Proba lancers sans remise
Bonjour
J'aurais besoin de votre aide pour le calcul de probabilités.
J'aurais besoin de votre aide pour le calcul de probabilités.
J'ai un échiquier de 24 cases et 30 jetons. La probabilité qu'un jeton tombe sur une case est donc de 1/24.
Comment calculer la probabilité que x jetons tombent sur la même case ?
Comment savoir si l'échiquier est truqué : à partir de combien de jetons sur une case n'est-ce plus du hasard (ex: un aimant attirerait les jetons sur une case) ?
Côté statistiques, est-ce qu'un test khi² serait adapté ? (comparer la distribution réelle et la théorique de 1/24 pour chaque case) ?
Comment savoir si l'échiquier est truqué : à partir de combien de jetons sur une case n'est-ce plus du hasard (ex: un aimant attirerait les jetons sur une case) ?
Côté statistiques, est-ce qu'un test khi² serait adapté ? (comparer la distribution réelle et la théorique de 1/24 pour chaque case) ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
Une fois une case choisie, le nombre de jetons tombant sur cette case suit la loi binomiale de paramètres 30 et 1/24 ; sous réserve, évidemment, que les jetons arrivent sur les cases de façon équiprobable et indépendante. Je te laisse faire le calcul des 31 probabilités.
Si on ne choisit pas une case particulière, la probabilité qu'il y ait 4 jetons sur l'une des cases est plus compliquée à calculer, mais est supérieure à ce qu'on calculait précédemment.
Pour la question du trucage, il n'y a pas de bonne méthode, un test genre khi-deux peut donner une indication, mais pas une preuve. Même les 30 jetons sur une seule case est possible, même si c'est très improbable.
Cordialement
Donc, essaie de vraiment formuler au mieux la question.
En fait, toutes les questions du type 'quelle est la probabilité qu'un objet soit truqué' sont quasiment insolubles.
Imaginons, on a 2 échiquiers. Un parfaitement normal, et l'autre où les cases 1, 5 et 10 sont truquées, elles ont un aimant, qui fait qu'elles ont 2 fois plus de chances d'attirer un jeton qu'une case normale.
Sur l'échiquier truqué, on sait quelles cases sont truquées, et combien elles sont truquées (2 fois plus).
On prend un des 2 échiquiers complètement au hasard, on fait l'expérience, on regarde les résultats, et on se demande : quelle est la proba que l'échiquier utilisé soit l'échiquier truqué... c'est compliqué, mais on sait faire.
Dans ton cas, on n'a aucune information sur l'intensité du trucage éventuel.
Et donc la question restera sans réponse.
merci pour vos réponses, je vois que le problème est plus complexe que ce que je pensais.
Je vais simplifier et essayer de mieux formuler :
Pour le cas où on choisit la case, on a un résultat qui est de la forme : La proba que sur cette case bien précise, on ait $k$ jetons vaut ... $f(k)$.
Et , particularité pas négligeable du tout, la somme des différents $f(k)$ donne $1$.
Pour le cas où on ne choisit pas la case, la phrase finale, elle sera de quelle forme ?
Et est-ce qu'on aura toujours cette particularité, une certaine somme qui donne $1$ ?
Oui, c'est l'interprétation la plus 'raisonnable'.
Mais on est très très très loin du tirage sans remise et sans ordre.
Pour une case, on est effectivement dans cette configuration : on tire un n° entre 1 et 24, 30 fois de suite, on regarde combien de fois ce n° est sorti, sans se demander si ce sont les premiers tirages, ou les derniers. L'ordre ne compte pas.
Mais dès qu'on s'intéresse aux probas '''combinées''' (proba qu'au moins une case ait exactement x jetons), c'est faisable, mais c'est un recensement très très long. Tellement long que ce n'est faisable que par traitement informatique.
8 cases, 7 jetons, quelle est la probabilité d'avoir au moins une case avec 0 jetons. De façon évidente on doit trouver 1.
24 cases, 24 jetons, quelle est la probabilité d'avoir au moins une case avec 0 jetons. De façon évidente on doit trouver un nombre très proche de 1.
3 cases , 5 jetons, quelle est la probabilité d'avoir au moins une case avec 5 jetons. On doit trouver $\frac{1}{3^4}$