Ensemble vide

Xavier Var

Bonjour
L'application $f$ va d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ tous non vides. $A$ et $B$ sont deux parties non vides de $F$.
On veut montrer que : $f^{-1} (A \cap B ) = f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.
La résolution ne me cause pas de problème, il suffit d'appliquer la définition d'image réciproque. Dans un vieux livre, j'ai néanmoins vu cette correction :

Était-il nécessaire d'avoir fait la disjonction de cas ? Les premières équivalences établies n'étaient-elles pas suffisantes en ne supposant rien sur l'image réciproque ?

GaBuZoMeu

Bonjour

C'est encore cette stupide peur du vide qui a frappé dans le texte que tu as scanné.

Tu peux virer la disjonction de cas et l'hypothèse $f^{-1}(A\cap B )\neq \emptyset$. Tu peux aussi virer les hypothèses "non vides" du préambule.

Xavier Var

Bonjour
Donc si j'ai bien compris, les équivalences au début de la démonstration suffisent ? Il n'y a donc pas de souci à écrire "x appartient à l'ensemble vide <=> etc ..."

Foys

Les énoncés de type $a \in b$ sont des énoncés légitimes de théorie des ensembles quels que soient les termes $a$ et $b$ (même s'ils désignent l'ensemble vide).

GaBuZoMeu a dit :

C'est encore cette stupide peur du vide qui a frappé dans le texte que tu as scanné.

La peur du vide est un symptôme. La maladie est la méconnaissance des règles formelles des maths, en l'espèce qui amène les gens à s'imaginer qu'il y a un devoir pour les rédacteurs de maths d'écrire exclusivement des phrases vraies, mais dans un sens absolu qui tue le raisonnement mathématique puisque non seulement les énoncés formels de maths publiés doivent être vrais mais également toutes leurs sous-formules.

Un énoncé à une variable $x$ comme "$x \in \emptyset \vee x = 3+ 1$" est déjà trop pour un vidophobe.

Xavier Var

Merci Foys.

Calli

Bonjour, 
"Vidophobe", c'est marrant ^^. Les vidophobes doivent aussi craindre par dessus tout "$x\in\varnothing\Rightarrow (x=0\wedge x=1)$".

Dom

Bonjour,

si j’ai bien compris :
1) on vire la première ligne avec le « gros point »
2) on ne garde que les trois lignes suivantes (des équivalences). 

3) puis le « donc » et la ligne suivante qui est ce que l’on vient de démontrer. 

Une remarque : les équivalences ne sont pas justifiées [elles s’appuient sur des définitions/théorèmes] mais ça j’imagine que ça dépend du niveau auquel on se situe (?). 

Soyons rigoureux, ne doit-on pas présenter « $x$ » avant ces équivalences ?
L’auteur d’ailleurs le fait dans sa seconde partie. J’ai l’impression qu’il le fait car, là, il est sûr qu’il existe ce $x$. Mais il se garde bien de le faire dans sa première partie. 

cordialement

Dom

Xavier Var

Tu es perspicace Dom.
Je trouve que l'auteur fait des démonstrations bizarres : 

Chaurien

Je propose « vacuophobie » pour la peur de l'ensemble vide. Je ne crois pas en être affecté, mais je suis un peu agacé par la  vacuophilie de certains.

Calli

Si on veut vraiment être rigoureux sur l'étymologie, il vaut mieux "cénophobie" du grec κενός (= kenós = "vide", comme dans "cénotaphe") car -phobie est un suffixe grec.

Et c'est vrai que certains sont cénophiles. Les intuitionnistes par exemple qui se demandent si leurs ensembles sont non vides, ou habités... Mais je ne dis pas ça pour dénigrer ; je taquine juste.

Edit : kénophobie existe déjà apparemment, mais c'est la peur de l'obscurité. Mais je ne vois de pourquoi ça s'écrit avec un "k" car les kappa sont généralement transcrits par des "c" en français.

