Quelle est la hauteur du plafond ?

pivoine

Je fais passer un câble fin dans 4 longs tubes de fer mis bout à bout et je fixe les extrémités de ce câble en 2 points du plafond, distants de 4 mètres (les tubes touchent le plafond) ..

Les tubes dessinent alors comme une toiture de grange, renversée ..

Les 4 tubes sont identiques en tout et mesurent chacun 1,4641016 mètre (2v3 - 2) ..

Ainsi suspendus les tubes (et le sommet de la grange renversée) effleurent et touchent le sol ..

Quelle est la hauteur du plafond ?  

pivoine

lourrran

On a 5 points A B C D E , les extrémités des tubes.
On va simplifier le problème.
On regarde uniquement les 2 premiers tubes, donc AB et BC
On sait que si on trace une verticale partant de C et montant jusqu'au plafond, le point obtenu est à 2 mètres de A. Notons F ce nouveau point 
AFC est un triangle rectangle en C
Si les tubes AB et BC sont alignés, alors l'hypoténuse mesure 2.928m,  et on en déduit la hauteur h du plafond 
h²+2²=2.928² , d'où h=2.14 
C'est la hauteur maximale.

Mais la hauteur peut être moins élevée.
Si le segment BC est à l'horizontale, c'est la situation extrême, alors le segment AB devient l'hypoténuse d'un triangle rectangle de hauteur h et de côté adjacent 2-1.464
donc (2-1.464)²+h²=1.464² 
Et dans ce cas, h=1.36
C'est la hauteur minimale.
Et toute hauteur entre ces 2 extrêmes est compatible avec les données du problème.

Calli

Bonjour, 
Mais il y a la gravité. La position des tubes est celle qui minimise l'énergie potentielle de pesanteur. 

lourrran

Si les articulations sont 'souples', et si la structure pendouille, effectivement. 
On se retrouve alors avec un problème proche du problème de la chaînette (https://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEnette#:~:text=En%20math%C3%A9matiques%2C%20la%20cha%C3%AEnette%20est,parfois%20le%20nom%20de%20v%C3%A9laire.
Et là, c'est plus compliqué. 
Pivoine va nous préciser le besoin réel.

pivoine

Oui c'est une chaînette, les articulations sont "souples" .. Chaînette composée de seulement quatre maillons .. 
Quelle est la hauteur du plafond ? J'attends la réponse et les calculs savants des experts de la mise en équation différentielle et infinitésimale .. 

pivoine

Calli a dit :

Bonjour, 
Mais il y a la gravité. La position des tubes est celle qui minimise l'énergie potentielle de pesanteur. 

Oui j'ai assez mal énoncé le problème .. Les articulations des 4 barres décrivent une chaînette ..

lourrran

Toujours même simplification, on ne regarde que 2 branches.
La première branche part de (0,0) vers (x,y), et la 2ème branche part de (x,y) vers (2,z).
La gravitation fait que le centre de gravité du système doit être le plus bas possible.
Le centre de gravité, on va considérer que les barres sont toutes constituées du même métal, elles ont le même poids, et elles sont homogènes. 
Le centre de gravité est en ( x', (y/2+ (z+y)/2 ) /2 ) , soit (x', (2y+z)/4)
Je ne précise pas x', il n'intervient pas dans les calculs suivants.
Si on essaie d'exprimer tout ça en fonction de y, et qu'on dérive, on arrive à des formules compliquées.
Si on tâtonne, on arrive à une hauteur de 2.0808 environ, avec (x,y) = (0.8216, 1.2118)

pivoine

Superbe tâtonnement, Lourran, avec une erreur de 8 cm ..

Ludwig

Bonjour,
Cette construction géométrique ne donnerait-elle pas la solution ?

Calli

Je ne sais pas. Pourquoi cette construction donnerait-elle la solution ? C'est une configuration accessible, mais il faudrait que ce soit aussi la position d'équilibre.

lourrran

Cette construction comporte un triangle équilatéral. C'est ce qui permet de trouver l'unique disposition correspondant au dessin.
Peut-être qu'avec les valeurs numériques proposées, on a un triangle équilatéral. Mais si on remplace le 4m initial par 4m01, sans changer les longueurs des tubes, ça ne marcherait plus.
Il faut donc justifier pourquoi, pour ce jeu de données bien précis, on aurait un triangle équilatéral.

i.zitoussi

Pas trop sûr de moi. J'hésite a publier vu que les applications numériques ne semblent pas en accord avec ce qui a été dit plus haut.

