Noyau de la chaleur

mathspe

Bonjour

Pour le  n Heisenberg($\Bbb C^n\times\Bbb R$) il est connu que le noyau de la chaleur $q_s(z,t)=c_n\int_{\Bbb R} e^{-i\lambda t}\Big( \frac{\lambda}{\sinh(\lambda s)}\Big)^n e^{-\frac{\lambda|z|^2\coth(\lambda s)}{4}}d\lambda$  satisfait l'estimation suivante :$$q_s(z,t)\leq C s^{-n-1} e^{\frac{A}{s}|(z,t)|^{1/2}}   ,    $$avec $C$ et $A$  sont des constantes positives et $(z,t)\in \Bbb C^n\times\Bbb R$,  où $|(z,t)|=(|z|^4+|t|^2)^{\frac{1}{4}}$.

Pour le Heisenberg  quaternionique le noyau  de la chaleur est donné  par $$p_s(x,t)=c\int_{\Bbb R^3} e^{-i\lambda .t}\Big( \frac{|\lambda|}{\sinh(|\lambda| s)}\Big)^2 e^{-\frac{|\lambda||x|^2\coth(|\lambda| s)}{4}}d\lambda,$$ avec $(x,t)\in Q\times \Bbb R^3$ et $Q$  l'ensemble des quaternions.

Ma question peut-on avoir la même estimation $p_s(x,t)$.

Merci pour toute remarque.