Foys

Les intuitionnistes sont encore dans un autre délire. D'une certaine manière en logique intuitionniste il n'y a pas de négation. Il y a un symbole dédié "$\perp$" qui signifie intuitivement "tout est vrai", et alors $\neg A$ abrège $A \to \perp$, et $x \notin y$ abrège. $x \in y \to \perp$.

On se retrouve avec un ensemble $\emptyset := \{x \mid \perp\}$ qui est tel que si n'importe quoi lui appartient alors tout est vrai, en particulier certains énoncés d'intérêt. Cet ensemble est-il vraiment vide? On ne sait pas en pratique (sinon la cohérence de la théorie en question serait prouvée avec tous les problèmes que cela entraîne).

Dom

Peut-être que le bouquin s’adresse à des étudiants qui n’ont pas de connaissance sur cet ensemble vide. 

Sauf naïvement « vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément ». J’entends par là qu’aucun axiome ni propriété du vide ne sont connus. 

Toutes les démonstrations commencent alors par le rituel : « s’il est non vide alors il existe un élément… ». 

math2

Cela pourrait être également un choix pédagogique de l'auteur, tout peut dépendre à quel public on s'adresse. (EDIT : doublé par Dom)

Effectivement, cette distinction n'a pas lieu d'être.

Toutefois il ne faut pas oublier que certaines choses ne sont pas valables avec le vide, ou des e.v. réduits à $\{0\}$. Par exemple, pas plus tard que la semaine dernière, un collègue m'a soutenu que toute fonction continue sur un compact à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes. On aura du mal à atteindre des bornes si le compact est vide ...

GaBuZoMeu

Mais toute fonction continue sur un compact à valeurs réelles a une image compacte (même si le compact est vide).

Quel est le problème avec l'espace vectoriel nul ? Par exemple il a bien une base, comme tout espace vectoriel de dimension finie qui se respecte.

Une nouvelle fois, les hypothèses ajoutées dans le texte dont on voit des extraits (supposer $E$ et $F$ non vides) doivent être virées.

Il n'est pas question d'idolâtrer le vide, mais de lui laisser vivre sa vie d'ensemble ordinaire, soumis aux mêmes lois que les autres.

Dom

Qui peut dire si c’est enseigné en L1 par exemple ?
(le vide et ses axiomes). 

Chaurien

Oui, Calli, j'y avais pensé, mais il y a d'autres mots français avec une racine grecque et une racine latine : autocuiseur, bigamie, équiphobie, homosexualité, quadrilogie, télévision (sauf erreur).

Heuristique

Bonjour,

Je ne suis absolument pas convaincu de l'argument pédagogique d'esquiver le vide, cela rentre dans la tête des élèves que le vide est un ensemble à part et qu'il ne faut pas le traiter comme les autres : on propage ainsi la vidophobie/kénophobie.

Au-delà d'une peur profonde de l'ensemble vide (l'auteur pourrait aussi supposer que les ensembles $A$ et $B$ ne sont pas des singletons, pour éviter la peur de la solitude), je trouve les preuves de l'auteur très maladroites si le livre se destine à des élèves débutants.

Pour moi, une preuve bas niveau est un déroulé de méthodes classiques pour démontrer une inclusion, une équivalence, une universalité. Je préfère donc largement :

"Supposons $A \subset B$.

Soit $y \in f(A)$. Il existe $x \in A$ tel que $y=f(x)$. Comme $A \subset B$, $x \in B$ d'où $y = f(x) \in f(B)$.

Ainsi, $f(A) \subset f(B)$."

C'est lourd, j'en suis conscient, mais c'est selon moi un passage nécessaire pour apprendre à faire une preuve correcte.

Foys

@Heuristique tu remarqueras que ta "preuve lourde" est plus courte que celle de l'auteur de l'extrait

Dom

Pour ma part, sur le sujet des rédactions, c’est avec des implications que l’on doit raisonner. 

