Application linéaire et $f(0)=0$

Lolo36

Bonjour
Je voulais montrer qu'une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ vérifie $f(0_E)=0_F$, et ce quelles que soient les valeurs de $\lambda$ et $\mu$ définies ci-après. Je ne sais pas si la démonstration est bonne.

Soit $f : E \rightarrow F$.
$\forall (x,y)\in E^2,\ \forall(\lambda, \mu)\in\mathbb{K^2},\ f(\lambda x +\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$. $(*)$

$\underline{\text{1ère méthode (type implication) :}}$ On suppose $(*)$ vraie. 
$f(0_E)=f(0\times 0_E)=0\times f(0_E)=0_F$.

$\underline{\text{2ème méthode (disjonction) :}}$
Premier cas. Pour $x\ne 0_E$ et $y\ne 0_E$. 
On pose $\lambda x=-\mu y$, d'où $f(0)=\frac{-\mu y}{x}f(x)-\frac{\lambda x}{y}f(y) = -\mu y f(1)-\lambda x f(1) = f(1)\underbrace{(-\mu y -\lambda x)}_{=0} = 0$.
Deuxième cas. Pour $x= 0_E$ ou $y= 0_E$. 
Il est clair que $f(0)=0$ en utilisant la première méthode.

J'ai peut-être oublié des cas.
Merci.

nicolas.patrois

$x$ est un vecteur, $f(x-x)=?$

Lolo36

Oui aussi

raoul.S

Juste une remarque : ça n'a aucun sens d'écrire $f(1)$ car $1$ n'est pas élément de $E$...

La preuve plus simple est encore d'écrire : $f(0_E)=f(0_E+0_E)$ or $f(0_E+0_E)=f(0_E)+f(0_E)$ par linéarité, donc $f(0_E)=f(0_E)+f(0_E)$ et vu que $F$ est un groupe pour l'addition on peut simplifier par $f(0_E)$ dans la dernière expression et on obtient $f(0_E)=0_{F}$

Lolo36

raoul.S

Ça fonctionne si E est un $\mathbb{C}$ ev ?

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

raoul.S

Selon toi est ce que le $\C$-ev $\C^2$ contient le complexe $1$ ?

PS. Ceci-dit je crois que tu devrais relire (lire ?) un cours de base sur l'algèbre linéaire.

Homo Topi

Autre chose, qui est $\dfrac{1}{x}$ ?

Math Coss

Et, euh, qui est $x$ au fait ? Si la donnée est $f$, on n'a pas de $x$ sous la main...

julian

X n'est pas nul en tout cas. 

Math Coss

Ah bon ? Qui te l'a dit ?

julian

Personne, une étourderie de ma part sans doute... 

Dom

Je ne comprends pas l’assertion. 

Soit $f$ linéaire de $E$ dans $F$, alors $f(0_E)=0_F$.

Ça, est-ce que c’est bon ?

julian

Oui, pourquoi ? 

troisqua

Je vais montrer que $0=0$ quelque soient les valeurs de $\lambda$ et $\mu$...

C'est moi ou ce fil n'a ni queue ni tête ?

JLapin

Le début en tout cas... L'auteur ne semble pas comprendre la signification du quantificateur $\forall$ dans la phrase qu'il écrit.

Dom

Voilà, c’est ça qui est étrange. 

Je n’ai pas pensé à une incompréhension des quantificateurs mais ce doit être cela, finalement. 

Ou une incompréhension du sens « en français » de « vrai quel que soit ».

Lolo36

Je vois que je suis presque malheureusement soumis à des moqueries du type "ce fil n'a ni queue ni tête", des ... qui en témoignent de même. Et bien écoutez, je pense que la seule façon pour moi de progresser est de quitter ce forum où l'entraide cordiale est étrangère. J'ai surtout l'impression ici qu'on ne prête pas attention à ceux qui essaient de se poser des questions pour avancer, et où celles-ci sont bien sûr très simples pour d'autres. De toute manière c'est comme partout, quand on n'est pas bon, les autres n'en ont rien à foutre et l'enfoncent encore plus. Enfin...

gerard0

Lolo36,

il ne s'agit pas de moqueries, mais de remarques sur ce que tu as écrit. Si tu démarres dans l'algèbre linéaire, vois un cours de base (niveau L1) sur le sujet pour voir que tu te poses une question très élémentaire dans la théorie (c'est dit dès qu'on parle des applications linéaires) en y mêlant des notions piquées ailleurs.

