Théorème d'Abel angulaire si $a_n \ge 0,\ \forall n \in \mathbb{N}$ ?
Bonjour,
j'ai un exercice sur le théorème d'Abel angulaire (étant donnée une série entière $\sum a_nz^n$ telle que $\sum a_n$ converge, alors en restant dans un secteur angulaire, on a $\lim\limits_{z\to 1}\sum a_nz^n=\sum a_n$), et on me demande ce que l'on peut en dire si $a_n \ge 0,\ \forall n$.
Dans ce cas, je dirais que la suite des sommes partielles est croissante et alors peut-être avec un argument de convergence monotone pour la mesure de comptage, on pourrait passer à la limite sans introduire ce secteur angulaire. Mais je ne sais pas trop comment le formaliser et je suis un [peu] perdu sur les éléments à qui appliquer le théorème, parce que le théorème de la convergence monotone ne s'applique pas pour $z \to 1$, mais plutôt pour une suite telle que $z_m\to 1$.
Ou alors peut-être que ce n'est pas du tout cet argument qu'il faut donner...
Merci par avance et bonne journée.
j'ai un exercice sur le théorème d'Abel angulaire (étant donnée une série entière $\sum a_nz^n$ telle que $\sum a_n$ converge, alors en restant dans un secteur angulaire, on a $\lim\limits_{z\to 1}\sum a_nz^n=\sum a_n$), et on me demande ce que l'on peut en dire si $a_n \ge 0,\ \forall n$.
Dans ce cas, je dirais que la suite des sommes partielles est croissante et alors peut-être avec un argument de convergence monotone pour la mesure de comptage, on pourrait passer à la limite sans introduire ce secteur angulaire. Mais je ne sais pas trop comment le formaliser et je suis un [peu] perdu sur les éléments à qui appliquer le théorème, parce que le théorème de la convergence monotone ne s'applique pas pour $z \to 1$, mais plutôt pour une suite telle que $z_m\to 1$.
Ou alors peut-être que ce n'est pas du tout cet argument qu'il faut donner...
Merci par avance et bonne journée.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il faut que j’applique le TCD à «$(\sum a_nz^n)_n$ ?
votre réponse me conviendrait, seulement, je ne connais pas (ou alors je ne m'en rappelle pas) ce résultat que $a_n\ge 0 \implies$ CVN sur le disque fermé
bonne journée
Calcule la norme infinie de $z\mapsto a_n z^n$ sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $1$.