Je note $\ell=2\sqrt{3}-2$ la longueur d'une barre, $L=2$ la demi-longueur ente les deux points d'attache au plafond, et $K:=\frac{\ell}{L}=\sqrt{3}-1$.

Je note aussi $\alpha$ l'angle que fait la barre de gauche avec la verticale, et $\beta$ l'angle que fait la barre suivante avec la verticale.

La quantité cherchée est $\ell(\cos\alpha+\cos\beta)$ et il y a deux contraintes: (1) $\ell(\sin\alpha + \sin\beta)=L$, et (2) L'ordonnée du centre de gravité doit être maximale (pour un axe des $y$ pointant vers le bas).

Le centre de gravité de la première barre se trouve en $y_1 = \frac{\ell}{2}\cos\alpha$ et celui de la deuxième barre en $y_2=\ell\cos\alpha + \frac{\ell}{2}\cos\beta$. Le centre de gravité des deux barres ensemble a pour ordonnée $y=\frac{1}{2}(y_1+y_2) = \frac{\ell}{4}(3\cos\alpha+\cos\beta)$. C'est la quantité qu'il faut maximiser, sachant que les angles $\alpha$ et $\beta$ sont contraints par $\ell(\sin\alpha + \sin\beta)=L$.

Méthode du multiplicateur de Lagrange (vue récemment à la télé): soit $\mathcal{L}(\alpha,\beta,\lambda)=3\cos\alpha+\cos\beta - \lambda( K(\sin\alpha + \sin\beta)-1)$. On a $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\alpha}} = -3\sin\alpha-\lambda K\cos\alpha$ et $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\beta}} = -\sin\beta-\lambda K\cos\beta$. La condition pour que $3\cos\alpha+\cos\beta$ soit extremum est donc $\tan\beta = 3\tan\alpha$.

Les angles $\alpha$ et $\beta$ sont donc solutions du système:
$$
\tan\beta = 3\tan\alpha, \qquad \sin\alpha+\sin\beta = K
$$
ce qui implique que $\sin\alpha$ doit être racine de
$$P(X) = 8X^4 -16 K\; X^3 + 8(K^2-1)X^2-2K\, X + K^2$$
(Comme $P(0)=K^2>0$ et $P(1)=9K(K-2)<0$, il y a bien une racine réelle dans $]0,1[$). Numériquement, je trouve que la seule racine réelle dans $[0,1]$ est $\sin\alpha\simeq 0.20331$, ce qui donne $\sin\beta=0.52874$, et donc:
$$
\alpha\simeq 11.7°,\qquad \beta\simeq 31.9°
$$
Finalement $\ell(\cos\alpha+\cos\beta) = 2.676$...

Correction: Étant donné que j'ai posé $K:=\frac{\ell}{L}$, la condition $\ell(\sin\alpha + \sin\beta)=L$ se réécrit $\sin\alpha+\sin\beta = \frac{1}{K}$ et non $\sin\alpha+\sin\beta = K$ (...zZzz...). Donc le système à résoudre est:
$$
\tan\beta = 3\tan\alpha, \qquad \sin\alpha+\sin\beta = \frac{1}{K}
$$
et $\sin\alpha$ est racine de $P(X) = 8X^4 - 16K^{-1}\; X^3 + 8(K^{-2}-1)X^2-2K^{-1}\, X + K^{-2}$, (c-à-d le même polynôme qu'avant avec $K$ remplacé par $K^{-1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$). Et là, miracle, la racine réelle dans $[0,1]$ est $\sin\alpha = 0.5$, puisque $P(\frac{1}{2})= ... = -3(K^{-2}-K^{-1}-\frac{1}{2})=0$. Ce qui donne $\alpha =30°$, $ \beta = 60°$, et $\ell(\cos\alpha+\cos\beta)=2$.

lourrran

Si on regarde ton triangle :
Hauteur : 2.676m 
Longueur horizontale : 2m
Donc hypoténuse = 3.341m
L'hypoténuse est plus longue que la longueur de 2 tubes bout-à-bout.
Il y a un hic.

