Sur la densité des polynômes complexes
Bonjour, j'aurai besoin d'aide.
Je cherche une preuve de : $\overline{P(\mathbb{C})}=A_{\alpha}^{2}(\mathbb{D})$, avec $P(\mathbb{C})$ est l'espace des polynômes à coefficients complexes et $A_{\alpha}^{2}(\mathbb{D})$ est l'espace de Bergman tel que $|| f ||_{A_{\alpha}^{2}(\mathbb{D})}=\big(\int_{\mathbb{D}}|f(z)|^2(1-|z|^2)^{\alpha}dA(z)\big)^2.$
Je cherche une preuve de : $\overline{P(\mathbb{C})}=A_{\alpha}^{2}(\mathbb{D})$, avec $P(\mathbb{C})$ est l'espace des polynômes à coefficients complexes et $A_{\alpha}^{2}(\mathbb{D})$ est l'espace de Bergman tel que $|| f ||_{A_{\alpha}^{2}(\mathbb{D})}=\big(\int_{\mathbb{D}}|f(z)|^2(1-|z|^2)^{\alpha}dA(z)\big)^2.$
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Réponses
$$\|f\|^2=2\pi\sum _{n=0}^{\infty}|a_n |^2I_{2n}.$$ Et je ne vois pas pourquoi la suite de polynômes $(P_N)$ définie par $P_N(z)=\sum _{n=0}^{N}a_nz^n$ ne convergerait pas vers $f$ au sens de la norme ci dessus ?