Sauf « théorème d’équivalence » existants dans certains cas. 

En général d’ailleurs on voit des affirmations (équivalences) mais très peu de justifications. 

Calli

Bonne remarque @Chaurien.

GaBuZoMeu

"Qui peut dire si c’est enseigné en L1 par exemple ?

(le vide et ses axiomes).  "

Quel est le sens de cette question ? Il n'y a pas d' "axiome du vide". Il y a une définition de l'ensemble vide, et les règles ordinaires qui s'appliquent à cette définition.

Médiat_Suprème

Chaurien a dit :

 il y a d'autres mots français avec une racine grecque et une racine latine

De mémoire (donc à vérifier), certains appellent cela des monstres.

Dom

En effet GaBuZoMeu. 

Je dis « axiome du vide » car il me semble qu’il n’y a pas d’enseignement de la théorie des ensembles (qui confirme ou infirme ?). 

La page wiki dit notamment : 
« Dans les présentations modernes, il n'est plus mentionné parmi les axiomes des théories des ensembles de Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, car il est conséquence en logique du premier ordre du schéma d'axiomes de compréhension »

Je ne maîtrise pas ses sujets. 
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27ensemble_vide

Quand tu dis « les règles ordinaires », est-ce qu’il s’agit de règles de la théorie des ensembles ou bien autre chose de « plus simples ».

Aussi, quelle est « LA » définition du vide ?

GaBuZoMeu

Mais enfin ???

L'ensemble vide est l'ensemble qui n'a aucun élément.

Et il n'y a pas besoin d'invoquer ZFC pour raisonner correctement avec l'ensemble vide : les règles de la logique ordinaire font l'affaire.

Dom

Ok. 

J’avais bien cette définition et pensais qu’elle était qualifiée de « naïve ».

JLapin

GaBuZoMeu a dit :

Quel est le problème avec l'espace vectoriel nul ? Par exemple il a bien une base, comme tout espace vectoriel de dimension finie qui se respecte.

Mais la propriété "un espace vectoriel normé n'est pas borné" est fausse.

Tout comme "si $E$ est un espace vectoriel, un élément nilpotent de $L(E)$ n'est pas inversible"

Accessoirement, je suis d'accord : ces précisions de non-vacuité lorsque l'on prend $a\in A$ pour montrer que $a\in B$ afin de montrer que $A\subset B$ sont totalement ridicules.

GaBuZoMeu

"Tout comme "si $E$ est un espace vectoriel, un élément nilpotent de $L(E)$ n'est pas inversible"

Ben oui, l'endomorphisme nul de l'espace vectoriel nul est inversible ; c'est normal, son déterminant est égal à $1$.

Il y a des propriétés vérifiées uniquement en dimension 0, il y en a vérifiées uniquement en dimension 0 ou 1 (tout endomorphisme est diagonalisable), des qui sont vérifiées uniquement en dimension $>0$.

Ça ne justifie pas par exemple des formulations du genre "On conviendra que la dimension de l'espace vectoriel nul est 0".

JLapin

GaBuZoMeu a dit :

Ça ne justifie pas par exemple des formulations du genre "On conviendra que la dimension de l'espace vectoriel nul est 0".

100% d'accord !

math2

Je suis bien entendu d'accord avec l'image d'un compact. C'est une partie du corollaire qui tombe en défaut si le compact de départ est vide

Exemple de truc qui va foirer en dimension 0. Un truc tout con, mais pour le coup je n'y avais pas fait gaffe dans un sujet d'examen (shame on me!): si $(E,\|.\|)$ est un e.v.n., dire que pour tout $\alpha \in \R^+$, il existe $x\in E$ tel que $\|x\|=\alpha$ (c'est vraiment du niveau de connerie que le coup du compact vide). Par exemple, pour démontrer qu'une boule ouverte de rayon strictement positif d'un e.v.n. (non réduit à $\{0\}$ ) n'est jamais fermée (contrairement à ce qui pourrait se passer même sur une partie d'un e.v.n. munie de la distance induite), on peut utiliser ce fait.

