Convergence dans $L^{1}$

tgbne

Bonjour, j'aimerais de l'aide pour la 2).

Ma réponse : 2) Soit $X$ la limite de la suite $X_{n}$. La convergence en probabilité implique, pour tout $a>0$ :

$\mathbb{P}(\vert X_{n}-X\vert>a)\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}0$ (unicité de la limite)

Je bloque ensuite. Comment se traduit la bornitude de $X_{n}$ dans $L^{p}$. Et qu'est-ce que je peux dire pour conclure à la convergence dans $L^{1}$ ?

Merci.

Positif

On va supposer que $p = 2$, ça va me simplifier l'écriture. Soit $\varepsilon > 0$.
\[ \mathbf{E} [ |X_n - X| ] = \mathbf{E} \left[ |X_n - X| \left( \mathbf{I}_{ \{ |X_n - X|  \leq \varepsilon \} } + \mathbf{I}_{ \{ |X_n - X|  > \varepsilon \} } \right) \right] =  \mathbf{E} \left[ |X_n - X|  \mathbf{I}_{ \{ |X_n - X|  \leq \varepsilon \} } \right] +  \mathbf{E} \left[ |X_n - X|  \mathbf{I}_{ \{ |X_n - X|  >  \varepsilon \} } \right]  = a + b\]
Le terme $a$ est plus petit que $\varepsilon$. Le terme $b$ est plus petit que $ \mathbf{E} [ |X_n - X|^2 ]^{0.5} \mathbf{E} \left[ \mathbf{I}_{ \{ |X_n - X|  >  \varepsilon \}  } \right]^{0.5} $ , je pense donc que tu vois ou l’hypothèse de bornitude va jouer.

aléa

C'est un cas particulier résultant de la combinaison de deux résultats généraux:

- convergence en proba + équi-intégrabilité donne convergence $L^1$

- bornitude dans $L^p$, $p>1$ entraîne l'équi-intégrabilité.

tgbne

@Positif Je ne comprends pas bien où l'égalité mène.

@aléa je n'ai jamais vu la notion d'équi-intégrabilité. Cela veut dire quoi concrètement ?

J'ai essayé d'utiliser l'inégalité de Markov, mais je n'aboutis pas à grand chose pendant ce temps.

JLapin

Elle mène à une majoration pour $n$ assez grand.

aléa

Ca veut dire que $\sup_{n\ge 1} \mathbb{E}(|X_n\mid 1_{\{|X_n|>M\}})$ tend vers $0$ quand $M$ tend vers l'infini.