Ludwig

Les cinq points d'articulation verts de la figure de pivoine sont sur la même chaînette ? Si c'est bien le cas alors on peut obtenir la hauteur du plafond par un procédé convergent. J'ai trouvé $h=1.98932637895..$. On obtient une figure très proche de la construction que j'ai postée précédemment (qui elle correspond à une hauteur de $2$ m).

lourrran

Si certains points sont sur une chainette, je pense que ce sont plutôt les milieux des 4 segments. Sans certitude.

Calli

Donc maintenant on a 3 valeurs de la hauteur proposées ? Il faudrait savoir laquelle est la bonne.

lourrran

Voire 5 valeurs. 
Pivoine a dit que ma réponse était fausse, il y avait une erreur de 8cm.
Donc la valeur serait selon lui soit 2.0008m ou 2.1608m.

i.zitoussi

J'ai corrigé mon message précédent, j'espère que maintenant c'est correct. Si c'est le cas, ça correspond à la construction de Ludwig.

Calli

@lourrran : tu peux en rajouter une 6e. J'ai aussi essayé de faire des calculs de mon côté et je trouve 2,0352. On est vraiment si nuls que ça ?  

pivoine

Ludwig a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2368619/#Comment_2368619

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ludwig, la construction que tu donnes à 14:36 avec une hauteur de plafond à 2 mètres est très intéressante. 

Ça serait super chouette si on arrivait à démontrer que les quatre barres dans ta construction sont à l'équilibre... Il faudrait démontrer que les 4 barres dans ton dessin sont en position d'équilibre.

------------------------------------------

Autrement la hauteur que tu donnes dans ton second procédé, h= 1.989, je suppose que tu l'as calculée à partir de la fonction chaînette classique cosinus hyperbolique.

------------------------------------------

Quelle est la bonne hauteur du plafond, 2 mètres pile ou 1,989326378 mètres ??
Je serais super heureux si toi et les autres arriviez à prouver que les quatre barres en suspension dans ton dessin sont à la position d'équilibre.

lourrran

Je m'aligne sur la majorité. Je cherchais à maximiser $2 y+ z$  (soit $2 cos \alpha + cos \beta$  avec les notations de I.Zitoussi), et c'est bien$3 cos \alpha + cos \beta$ la bonne formule.

Donc 2mètres de hauteur.
Et la valeur de la longueur des tubes n'était évidemment pas choisie au hasard.

pivoine

Je sais pas comment on fait les liens.

[Pour obtenir l'adresse d'un message, mets la souris sur la date du message, Clic droit > Copier l'adresse du lien, que tu colles où tu veux. AD]

i.zitoussi, je n'ai pas la formation pour te suivre dans tes calculs, mais tangente bêta = 3 tangente alpha

me rappelle ça

i.zitoussi

Pivoine ! À mon tour de ne pas comprendre. Comment as-tu eu l'idée de prendre ces données numériques de départ ($\ell=2\sqrt{3}-2$ et $2L=4$) si tu ne connais pas la solution ???

À moins que quelqu'un vienne contredire, je pense que la solution est bien 2 (mètres), et elle correspond (c'est un hasard numérique) à la construction de Ludwig.

pivoine

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/profile/i.
i.zitoussi, je suis parti du postulat que la construction de Ludwig était une chaînette .. Mais rien ne prouve que cette construction purement géométrique soit une véritable chaînette avec 4 maillons en équilibre .. La solution que tu as trouvée n'est bonne que pour la figure géométrique, reste à savoir si cette figure géométrique représente ou pas une chaînette .. Normalement pour calculer les chaînettes il faut passer par des équations avec cosinus hyperboliques et autres joyeusetés ..

pivoine

Calli a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2368625/#Comment_2368625

Tu as raison Calli, rien ne prouve que la construction de Ludwig soit une chaînette, avec 4 maillons en équilibre .. Et c'est là tout mon problème ..

Il faudrait arriver à démontrer que les quatre barres dans la figure de Ludwig s'équilibrent les unes les autres ; pour des physiciens ça doit être assez simple de prévoir le positionnement de 4 simples barres, on envoie des fusées sur Mars quand-même  ..

PetitLutinMalicieux

Bonjour
Pour moi, la bonne réponse est 2.08076 m, la solution du barycentre le plus bas. Avec un point intermédiaire  à {0.821647, 1.21181}.

PetitLutinMalicieux

Le point N est le barycentre de la branche de gauche. Le lieu vert est constitué des différentes positions du point N lorsque C tourne autour de A. Le point J est totalement dépendant du point C. Le dessin respecte les données initiales.

