Cardinal majorant les sous-groupes finis de GLn(Z)

OShine

Bonjour
Oral Centrale MP 2022.
1) Soit $M$ une matrice à coefficients entiers. Soit $M \in GL_n(\Z)$. Alors $M$ est inversible et $M$ et $M^{-1}$ sont à coefficients dans $\Z$ donc leur déterminant aussi. On a $M M^{-1}= I_n$ donc $\det (M) \det (M^{-1})=1$. Comme $\det M , \det M^{-1} \in \Z$ alors forcément $\det M = \pm 1$.
Réciproquement, si $\det M = \pm 1$ alors on a $Com(M)^T M = \pm I_n$ alors $M^{-1} = \pm Com(M)^T $ est à coefficients entiers.
Donc $M \in Gl_n(\Z)$.
Sous-groupe : 

• $I_n \in Gl_n(\Z)$.
• Soient $M,N$ deux éléments de $GL_n(\Z)$. Alors on s'intéresse à $MN^{-1}$. D'après ce qui précède $|\det M |=1$ et $| \det N^{-1} |=1$ donc $|\det MN^{-1} | = |\det M| \times |\det N^{-1} | = 1 \times 1 =1$ donc  $MN^{-1} \in GL_n(\Z)$.
• $GL_n(\Z) \subset GL_n(\R)$.

2) $M^d =I_n$ donc $P(X)=X^d -1$ annule $M$. $M$ est annulée par un polynôme scindé à racines simples $P(X)= \displaystyle\prod_{k=0}^{d-1} (X-w_k )$ où $w_k = e^{ 2i k \pi /d}$. Donc $M$ est diagonalisable.
Pour la suite je n'ai pas réussi.

jean-éric

Salut OS
Tu trouveras une aide avec des questions intermédiaires dans la pièce jointe ainsi qu'un corrigé, comme cela tu auras de quoi répondre.
Cordialement. Jean-éric

OShine

Merci mais ça ne me semble pas exactement la même méthode.
Il n'y a pas l'étude d'une suite de matrice.

Alexique

Question 2b).
Après, pour toi, faire le lien entre ton exo et le sujet de concours est déjà un exercice en soi.

math2

Je n'ai pas regardé ce que te propose jean-eric, je te propose ce que moi je ferais pour finir ta question 2 : vue l'expression de $A$, il est facile de relier les valeurs propres de $A$ à celles de $M$, qui sont toutes de module $1$. Les modules des valeurs propres de $A$ se majorent alors facilement, sans doute par $2/3$ (sans forcer), ce qui règle la question de la convergence de la suite. 

OShine

Merci @maths2 il me semble qu'il faut montrer que $A$ est aussi diagonalisable. 

@Alexique pas besoin du sujet de concours. Sur le site beos le candidat dit qu'on lui a donné 2 indications. 
Q2) Montrer que A est diagonalisable.
Q3) je verrai plus tard.

Guego

OShine a dit :

il me semble qu'il faut montrer que $A$ est aussi diagonalisable.

Tu as montré que $M$ l'était. Que peux-tu en déduire sur $A$ ?

OShine

D'accord merci. Montrons que $A$ est diagonalisable.
Comme $M$ est diagonalisable, il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telle que $M=P D P^{-1}$ et donc $A= \dfrac{1}{3} P (D- I_n) P^{-1}$. Posons $D'=D-I_n$ avec $D'$ diagonale.
Donc $\boxed{Sp(A)= \{ \dfrac{e^{2ik \pi /d}-1}{3} \ | \ k \in [|0,d-1|] \}}$
$\chi_A$ est scindé à racines simples donc $A$ est diagonalisable.
Soit $\lambda \in Sp (A)$. Alors il existe $k \in [|0,d-1|]$ tel que $\lambda = \dfrac{e^{2ik \pi /d}-1}{3}$. L'inégalité triangulaire fournit $\boxed{|\lambda| \leq \dfrac{2}{3} <1}$
Mais comment étudier la suite $(A^k)$ ? 
@math2 je n'ai pas compris le rapport entre les valeurs propres et la convergence de la suite...

Heuristique

Bonjour,

Comment sais-tu que $\chi_A$ est scindé à racines simples ?

Pour le rapport entre les valeurs propres de $B$ et la nature de $(B^k)_{k \in \N}$, commence par le cas où la matrice $B$ est diagonale, tu pourras ensuite essayer le cas où $B$ est diagonalisable.

