Injection et ensemble dénombrable

OShine

Bonsoir,

J'essaie de démontrer la proposition 2 et le corollaire 3.

• Soit $A$ un ensemble au plus dénombrable. Alors $A$ est fini ou dénombrable. Si $A$ est dénombrable il existe une bijection donc une injection de $A$ dans $\N$. Si $A$ est fini, posons $A=\{a_1, \cdots, a_p \}$ on définit l'application $f : A \longrightarrow \N \\ a_i \mapsto i$ elle est évidemment injective.
• Réciproquement, s'il existe une injection de $A$ dans $\N$. Je n'ai pas réussi. 

raoul.S

proposition 1...

OShine

D'accord merci. S'il existe un injection de $A$ dans $\N$ il y a deux cas : si $A$ est infini alors la proposition $1$ montre que $A$ est dénombrable et sinon $A$ est fini. Donc $A$ est au plus dénombrable.

Je tente de démontrer le corollaire $3$.
Corollaire $3$ : 
Soit $A$ un ensemble dénombrable. Soit $H$ une partie de $A$. 

• Si $A$ est fini, alors $H$ aussi car $H \subset A$.
• Si $A$ est infini, il existe une bijection $f : A \rightarrow \N$. Soit $f_{| H}$ la restriction de $f$ à $H$. Comme $f$ est bijective, elle est à fortiori injective, et la restriction de toute application injective reste injective. Donc il existe une injection de $H$ dans $\N$ donc $H$ est dénombrable.