Complétude de l'espace des fonctions C1

Fèf

Bonjour

Je bloque pour démontrer que

$E=\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)$ muni de la norme : $\|X\|=\sup\limits_{t\in\mathbb{R}}e^{-\lambda|t|}|X(t)|$, où $\lambda>0$ est complet.

Mon premier problème étant que, sauf erreur de ma part, cette norme n'est pas définie pour certaines fonctions, typiquement celles qui croissent plus vite que l'exponentielle. Je me suis dit qu'on se restreignait aux fonctions pour lesquelles le sup est fini.
Cependant, je n'arrive pas à prouver l'uniforme continuité pour prouver que $X\in E$, $X$ étant définie pour tout $t$ comme la limite des suites de Cauchy dans $\mathbb{R}$.
J'ai essayé de passer par la définition de la limite avec les epsilons, ou de majorer les suites de Cauchy, mais à chaque fois le majorant  (ou le rang à partir duquel l'inégalité est vérifiée) dépendant de $t$ ce qui me bloque.
Peut-être qu'il faut plutôt considérer l'espace des fonctions bornées et que c'est une erreur dans l'énoncé, mais le problème de la convergence uniforme subsiste.
Avez-vous des idées ?
D'avance merci.

Amédé

Bonsoir, qu'est-ce que $|X(t)|$ ?

Fèf

Ah oui, $|X(t)|$ est la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^d$, et je me suis trompé $X$ est la fonction définie pour tout $t$ à partir des suites $(X_n(t))_{n\in\mathbb{N}}$ qui sont des suites de Cauchy de $\mathbb{R}^d$ et non $\mathbb{R}$.

Amédé

Considère plutôt, si $N$ est une norme sur $\R^{d}$ :

$E=\{f\in C^{0}(\R,\R^{d})\mid ||f||=\sup_{t\in\R}(e^{-\lambda |t|}N(f(t)))<+\infty\}$

Il est complet pour $||\cdot||$.

Fèf

Oui, c'est ce que je me suis dit que j'allais faire mais je bloque au niveau de la convergence uniforme, pour prouver que la limite de la suite de Cauchy est bien dans $E$. Je n'arrive pas à majorer $|X(t)-X_n(t)|$ indépendamment de $t$.

Amédé

Soit $\varepsilon>0$. On prend $(f_{n})$ une suite de Cauchy dans $E$. Alors il existe $n_{0}\in\N$, tel que pour tout $p,q\geq n_{0}$ et tout $t\in\R$, $e^{-\lambda|t|}N(f_{q}-f_{p})\leq e^{-\lambda|t|}\varepsilon$. Donc $(f_{n})$ est de Cauchy dans $\R^{d}$ qui est complet donc pour tout $t\in\R$ on peut définir un objet limite $f(t)=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{f_{n}(t)}$.

Après il faut se restreindre à des compact de $\R$ pour montrer que $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur tout compact donc $f$ est continue et enfin montrer que la convergence dans $E$. Si $w=e^{-\lambda|t|}$. Alors $sup_{t\in[-a,a]}(N(f_{p}-f_{q})\leq\dfrac{1}{inf_{t\in[-a,a]}(w)}||f_{p}-f_{q}||$. Donc $(f_{n})$ converge uniformément sur tout compact de $\R$, donc $f$ est continue.

Ensuite c'est facile.

Fèf

J'avais oublié que la convergence uniforme sur tout compact suffisait.
Ça paraît évident maintenant. Merci beaucoup !