Heuristique

Oui, cela n'empêche pas de faire gaffe, mais les cas limites n'arrivent pas qu'en dimension 0.

Exemple : dans un $\mathbb{R}$-evn, la sphère unité est connexe par arcs.

Si l'on ne fait pas attention dans la preuve, on ne se rend pas compte que le résultat est faux en dimension 1 (mais est vrai en dimension 0). Comme toujours en maths, il faut se méfier de certains cas critiques dans les preuves. Cela ne veut pas dire que ces espaces doivent être traités à part dans les théorèmes en général.

Xavier Var

Tout cela est passionnant. 
@Heuristique, je reprends ta preuve de l'inclusion.
Quand tu commences à dire "soit y appartenant à f(A)", on est bien d'accord que tu sous-entends que f(A) n'est pas vide, ou ce qui reviendrait au même, que A n'est pas vide ? Ce que je veux dire, c'est que ce cas particulier, tu ne le traite pas parce que c'est trivial ou tu le fais vite fait à l'oral devant des élèves ?

JLapin

On n'en parle pas parce qu'on n'a pas à en parler.

Et non, en écrivant

Soit $y\in f(A)$

on ne sous-entend pas que $f(A)$ est non vide.

Xavier Var

La question a été posé à Heuristique... J'aurai préféré entendre sa réponse.

JLapin

Il a évidemment la possibilité d'y répondre : le fil n'est pas fermé.

Heuristique

Bonjour @Xavier Var,

Ma preuve est correcte, que $f(A)$ soit vide ou non. Il n'y a pas de cas à faire ni de sous-entendu.

Dans le cas où $f(A)$ est vide, j'ai parfaitement le droit d'écrire "Soit $y \in f(A)$", cela revient à supposer FAUX mais ne m'empêche absolument pas de tenir un raisonnement pour aboutir à $y \in f(B)$.

La phrase $f(A) \subset f(B)$ signifie $\forall y, y \in f(A) \Rightarrow y \in f(B)$ : en particulier, une implication dont l'hypothèse est FAUX est toujours vérifiée. Mais il n'y a en aucun cas besoin de le spécifier dans la preuve, les mathématiques sont faites pour que tout découle bien.

Pour prouver $\forall x \in E, P(x)$, on écrit "Soit $x \in E$" et on prouve $P(x)$. Que $E$ soit vide ou non ne change strictement rien à la preuve.

Xavier Var

Merci Heuristique de ta réponse très complète !! Je comprends beaucoup mieux maintenant la première réponse de GaBuZoMeu.

lourrran

Par curiosité, tu parles de 'vieux' livre. Tu as l'année d'édition ?
Et tant qu'à faire, le titre de ce livre, ainsi que le nom de l'auteur.

Xavier Var

Bonsoir @lourrran
Voilà le livre :



Margirier Vadot / 1998

Dom

C’est ok. 

Mais rien que ce petit paragraphe de Heuristique n’est pas toujours donné officiellement en L1 par exemple. 

Xavier Var

En effet, et c'est dommage 

bisam

Tiens... L'autrice de ce livre était l'une de mes collègues, fut celle qui me précéda à mon poste, et fut également ma prof. Le monde est petit.

De mémoire, elle s'est surtout occupé de la partie exercices et était agacée que l'éditeur ait exigé des rappels de cours.

Xavier Var

  

GaBuZoMeu

Pour tout $x\in \mathbb R$, pour tout $y\in \mathbb R$, si $x^2+y^2\leq 1$ alors $y^2\leq 1+x^2$.

Soit $x\in \mathbb R$. Soit $y\in \mathbb R$ tel que $x^2+y^2\leq 1$. Alors $y^2\leq 1-x^2$ et $1-x^2\leq 1+x^2$, donc $y^2\leq 1+x^2$.