Ludwig

Oui, et on peut calculer les coordonnées de ton point $N$ en fonction de celles de $J$. En prenant $A(-2,0)$ et $J(0,-2c)$ on trouve que l'ordonnée de $N$ est : $$-c - \frac{1}{2} \; \sqrt{-1 - 8 \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{c^{2} + 1}}.$$ Une étude de fonction montre alors que cette ordonnée est minimale pour $c=1$, ce qui correspond au résultat de i.zitoussi et à ma figure précédente.

Guego

Il y a quelques années, j'avais fait un programme qui calcule numériquement les coordonnées des poids intermédiaires d'une chaînette avec de l'optimisation sous contraintes (on minimise l'énergie potentielle avec les contraintes des longueurs des barres et de l'espacement au plafond).

Dans le cas qui nous intéresse ici (tubes de $2\sqrt{3}-2$, écart de $4$ au plafond), mon programme trouve, comme coordonnées intermédiaires (le premier point d'attache étant $(0,0)$, le dernier $(4,0)$) : $(0.73205081, -1.26794919)$, $(2.00000000,-2.00000000)$, et $(3.26794919,-1.26794919)$, ce qui est furieusement proche de $(\sqrt{3}-1, \sqrt{3}-3)$, $(2,-2)$, $(5-\sqrt{3}, \sqrt{3}-3)$.

Edit : dans ma modélisation, il s'agissait d'un collier de perles, où tout le poids est dans les perles et je néglige le poids du fil. Ici, ce n'est pas clair : est-ce pareil ? est-ce l'inverse (le poids est dans les tubes et on néglige les articulations) ?

P.2

Il nous faudrait un historien des mathématiques. Je me demande si Stieltjes dans ses œuvres complètes ne résout pas le problème de la chaîne formée de $n$ segments, et la solution ferait intervenir les zéros de certains polynômes orthogonaux.

lourrran

@PLM
Tu trouves les mêmes valeurs que ce que j'avais dans un premier temps.
Mais comme déjà dit  https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2368724/#Comment_2368724 , la fonction à maximiser n'est pas la bonne.

Calli

C'est bon, j'ai aussi trouvé $h=2$ par ma propre voie (j'avais fait des erreurs de calculs hier soir).

En notant $y$ l'ordonnée de la jonction entre le 1e et le 2e tube (avec un axe des ordonnées dirigé vers le bas et démarrant au plafond), on a $L=\sqrt{\ell ^2 -y^2 }+\sqrt{\ell ^2 -(h-y)^2 }$ (1). Et l'énergie potentielle à minimiser est $E_{p} =- \frac{y}{2} - \frac{y+h}{2} = -y- \frac{h}{2}$. Donc en notant $\dot{y} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}h}$, le point d'équilibre vérifie $\dot{y} =- \frac{1}{2}$. Or en dérivant (1) par rapport à $h$, on a \[\frac{y \dot{y} }{\sqrt{\ell ^2 -y^2 }} + \frac{(h-y)(1- \dot{y} )}{\sqrt{\ell ^2 -(h-y)^2 }} =0.\] Donc en remplaçant $\dot{y} $ par $- \frac{1}{2}$ et en mettant au carré, on a $y^2 (\ell ^2 -(h-y)^2 )=9(h-y)^2 (\ell ^2 -y^2 )$. Or (1) donne $(h-y)^2$ en fonction de $y$, donc \[y^2 (L-\sqrt{\ell ^2 -y^2 })^2 =9(\ell ^2 -(L-\sqrt{\ell ^2 -y^2 })^2 )(\ell ^2 -y^2 ).\] Quand on trace les courbes des deux membres, on voit qu'il n'y a qu'une solution, et par ailleurs $y=3-\sqrt{3}$ est solution (*). Donc $y=3-\sqrt{3}$ et $h\overset{(1)}=y+\sqrt{\ell ^2 -(L-\sqrt{\ell ^2 -y^2 })^2 }=2$ (**).

