Fonction de choix, nécessaire ici ?
Dans un fil en algèbre, j'ai écrit ceci.
La situation est la suivante. J'ai un corps $K$ et une extension $L$ de $K$. $L$ est un $K$-espace vectoriel, soit $(e_j)_{j \in J}$ une $K$-base de $L$. Il y a trois situations possibles ici : $J$ peut être fini, infini dénombrable, ou infini indénombrable. J'ai ensuite pris $x \in L$ non nul : "il existe" une combinaison linéaire finie des $e_j$ telle que $x=\displaystyle \sum_{\text{finie}}\alpha_j e_j$ avec les $\alpha_j$ tous non nuls. Maintenant, je veux construire une application $\varphi : L \longrightarrow L$ qui soit $K$-linéaire et telle que $\varphi(x)\neq 0$. Pour ça, je prends un $e_{j_0}$ qui apparait dans la somme finie ci-dessus et je pose $\varphi(e_{j_0})=1$, $\varphi(e_j)=0$ sinon.
Ma question est la suivante : techniquement, j'ai dit "il existe une CL finie" mais l'énoncé précis est qu'il existe une application $f : J \longrightarrow K$, $j \longmapsto \alpha_j$, telle qu'il existe un sous-ensemble $I \subseteq J$ fini tel que $f(j)\neq 0$ pour tout $j \in I$. Il y a beaucoup de "il existe" dans ce bazar. Du coup, je me posais la question, de quel "niveau" d'axiome du choix (choix dénombrable, choix "normal" de ZFC classique, autre ?) ai-je besoin ici pour choisir $j_0$ ? $j_0$ est dans $I$, qui est fini, mais faut-il auparavant utiliser une fonction de choix pour choisir $I$ ? Auquel cas le "niveau" d'axiome du choix nécessaire dépendrait de la cardinalité de $J$ que je mentionnais ci-dessus.
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