Une jolie surprise ... et ça continue de plus belle !

jelobreuil

Bonsoir à tous

C'est un "truc" tout bête, mais qui m'a réservé une agréable surprise !
Soit un triangle $ABD$, son cercle circonscrit de centre $C$, et les points $S$, symétrique de $D$ par rapport à $AB$,  $S'$ et $S''$, symétriques de $S$ par rapport à $AD$ et $BD$ respectivement, $S'_1$ et $S''_1$ symétriques, respectivement de $S'$ par rapport à $BD$ et de $S''$ par rapport à $AD$, et le point $M$, intersection des droites $S'S'_1$ et $S''S''_1$.
La mignonne en rouge est le lieu de $M$ quand $D$ décrit le cercle.
De quoi s'agit-il ? Est-ce la façon classique de tracer cette courbe ?

Bien cordialement, JLB   

Ludwig

Bonjour,
On peut regarder ce que cela donne en fonction de l'angle $\widehat{ACB}$ : par exemple une hypotrochoïde (noeud de trèfle) pour un angle de $90°$, une torpille pour un angle de $120°$, une ellipse pour un angle plat.

jelobreuil

Bonjour Ludwig,

Merci de la piste ! et aussi pour le nom "hypotrochoïde" !

Les lieux de S' et S" sont des limaçons de Pascal, ceux de S'1 et de S"1 des ellipses très allongées, du moins dans le cas de ma figure ci-dessus.

Je vais faire une figure complète "incessamment sous peu", à suivre ...

Bien amicalement, JLB 

jelobreuil

Avec un peu de retard que je vous prie de me pardonner ...

(Edit: pardon aussi pour le changement de notations !)

Il y a des cas particuliers quand l'angle au centre $AOB$ ou $ACB$ vaut 90° ou 60°, les limaçons et les ellipses se réduisent alors à des cercles.

Bien cordialement, JLB

fm_31

Bonjour ,
très harmonieux effectivement .
Un autre angle de vue ici  https://www.geogebra.org/m/mbtsdcfd
Cordialement

jelobreuil

Bonne nuit à tous

M'est venue l'idée de rajouter une symétrie intermédiaire : à partir du triangle $ABM$, $M$ étant mobile sur le cercle circonscrit, je place $S$, le point symétrique de $M$ par rapport à $AB$, puis le point $S1$, symétrique de $S$ par rapport à la médiane issue de $M$, et je reprends ensuite avec les points symétriques de $S1$ par rapport à $AM$ et à $BM$, respectivement $S2'$ et $S2$, et enfin avec les points $S3$ et $S3'$, symétriques, respectivement, de $S2$ par rapport à $AM$ et de $S2'$ par rapport à $BM$, et le point $I$, intersection des droites $S2S3$ et $S2'S3'$.

Voici mon premier résultat :

Quel fouillis entre $A$ et $B$ !!! En voici un agrandissement :

En détaillant les étapes et en ne représentant qu'un seul des lieux d'une paire de lieux symétriques par rapport à la médiatrice de $AB$, on obtient, pour les lieux de $S2$ et de $S3$ (ceux de $S2'$ et de $S3'$ sont leurs symétriques respectifs par rapport à la médiatrice de $AB$) :

On constate que l'ellipse et le limaçon du cas initial sont chacun agrémentés d'une petite boucle sur leur petit arc entre $A$ et $B$. Quant au lieu de $I$, voici :

On pourrait appeler cela, peut-être, "Moustique, vu de dos" ? Quoique, quand on modifie l'angle en M, ça change, et pas qu'un peu :

Là, vous, je ne sais pas, mais moi, cela me ferait penser à une raie manta ... et ce n'est pas pour garder la lettre M !

Plus sérieusement, pouvez-vous m'indiquer un nom, ou une piste de nom, pour ces courbes à trois boucles ?

Suite dans le prochain message, celui-ci doit commencer à devenir maousse ...

Bien amicalement, JLB

jelobreuil

Suite : Pour commencer, un agrandissement des boucles ajoutées à l'ellipse et au limaçon (voir la troisième des figures du message précédent) :

Et pour vérifier si le point $H$ fait ou non partie du limaçon à boucle :

Il devient clair qu'en général, le point $H$, milieu de $AB$, n'appartient à aucun des quatre lieux.

Voici les lieux d'autres points particuliers, $N$, milieu de $S2S2'$, et $P$, milieu de $S3S3'$ :

Ainsi que les milieux $MS$ de $S2S3$ et $MS'$ de $S2'S3'$ :

"Joliment insensé, non ?"

Bien amicalement, JLB

jelobreuil

Bonjour, tout le monde
J'aurais peut-être dû commencer par là ...
Bien amicalement, JLB

jelobreuil

Bonsoir à tous,

Je me permets de faire remonter cette discussion d'il y a deux ans, pour le plaisir des yeux et celui des amateurs et amatrice de calculs, auxquels et à laquelle je propose d'établir les équations de quelques-uns de ces lieux.

Bien cordialement, JLB

stfj

Bonjour, c'est très joli et j'ai l'impression qu'on peut mettre en équation en coordonnées barycentriques dans $(a,b,d)$. Cela commencerait ainsi : $A=[1:0:0],B=[0:1:0],D=[0:0:1], pyth, \mathcal L_{\infty}=[1,1,1]$. Peut-être serait-il plus prudent de changer D en C, et C en O pour disposer sans changement source d'erreurs, des notations habituelles. Cordialement, Stéphane.

jelobreuil

Merci de ton appréciation, Stéphane !

Pour les notations, tu fais comme tu veux, elles ne sont pas brevetées ! Et je te signale que je n'ai pas conservé les mêmes notations tout au long de la discussion ...

 

Rescassol

Bonjour,

Morley circonscrit trouve $T4+T3+T2+T1+T0=0$ avec ($zB$ est le conjugué de $z$):

T4=b^2*c^2*(b+c)^2*z^2*zB^2 
T3=-b*c*(b+c)*(z+b*c*zB)*(z^2+(b^2-b*c+c^2)*z*zB+b^2*c^2*zB^2)
T2=(b+2*c)*(2*b+c)*(b^2+c^2)*z^2 - (b^2+b*c+c^2)*(b^4+2*b^3*c+7*b^2*c^2+2*b*c^3+c^4)*z*zB + b^2*c^2*(b+2*c)*(2*b+c)*(b^2+c^2)*zB^2 
T1=-(b+c)*(b^2+c^2)*(b^2-3*b*c+c^2)*(z+b*c*zB) 
T0=-b*c*(b^4-3*b^3*c+b^2*c^2-3*b*c^3+c^4)

Cordialement,
Rescassol