Edit : Voici un extrait des calculs pour vous convaincre de (*) : $\ell ^2 =16-8\sqrt{3}$ et $y^2 =12-6\sqrt{3}$ donc $\ell ^2 -y^2 =4-2\sqrt{3} =(\sqrt{3} -1)^2 $ puis $L^2 -\sqrt{\ell ^2 -y^2 }=3-\sqrt{3}$ ($=y$ au passage). Donc (2) équivant à $y^4=9(\ell ^2 -y^2 )^2 $, i.e. $y^2 =3(\ell ^2 -y^2 )$, qui est bien vérifié.
Et pour (**) : comme $L^2 -\sqrt{\ell ^2 -y^2} =y$, on a $h = y+\sqrt{\ell ^2-y^2}=y+\sqrt{3} -1=2$.

pivoine

Guego a dit :

Edit : dans ma modélisation, il s'agissait d'un collier de perles, où tout le poids est dans les perles et je néglige le poids du fil. Ici, ce n'est pas clair : est-ce pareil ? est-ce l'inverse (le poids est dans les tubes et on néglige les articulations) ?

Guego, oui le poids est dans les tubes, on néglige les articulations ..

Ludwig

Une question annexe, à laquelle je n'ai pas trouvé de réponse : comment simuler la gravité avec GeoGebra ? Je pense à l'animation d'un ou plusieurs points qui feraient converger le système mécanique vers sa position d'équilibre. Il y a par exemple des méthodes de résolution des équations algébriques basées sur un jeu de poulies, ce serait intéressant de les modéliser avec un logiciel de géométrie dynamique.

pivoine

Ludwig a dit :

Une question annexe, à laquelle je n'ai pas trouvé de réponse : comment simuler la gravité avec GeoGebra ? 

Sur GeoGebra tu as la fonction cosinus hyperbolique qui dessine une chaînette, tu peux travailler dessus puisque une chaînette est sensée représenter la gravité ..
Mais pour te dire le fond de ma pensée j'ai bien peur que la chaînette classique de Leibniz, Huygens et Bernoulli ne soit qu'une approximation de la réalité ..
Je pense que la vraie chaînette se base sur la construction que tu as donnée au début du fil .. Il faut qu'on arrive à prouver que ta construction est l'exacte réplique d'un système de 4 chaînons (de mesure racine de 3, moins 1) suspendus avec un écart de 2 mètres, en équilibre, et décrivant un angle de 120° au sommet et de 150° sur les côtés .. 
J'ai plusieurs indices tendant à prouver que ta construction est bel et bien une chaînette .. 

pivoine

Ludwig a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2368619/#Comment_2368619

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ludwig, pour plus de commodité la figure que tu as dessinée nous allons l'appeler "Chaînette 4 maillons dans un demi-cercle" .. Et nous allons prouver par a+b qu'il s'agit d'une chaînette ..

Ludwig

Si la question est de savoir si les cinq points de ta figure font partie d'une même chaînette, la réponse est non : j'ai tracé la chaînette d'équation $a \cosh(x/a)$ passant par $A$, $B$ et $O$, elle ne passe pas par $M$ et $N$ (presque, mais non). Pour que ce soit le cas il faut que la hauteur du plafond soit d'environ $1.989$ m. 


Et, pour la construction ci-dessus, il n'y a pas de chaînette non plus passant par les milieux des barres et le sommet.

lourrran

Les milieux des barres et le sommet, non.
Les milieux des barres, oui.
Mais c'est trivial.
Il faudrait une 5ème barre pour que ce soit intéressant.
Ou alors, une chainette qui passerait par les milieux des barres, et serait tangente aux barres ?

pivoine

Ludwig, Lourrran et les autres, il y a une chose que vous n'avez pas comprise, c'est que la chaînette classique de Leibniz et Bernoulli avec son cosinus hyperbolique est fausse, la chaînette de Bernoulli n'est qu'une approximation de la vraie chaînette de la vraie vie avec son infinité de maillons, soumis à la pesanteur ..
La vraie chaînette est la construction géométrique que Ludwig nous a donné en début de fil, savoir une chaîne 4 maillons inscrite dans un demi-cercle ..
A défaut de preuves j'ai plusieurs indices qui tendent à prouver que la chaînette de Bernoulli est inexacte .. Je donnerai ces indices dans la suite du fil.

i.zitoussi

Bah voyons...

pivoine

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2369059/#Comment_2369059
Mais bien sûr ..