Ce que dit Dom c'est que $f(0_E)=0_F$ ne parle pas d'éventuels $\lambda$ et $\mu$ qui sont dans le définition de $f$. Si une application entre espaces vectoriels est linéaire, alors elle transforme le zéro du premier en le zéro du deuxième.

Autre chose : les seules opérations qu'on sait faire avec les éléments de $E$ c'est de les ajouter, ou de les multiplier par des scalaires (du corps de base). C'est tout ! Et ça invalide complétement ton premier message avec cette division par $x$.

Donc avant de t'aventurer à faire des preuves, prends vraiment conscience de ce dont tu parles, vois de nombreux exemples d'espaces vectoriels.

Cordialement.

Dom

Pour ma part, guère de moquerie !

lourrran

La difficulté, c'est que tu veux montrer un truc qui est pratiquement un élément de la définition d'une application linéaire, un truc qui est évident.
Et plus c'est évident, plus on s'emmêle les pieds dans des trucs sans grand intérêt. Quelle propriété a-t-on le droit d'utiliser, si on s'interdit d'utiliser f(0)=0 ?

Là, en plus, dans ta première phrase, tu dis : je veux montrer qu'on a telle propriété $P$ quelles que soient les valeurs de $\lambda$ et $\mu$
Et dans la propriété $P$, $\lambda$ et $\mu$ n'apparaissent pas.

Pour un matheux, ça n'a pas beaucoup de sens.

Tu veux démontrer un truc qui est 'évident', et donc le seul intérêt de l'exercice, c'est d'avoir une rédaction parfaite. 

Homo Topi

@Lolo36 personne ne s'est moqué. Tu nous accuses (je paraphrase) de tous être des connards et qu'il n'y a aucune entraide sur le forum... pourtant, les deux premières réponses sur ce fil t'ont rapidement donné satisfaction, donc tu es de mauvaise foi. En plus, tu es nouveau ici, nous autres on se connait depuis des années, on sait très bien comment on fonctionne (l'entente et l'entraide sont excellentes sur le forum), donc ton coup de gueule n'a que très peu de poids ici. Si tu veux de l'aide, et que tu la veux de notre part, il va falloir apprendre à te calmer et à accepter la critique. Sauf si tu veux passer pour un psychopathe. Certains d'entre nous ont réagi un peu brutalement à ton fil (je pense à la réponse de @troisqua notamment) mais ce n'est ni insulte, ni moquerie.

Nous ne connaissons pas vraiment ton niveau. Je te défendrai sur le fait que ce que tu veux montrer, bien que ce soit complètement évident une fois qu'on a compris le truc, il faut d'abord avoir compris le truc. Beaucoup d'étudiants débutants ont du mal à penser à faire ces manipulations "presque idiotes" comme $0=0+0$ par exemple. Une fois qu'on sait qu'il faut toujours essayer ces trucs-là, ça va mieux après.

Cependant, je dois être d'accord avec @troisqua que tu as fait beaucoup de "bêtises" mathématiques, qui montrent que tu ne comprends pas exactement ce que tu fais. Si tu veux montrer "si $f$ est linéaire, alors $f(0)=0$", il n'y a pas de "et ce quels que soient $\lambda$ et $\mu$" qui tienne, c'est complètement incohérent de rajouter ça. Donc là tu fais juste une erreur de logique, et il faut que tu la comprennes si tu veux t'en sortir en maths.

Ensuite, dans ta deuxième méthode, tu divisais par $x$. Encore une preuve que tu ne sais pas de quoi tu parles, c'est une opération qui n'a aucun sens. On ne divise pas par un vecteur. Dessine une flèche dans le plan, comment on divise par cette flèche ?

Si tu veux qu'on t'apprenne, crois moi, on t'apprendra. Mais sois poli.