OShine

Merci ça me fait des révisions sur la convergence d'une suite dans un espace de dimension finie. 
Les racines $d$ ième de l'unité sont distinctes et si on "translate" les racines restent distinctes...
On a sait que $A = P diag ( \lambda_1, \cdots, \lambda_d ) P^{-1}$ avec $\forall p \in [|0,d-1|] \ \ \lambda_p =\dfrac{ e^{2i p \pi /d}-1}{3}$.
Donc $\boxed{A^k = P diag  ( \lambda_1 ^k, \cdots, \lambda_d ^k ) P^{-1}}$
Précédemment, on a montré que $\forall p \in [|0,d-1|] \ \  |\lambda_p| <1$ donc $\lim\limits_{k \rightarrow +\infty}  |\lambda_p|^k =0$
Or l'application $M  \mapsto PMP^{-1}$ est linéaire donc continue donc la suite $(A^k)$ converge vers $P O P^{-1}= O_n$.

noobey

Hello Oshine, tu as fait une grosse boulette. Réponds à la 1ere question de Heuristique.

OShine

J'y ai répondu dans mon dernier message si on enlève les matrices de passages... Où est l'erreur ? Je trouve que $D$ tend vers $0$.

noobey

D converge vers 0 ce n'est pas ça le problème. 
Quel est le polynôme caractéristique de In ? 

OShine

$(X-1)^n$.

noobey

Il est scindé à racines simples? Et pourtant si tu poses M = In tu as bien M^n = In...

OShine

Ah d'accord merci oui j'ai dit des bêtises.
Il faut juste dire que $M$ est diagonalisable car annulée par un polynôme scindé à racines simples. Même chose pour $A$.

JLapin

Et comment sais-tu que $A$ est annulé par un polynôme scindé à racines simples ?

OShine

Pour la question 3), l'indication suivante a été donnée au candidat. 

Pour $G$ sous-groupe de $GL_n( \Z)$ fixé, on pose $\hat{M}$ la matrice dont les coefficients sont ceux de $M$ modulo $3$. Montrer que $\begin{array}[t]{cccl}\phi :& G& \longrightarrow &GL_n(\Z / 3 \Z) \\[-1.2mm]& M &\longmapsto &\hat{M}\end{array}$ est injective.
Utiliser la question $2$, si $\hat{M}=I_n$ alors $A=\frac{1}{3} (M-I_n) \in M_n(\Z)$. (pas compris ce résultat)

Je bloque sur l'injectivité. Soient $M,N \in G$ telles que $\phi(M)=\phi(N)$ donc $\hat{M}=\hat{N}$ donc $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 ,\ \overline{m_{ij}} = \overline{n_{ij}}$ et après je ne vois pas.

OShine

@JLapin. $M$ est annulée par $P(X)=\displaystyle\prod_{k=0}^{d-1} (X- e^{2 i k \pi /d} )$
Je pense qu'on ne peut pas trouver simplement un polynôme annulateur de $A$, je me suis enflammé. On écrit simplement que $M=P DP^{-1}$ donc $\boxed{A= P \dfrac{D-I_n}{3} P^{-1}}$ donc $A$ est diagonalisable.

noobey

Ben si $(3X+1)^n - 1$ est un polynôme annulateur de $A$ ...

La question 3 est trop difficile pour toi.

[Pour quelques $\$$ de plus. AD]

bisam

Je pense comme @noobey que tu ne vas pas réussir à comprendre cette 3ème question... mais je suis un optimiste.

1) Commence par montrer que la fonction $\phi$ est bien définie, c'est-à-dire que si $M \in GL_n(\Z)$ alors $\hat{M}\in GL_n(\Z/3\Z)$.

2) Vérifie que $\phi$ est un morphisme de groupes.

3) Montre que si $M\in GL_n(\Z)$ et $\hat{M}=I_n$ alors $A=\frac{1}{3}(M-I_n)\in M_n(\Z)$.

4) Utilise la caractérisation de l'injectivité pour les morphismes de groupes, le point précédent et la question 2) pour conclure que $\phi$ est injective.

5) Déduis-en une majoration du cardinal d'un sous-groupe de $GL_n(\Z)$.

OShine

Ah d'accord, vu que $M=3A+ I_n$ et que $M^d - I_n=0$.
La question $3$ est très dure mais avec l'indication c'est peut-être faisable.
@bisam d'accord merci je vais regarder ça !

rebellin

L'exercice est une reprise d'un sujet d'écrit de polytechnique (une partie complète du sujet, en moins détaillé). Ce n'est carrément pas évident !

Amédé

Ton application $\Phi$ est un morphisme si je ne m'abuse...

Amédé

Bon il n'utilisera pas les conseils.

$\hat{M}=I_{n}$ donc $\hat{M}-I_{n}=0$. Donc le relèvement de $\hat{M}-I_{n}$ dans $M_{n}(\Z)$ s'écrit $3B$ où $B\in M_{n}(\Z)$. Donc $A$ est à coefficients dans $\Z$. La suite $A^{k}$ tend vers 0. Donc puisque ses coefficients sont entiers elle est stationnaire égale à 0. On déduit que $M=I_{n}$ est donc $\Phi$ est injective. 