GaBuZoMeu

Bourrinons avec SageMath (d la demi-distance en les points d'attache, l la longueur des tubes, h la "profondeur" du point milieude la chaîne, x et y les coordonnées de l'extrémité du 1er tube dans le repère qui va bien) :

R.<d,l,h,x,y>=PolynomialRing(QQ,"d,l,h,x,y")
eq1=(d-x)^2+y^2-l^2
eq2=x^2+(h-y)^2-l^2
grav=y/2 + (y+h)/2
vars=[h,x,y] ; fun=[eq1,eq2,grav]
Jac=matrix([[diff(fun[i],vars[j]) for j in range(3)] for i in range(3)])
J=Jac.determinant()
I=R.ideal([eq1,eq2,J])
sols=(I+R.ideal([d-2, (l+2)^2-12])).variety(AA)
sols

qui nous retourne

[{y: 1.267949192431123?, x: 1.267949192431123?, h: 2, l: 1.464101615137755?, d: 2},
 {y: 4.732050807568877?, x: 4.732050807568877?, h: 2, l: -5.464101615137755?, d: 2},
 {y: -4.732050807568877?, x: 4.732050807568877?, h: -2, l: -5.464101615137755?, d: 2},
 {y: -1.267949192431123?, x: 1.267949192431123?, h: -2, l: 1.464101615137755?, d: 2},
 {y: -5.439978091531834?, x: 1.487121043320470?, h: -10.69781771090636?, l: -5.464101615137755?, d: 2},
 {y: -5.282088453966392?, x: 3.398552117379237?, h: -1.003508085899418?, l: -5.464101615137755?, d: 2},
 {y: 5.282088453966392?, x: 3.398552117379237?, h: 1.003508085899418?, l: -5.464101615137755?, d: 2},
 {y: 5.439978091531834?, x: 1.487121043320470?, h: 10.69781771090636?, l: -5.464101615137755?, d: 2}]

La première solution est la bonne : h=2. Par contre les valeurs de x et y montrent que ce n'est absolument pas inscrit dans un demi-cercle de rayon 2.

On peut récupérer l'équation qui lie h à d et l :

h^8 + (4*d^2 - 4*l^2)*h^6 + (6*d^4 - 12*d^2*l^2)*h^4 + (4*d^6 - 12*d^4*l^2 + 4*d^2*l^4)*h^2 + d^8 - 4*d^6*l^2

Ludwig

Après la Lune qui me joue un tour voilà la belle chaînette qui se délie de mon poignet... C'est moi qui aurait donné la construction exacte de la "vraie" chaînette ? Leibniz et Bernoulli se seraient trompés ? J'aurais accepté une "preuve" que la Lune ne tourne pas sur elle-même... Ah non mais oubliez-moi les shtameurs !
Le plafond est bas, très bas...

pivoine

Un avant-goût des indices qui me poussent à croire que la chaîne 4 maillons inscrite dans un demi-cercle est la base de la vraie chaînette, et que la chaînette de Bernoulli et Cie avec cosinus hyperbolique n'est qu'une approximation somme toute assez grossière de la réalité .. Je développerai plus tard ..

1/ Les chaînes 4 maillons sont duales (ou conjuguées) .. (chaînes construites suivant le principe de la progression arithmétique de la tangente des pentes: La tangente des pentes des maillons d’une chaînette composée d’un nombre pair de maillons décrit une progression arithmétique de raison 2, c-à-d qu’elle décrit la suite des entiers naturels impairs, un, trois, cinq, sept, neuf.. Le premier terme de la série est "un", et ce "un" est la valeur de la tangente des deux premiers maillons situés de part et d’autre, à droite et à gauche, de l’axe de symétrie de la courbe..


Procurez vous ce genre de chaînette métallique qui sert à tenir les bouchons de lavabo ou baignoire, et plaquez-la sur la figure ci-dessus, vous pourrez vérifier que la chaînette métallique recouvre les points rouges .. 

2/ Chaînette six maillons construite selon le principe de la progression arithmétique de la tangente des pentes (et non selon un cosinus hyperbolique): les articulations latérales décrivent une hyperbole comme par hasard .. Vérifié sur GeoGebra

3 /

lourrran

J'ai hâte de voir ce demi-cercle.
Surtout quand on partira de 2 points espacés de 4 mètres, comme ici, mais avec 4 tubes de 1m80, voire 2m30, voire beaucoup plus.

gerard0

Bonjour. 

Depuis le début je suis très dubitatif sur tous ces messages qui parlent de "chaînette". Manifestement leurs auteurs ne connaissent pas la théorie physique qui parle d'un fil pesant sans épaisseur soumis à son propre poids; et du rapport avec la courbe du cosinus hyperbolique. 
On est très loin de la situation proposée ici. 

Cordialement.