométrique... Je ne comprends pas le débat sur ce détail.
$\min(x,y)=x$ si $x<y$ et $\min(x,y)=y$ si $x>y$. Si $x=y$ alors $\min(x,y)=x=y$.
Une variable aléatoire est une application $X : \Omega \longrightarrow E$. Ici $E=\N^{*}$.
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes si $\forall (i,j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) \  P(X=i, Y=j)= P(X=i) P(Y=j)$.
On a $\{ U=n \} = \{ \min (X,Y) =n \}$. Or $\boxed{P(U=n)= P( U \geq n) - P( U \geq n+1) }$
Mais $\{ U \geq n \} = \{ \min (X,Y) \geq n \} = \{ n \leq X \} \cap \{ n \leq Y \}$
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes on en déduit : 
$P(U=n)= P( X \geq n) P(Y \geq n) - P( X \geq n+1) P(Y \geq n+1) =q^{n-1} q^{n-1}- q^n q^n$ d'après $Q1$.
Enfin $\boxed{P(U=n)=q^{2n} (\dfrac{1}{q^2}-1)}$
Vérification : 
Pour $n=2$ et $q=1/2$ on a $P(U=2)=(1/2)^{2}-(1/2)^{1/4}= 0,1875 \in ]0,1[$.
On a $\{ V=n \} = \{ \max (X,Y) =n \}$. Or $\boxed{P(V=n)= P( V \geq n) - P( V \geq n+1) }$
Mais $\{ V \geq n \} = \{ \max (X,Y) \geq n \} =\overline{ \{ n > X \} \cap \{ n > Y \} }$
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes on en déduit : 
$P(V=n)= 1- P( X < n) P(Y < n) - (1- P( X < n+1) P(Y < n+1) ) $
Donc $P(V=n)= P(X \leq n) P(Y \leq n) - P(X \leq n-1) P(Y \leq n-1)=1- q^n -(1-q^{n-1})$
Enfin $\boxed{P(V=n)=q^{n-1} (1-q)}$
Est-ce correct ?

P.2

OK. Puisque c'est débloqué, tu es en position de trouver la loi jointe $\Pr(U=u, V=v)$ en calculant d'abord $\Pr(u\leq U\leq V\leq v.)$

Chaurien

L’énoncé demande  : « Les événements $U$ et $V$ sont-ils indépendants ? ». Mais $U$ et $V$ ne sont pas des événements, ce sont des variables aléatoires. On aimerait avoir d'abord des énoncés corrects.

Chaurien

Au fait, cet énoncé est on ne peut plus classique. Je l'ai dans mes énoncés de colles depuis des lustres et tous les professeurs de prépa-HEC et de Spéciales le posent certainement en classe chaque année.

Autre idée pour la loi conjointe. Si $u<v$, alors : $P(U=u ~\textrm {et}~V=v)=P(X=u~\textrm {et}~Y=v)+P(X=v ~\textrm {et}~ Y=u)$.

Si $u=v$, alors $P(U=u ~\textrm {et}~ V=v)=P(X=u~\textrm {et}~ Y=u)$.

On peut aussi étudier deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques différentes.

Et c'est plus rigolo quand il y a plus de deux variables aléatoires.

P.2

Il y a coquille en effet. Mais je soupçonne que le bon énoncé peut être: "les éventements $\{U=n\}$ et $\{V=n\}$ sont-ils indépendants" ? Et dans ce cas la réponse est non en général, mais oui pour tout $n>1$ et un $q_n$ bien choisi.

Chaurien

Il me semble que les événements $[U=n]$ et $[V=n]$ ne sont jamais indépendants, bien que je n'aie pas achevé les calculs, fort fastidieux. Je n'ai pas compris qui est ce $q_n$.

 L'énoncé aurait plutôt dû poser la question de l'indépendance des événements $[U \le n]$ et $[V \le n]$, puisque $[U \le n] \cap [V \le n] =[V \le n] $, qui permet aussi de conclure à la non-indépendance des variables aléatoires $U$ et $V$.

Par parenthèse ce n'est pas très malin, de la part du poseur de ce problème, de dénommer $V$ une variables aléatoires...

Pour finir je rappelle que nous sommes un forum francophone et qu'accents et cédilles font partie de l'écriture correcte en français, même si l'on habite en Alaska ou en Australie.

$\cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup\cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup \cap \cup $

zeitnot

Chaurien a dit : accents et cédilles font partie de l'écriture correcte en français,

Tu as raison Chaurien, mais il ne faut pas en abuser non plus.