OShine

Amédé t'es sérieux là ? @bisam s'est fatigué à me faire des questions intermédiaires et toi tu donnes la réponse ?
De toute façon je n'ai pas compris ta réponse...
1) Soit $M \in GL_n(\Z)$. Montrons que $\hat{M} \in GL_n(\Z / 3 \Z)=\{ M \in GL_n(\R) \ | \ M \ \text{et} \ M^{-1} \ \text{sont à coefficients dans} \ \Z / 3 \Z \}$
Soit $M \in GL_n(\Z)$. Alors $M \in GL_n(\R)$. Par définition, $M$ est à coefficient dans $\Z / 3 \Z$. Il reste à montrer que $M^{-1}$ au ssi. Comme $3$ est premier, $\Z / 3 \Z$ est un corps et tout élément admet un inverse. Et $M^{-1} = \dfrac{1}{ \det M} Com( M)^T$ et comme $\det(M) $ est à coefficients dans $\Z / 3 \Z$ et qu'il admet un inverse et que $ Com( M)^T $ aussi alors par produit $M^{-1}$ est à coefficients dans $\Z / 3 \Z$.
2) Montrons que $\phi$ est un morphisme de groupe. Soient $M,N \in GL_n(\R)$. On a $\phi(MN)= \hat{ MN}$
Par produit matriciel, $[\phi(MN]_{ij} = \overline{\displaystyle\sum_{k=1}^n m_{ik} n_{kj}} =\displaystyle\sum_{k=1}^n \overline{m_{ik} n_{kj}} =\displaystyle\sum_{k=1}^n \overline{m_{ik} }\times \overline{m_{kj}} = [\phi(M) ]_{ij}  [\phi(N) ]_{ij}$
On a montré que $\boxed{\phi(MN)=\phi(M) \phi(N)}$ donc $\phi$ est un morphisme de groupe.
3) Soit $M \in GL_n(\Z)$ et $\hat{M}=I_n$. Il y a pas une coquille ici ? Ce n'est pas $\hat{M}=\hat{I_n}$ ? Sinon on aurait $\overline{m_{ij}}= \delta_{ij}$ une classe est un ensemble, un ensemble ne peut pas être égal à un nombre...
Sinon si $\hat{M}=\hat{I_n}$ alors il existe $B \in G$ tel que $M- I_n = 3B$ donc $\boxed{A= \dfrac{M-I_n}{3}= B \in M_n(\Z)}$ par définition de $G$.
4) $\phi$ est injective si et seulement si $\ker (\phi)= \{ I_n \}$.
Soit $M \in \ker \phi$. Alors $\hat{M}=\hat{I_n}$. Alors $A= \dfrac{M-I_n}{3}\in M_n(\Z)$ d'après la question précédente.
Je bloque ici pour utiliser que $(A^k)$ tend vers $O$. En plus je ne vois pas comment utiliser la question $2$ car on ne sait pas si $M^d = I_n$....
Bref je ne vois pas comment faire ici.

Amédé

Je suis très sérieux... Tu postes 15 fils par jour, qui durent des pages et des pages stérilement.

En fait c'est naturel d'envoyer $M_{n}(\Z)$ dans $M_{n}(F_{p})$ (p premier >2), rien que par compatibilité de la relation de congruence avec les loi de l'anneau $\Z$. Donc ton morphisme est presque naturel... Tu as juste à montrer que si $M$ est inversible dans $M_{n}(\Z)$ alors elle l'est dans $M_{n}(F_{3})$. En effet si $M\in GL_{n}(\Z)$ alors $^tcom(M)M=I_{n}$ donc $\hat{^t com(M)}\hat{M}=I_{n}$ donc $\hat{M}\in GL_{n}(F_{3})$.

Les coefficients de $(A^{k})$ sont des suites d'entiers qui convergent donc les coefficient de $(A^{k})$ sont constant à partir d'un certain rang. Supposons que l'une des constantes n'est pas nulle alors la limite n'est pas nulle...Voilà. 

Donc $K_{n}=|GL_{n}(F_{3})|$.

Pour ta culture c'est le lemme de Serre et un corolaire

OShine

Je comprends rien à ton explication avec les suites d'entiers.
Et pour utiliser Q2 il faudrait avoir que $M^d=I_n$.
 J'essayais de répondre aux questions de bisam.

Amédé

Ne dis pas n'importe quoi... Tu l'as fait deux post plus haut dans le détail... Dès que tu sais que $\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}$ et $\overline{xy}=\overline{x}\overline{y}$, la compatibilité entre le produit matriciel et la congruence sur les coefficients des matrices est assurée. Donc le morphisme est naturel.

Je te propose de refaire cet exercice en le modifiant et sans raconter ta vie (i.e en employant une rédaction concise).

Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_{n}(\Z)$. $F_{p}=\Z/p\Z$.

1) Montrer que tout élément de $G$ est diagonalisable sur $\C$.

2) Soit $p>3$ un nombre premier. Le but de cette question est de montrer que la restriction à $G$, de $\phi:GL_{n}(Z)\longrightarrow GL_{n}(F_{p})$ qui à $M$ associe $\hat{M}$ est un morphisme de groupe injectif.

a) Montrer, en une phrase, que $\phi$ est un morphisme de $GL_{n}(\Z)$ dans $GL_{n}(F_{p})$, non injectif.

b) On considère la restriction de $\phi$ à $G$. Soit $g\in G $ tel que $g\in \ker(\phi)$. Montrer qu'il existe $M\in M_{n}(\Z)$ tel que $g=I_{n}+pM$.

c) Soit $M\in GL_{n}(\C)$ d'ordre fini $d$. Montrer que la suite de terme général $\big(\frac{1}{p}(M-I_{n})\big)^{k}$, est une suite convergente dont on déterminera la limite.

d) Déduire des questions précédente que la restriction de $\phi$ à $G$ est injective.

3) Déterminer un majorant $K_{n}$ du cardinal de $G$.

OShine

Amede tu me noies avec trop d'informations ça me stresse.
J'étais sur les questions de @bisam mais là tu m'as perdu.
Je vais abandonner et demander en cours particulier qu'il m'explique la question 3 j'ai cours particulier jeudi.

noobey

C'est de l'argent foutu en l'air si tu demandes cet exo (que tu auras oublié d'ici une semaine et qui ne t'apporte rien) en cours particulier

Alexique

Et puis un cours particulier bien fait, ce n'est pas l'étudiant qui vient avec ses exos, c'est aussi le prof qui identifie les points faibles et propose des exos en conséquence. Après, en pratique, c'est souvent le DM ou les exos à faire pour la semaine suivante qui y passent, et puis ça permet au prof de pas se casser la tête pour trouver du contenu mais c'est dommage. Si OS arrive en cours avec sa liste d'exos de concours ou de son manuel à faire, c'est tout bénéf pour le prof, c'est clair.

Amédé

C'est grosso modo les questions de ton exercices plus des questions supplémentaires... Donc tu as fait toutes les questions. Si tu ne sais pas faire c'est que tu n'as pas compris ce que tu as fait avant. Je vais répéter les conseils des forumeurs: arrête de lire les corrigés et bosses avec un cours en essayant de l'appliquer. Tu te noies dans une goutte d'eau.

jean-éric

jean-éric a dit :

Salut OS
Tu trouveras une aide avec des questions intermédiaires dans la pièce jointe ainsi qu'un corrigé, comme cela tu auras de quoi répondre.
Cordialement. Jean-éric

@Amédé OS avait déjà tout cela plus haut dans ce fil... Le sujet d'X 2021 est la source de cet exercice je pense. Ce que tu as détaillé pour OS, il l'avait déjà à porté de main mais il ne prend pas en compte ce que l'on peut lui donner. 

On peut lui accorder le fait qu'il choisit souvent des exercices intéressants. 

Jean-éric 

OShine

Jean Eric le sujet de l'X est légèrement différent, dans l'exercice d'oral on raisonne directement modulo $3$.Par ailleurs, je ne comprends pas trop les corrigés de l'UPS. 

Bah déjà comprendre pourquoi $\hat{M}=I_n$ a un sens est la première question que je poserai au cours particulier. Car pour moi une classe d'équivalence ne peut pas être égale à un nombre.

@Amédé un cours ne suffit pas à comprendre tous les exercices, même si le cours du tout en un de prépa est vraiment confus et pas clair. J'ai essayé de répondre aux questions de @bisam mais je bloque sur la fin.

J'ai compris plus de choses en 40 pages du livre d'arithmétique de François Liret qu'en 1500 page du livre de prépa.

lourrran

Normal.
Et si tu lisais de livres pour élèves de Terminale, tu comprendrais apprendrais encore plus de choses.
L'idée, c'est qu'il faut lire un livre correspondant au niveau que l'on a.

OShine

Le livre d'arithmétique de François Liret est de niveau L3, il parle de sous-groupe distingué, classe à gauche, classe à droite, anneau quotient, anneau principal, corps finis, extension de corps etc... C'est juste qu'il sait expliquer et qu'il a une très bonne pédagogie.

lourrran

Un livre de prépa s'adresse à des matheux. Tu n'es pas dans la cible.

OShine

J'ai vu cet exercice en cours particulier, en fait la dernière question était accessible avec les indications en pensant bien à raisonner modulo $3$ ce que je n'avais pas fait.
Dans la dernière question le prof a utilisé une méthode encore plus compliquée avec deux polynômes annulateurs, leur PGGCD le théorème de Bezout.