Chaurien a dit :Il me semble que les événéments

Chaurien

Autre prolongement : calculer les variances des variables aléatoires $U$ et $V$, et leur covariance.

Où trouve-t-on l'original de cet énoncé ? Dans la RMS ?

Chaurien

Merci Zeitnot, je corrige.

P.2

$\Pr(U=n; V=n)=\Pr(U=n)\times Pr(V=n)$ si et seulement si $q^{n-1}(1+q)=1.$

OShine

@Chaurien
Beos, avant de faire des prolongements, je n'ai pas terminé l'exercice, ni répondu à la question sur les évènements $(X=n) \cap (Y=n)$ et $(U=n) \cap (V=n)$.
Et je n'ai pas encore fait la question $4$.

@P.2
On cherche $P(U=u,V=v)$.
Calculons $P( u \leq U \leq V \leq v)$.
On a $\{ u \leq U \leq V \leq v \} = \{ u \leq \min (X,Y) \leq \max (X,Y) \leq v \} $.
Je ne vois pas comment faire ni le rapport entre $P( u \leq U \leq V \leq v)$ et $P(U=u,V=v)$.

OShine

J'essaie de répondre à la première partie de Q3.
Notons $A=(X=n) \cap (Y=n)$ et $B=(U=n) \cap (V=n)$
Alors $A \cap B = (X=n) \cap (Y=n) \cap (U=n) \cap (V=n)= (X=n) \cap (Y=n) $ car si $X=Y=n$ alors $\max(X,Y)=\min(X,Y)=n$
Donc $ P( A \cap B ) =  P(X=n) P(Y=n)$
Or $P(A) P(B)= P( (X=n) \cap (Y=n) ) P( (U=n) \cap (V=n)) = P(X=n) P(Y=n) P( (U=n) \cap (V=n))$
Si $U=n$ et $V=n$ alors $\max(X,Y)= \min (X,Y)=n$ donc $X=Y=n$
$P(A) P(B) =( P(X=n) P(Y=n) )^2$
Il n'y a pas un problème ?

Heuristique

Tu as montré que $P(A \cap B ) \neq P(A)P(B)$, qu'en conclure ?

Chaurien

Et c'est le moment de rappeler la formule de l'espérance en fonction de l'antirépartition, pour une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb N$ : $E(X)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X>n)$.

Il y a une formule analogue pour le moment d'ordre $2$, et une aussi pour la covariance.

OShine

@Chaurien formule hors-programme non ?
Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
Pour la loi conjointe je n'ai pas compris. 

lourrran

Si la formule donnée par Chaurien permet de faire avancer le dossier, tu ouvres ton cours de lycée, et tu l'utilises pour démontrer cette formule.
Comme elle est démontrable par n'importe quel lycéen, elle est utilisable par n'importe quel étudiant.

OShine

Je ne sais pas la démontrer et je pense que 99,9% des lycéens non plus. En plus je ne comprends pas à quoi elle sert ici car on a calculé $P(U=n)$ dans la question précédente.
J'utilise la définition. Comme $U(\Omega)=\N^{*}$ : 
$E(U)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} n P(U=n) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} n (q^{2n-2}-q^{2n})$
Donc $E(U)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} n  ( (q^2)^{n-1} - (q^2)^n)$
Après je ne vois pas comment calculer ça.

Rescassol

Bonjour,

C'est du calcul de L1 élémentaire.
Tu connais formellement $\sum{x^n}$ donc par dérivation $\sum{nx^{n-1}}$ etc...

Cordialement,
Rescassol

P.2

OS, la ligne 6 de ton avant dernier message est fausse.  https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2369010/#Comment_2369010

D’où 'problème'.

OShine

@Rescassol merci ça marche.
Finalement pas besoin d'utiliser la formule de @Chaurien en passant par la définition ça fonctionne.
On sait que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n (q^2)^{n-1} = \dfrac{1}{ (1-q^2)^2}$
Donc $E(U)=  \dfrac{1}{ (1-q^2)^2} - q^2  \dfrac{1}{ (1-q^2)^2}$
Enfin $\boxed{E(U)= \dfrac{1}{1-q^2}}$
De même $E(V)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n ( q^{n-1}-q^n ) $
Donc $E(V)=\dfrac{1}{(1-q)^2} -q \dfrac{1}{(1-q)^2}$
Enfin $\boxed{E(V)= \dfrac{1}{1-q}}$

OShine

@P.2 j'ai relu je ne trouve pas l'erreur. Il y a peut être un détail que je n'ai pas compris.
Dans la ligne $6$ j'ai juste utilisé que $X$ et $Y$ sont indépendantes.