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La notion de "problème" en mathématiques

Modifié (23 Jun) dans Fondements et Logique
Je lisais une page de ce forum qui parlait de la notion d'équations et j'ai bien aimé certaines interventions, notamment celle de @Foys, je me demandais si on pouvait faire la même chose mais pour la notion plus générale de "problème":
Comment définir la notion de problème par rapport à un langage du second ordre ?

Réponses

  • C'est un truc de la forme $A \Rightarrow B$ où on se fiche de la "véracité" de $A$ et de celle de $B$, on ne se préoccupe que de celle de $\Rightarrow$
    504, c'est trop !
  • @Médiat : Ta définition ne correspond-elle pas dans le fond à l'ensemble des mathématiques ?  B)
  • Je doute fortement que les platoniciens soient d'accord  o:)
    504, c'est trop !
  • Modifié (24 Jun)
    Merci @Médiat_Suprème
    Je conçois la notion de "problème" comme étant une génération de la notion d'équations.
    Par exemple pour un langage L du premier ordre donné, j'appellerais problème du premier ordre relatif à L tout couple (F,x) où F est une formule de L et x est une application injective d'un entier vers l'ensemble des variables de L telle que l'ensemble des variables libres de F est inclus dans l'image de x.
    Cela revient plus ou moins à ramener la notion de problème à celle de prédicat.

    Je me demande si cette vision des problèmes est exhaustive.

  • Il me semble désespéré de donner une définition formelle, voire outrageusement formaliste, pour des mots aussi polysémiques que « problème » ou « équation », qui ne relèvent pas du discours mathématique mais métamathématique.
  • Modifié (24 Jun)
    Pour équation c'est possible (et a déclenché une mini polémique récemment B) ).
    Pour "problème" je rejoindrais plutôt l'avis de @Math Coss mais s'il fallait à tout prix définir ce qu'est un "problème mathématique" on pourrait dire qu'il s'agit d'un programme informatique prenant un argument.
    "Résoudre" le problème $P$ revient alors à fournir une chaîne de caractères $s$ tel que $P(s)$ termine et renvoie $1$ (les fans de C diraient plutôt $0$).
    Par exemple soit le problème "démontrer la conjecture de Syracuse". Alors une chaîne de caractères convenant au programme correspondant est un texte standardisé appelé "preuve" (Il faut rappeler que l'ensemble des preuves mathématiques est récursif. C'est l'ensemble des théorèmes qui est seulement récursivement énumérable et indécidable. Il ne faut pas confondre).
  • Exercice : court et facile

    Problème : long et dur

    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Simone de Beauvoir racontait dans ses Mémoires qu'un sujet bidon proposé aux nouvelles élèves était, pour rire : « différence entre la notion de concept et le concept de notion ». Cette question me semble du même ordre. Un conseil : faites plutôt des mathématiques.
  • Comme @positif, quand je vois qu'on envisage de définir le mot problème, je pense à : quelle est la différence entre problème et exercice.
    Je suis surpris que ce mot exercice apparaisse une seule fois dans cette discussion (discussion sans vrai intérêt, reconnaissons-le).
  • Modifié (24 Jun)
    Merci @Math Coss, @Foys, @Positif, @Chaurien et @lourrran,

    @Foys et @Médiat_Suprème
    Soient L un langage du premier ordre et M une L-structure, on peut voir l'ensemble des parties définissables par rapport à (L,M) comme une structure sur le langage fonctionnel ayant pour symboles l'union, le passage au complémentaire, les projections et les "rotations" et ayant pour symboles de constante les interprétations des symboles de L dans M. J'appelle ce nouveau langage J, je vois la résolution d'une équation (ou d'un problème selon la définition que j'ai donné) comme la donné d'un terme de J dont l'interprétation est l'ensemble des solutions. (Sinon je ne vois pas ce qui empêche un étudiant de répondre : "l'ensemble des solutions de (x=5x+2,(x,y)) est $\{ (a,b)\in \mathbb R ^2;a=5a+2\}$", en effet, l'étudiant aurait donné l'ensemble des solutions )

    Mon intérêt dans cette discussion que j'ai proposé est que les (F,x) sont très semblables à des équations mais leur utilité est sans limite:
    1) la collection des espaces vectoriels est la collection des solutions d'un (F,x) particulier où dom(x)=1
    2) la collection des ordinaux pareil que "1)"
    3) la collection des catégories est la collection des solutions d'un (F,x) particulier où F est une formule du second ordre.

    Il semble que les objets mathématiques qui nous intéressent sont souvent introduits en tant que solutions d'un (F,x). La "définition" philosophique que j'ai de la notion de problème semble coïncider avec les (F,x), c'est pour cela que je voulais avoir les avais de tout le monde sur la notion de problème et aussi pour savoir si selon vous la définition que je donne est exhaustive.
  • Modifié (24 Jun)
    NB: dans la discussion jumelle en question on demandait ce qu'était une (définition possible d'une) équation. Mais on ne demandait pas ce que voulait dire "résoudre" !
  • Modifié (24 Jun)
    @Foys. En effet. 
  • Chaurien a dit :
    Simone de Beauvoir racontait dans ses Mémoires qu'un sujet bidon proposé aux nouvelles élèves était, pour rire : « différence entre la notion de concept et le concept de notion ». Cette question me semble du même ordre. Un conseil : faites plutôt des mathématiques.
    Si j’ai bien compris, un concept, c’est comme un prédicat (une fonction propositionnelle), une notion, c’est comme un objet.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (24 Jun)
    (Une bonne partie de)/toute l'activité mathématique se divise en deux parties:
    1) problem solving
    2) theory building
    Si on arrive à définir les notions de "problèmes" et "résoudre un problème" alors on aura "trivialisé" une bonne partie de l'activité mathématiques.
  • Penses-tu que si on arrive à définir « partir vite et courir vite » on trivialise une bonne partie de l'activité de sprint ?
  • @Math Coss
    Tu marques un point. Trivialiser est un mot trop fort.
  • SocSoc
    Modifié (24 Jun)
    C'est un truc de la forme $A \Rightarrow B$ où on se fiche de la "véracité" de $A$ et de celle de $B$, on ne se préoccupe que de celle de $\Rightarrow$
    Je vais encore me faire taper dessus, mais si c'est gentiment et que cela m'apporte quelque chose pourquoi pas.
    Quand je donne des exercices/problèmes aux élèves je préfère leur parler de données (on sait) plutôt que d'hypothèses (on suppose) en leur disant que dans le cadre de cet exercice ces informations sont vraies. On peut donc s'en servir pour vérifier les conditions des théorèmes et s'en servir. Du coup on est plutôt dans le cadre "A vrai et A=>B donc B" que simplement "A=>B". C'est grave docteur ?

    Au final cela ne change rien à la structure de la démonstration (ou pas ?) mais les élèves arrivent beaucoup mieux à appréhender. Bon c'est aussi la cause de notre incompréhension mutuelle avec Dom puisque lui ne sort du pas cadre A=>B.
  • Modifié (24 Jun)
    Oui, tu fais comme toute personne qui prépare un énoncé de façon intelligible pour des élèves ou étudiants.
    Il n'empêche que tu fais tout de même démontrer des implications.
  • Bonjour,
    En utilisant les mots magiques "modus ponens" avec un peu de chance les logiciens vont te considérer comme guéri

  • @Soc : je ne me plaçais pas dans un cadre pédagogique (où j'ai tendance à penser que tous les coups sont permis, si l'on fait progresser (*) les élèves). C'est aussi une formulation alternative (et moins percutante) de la définition de Bertrand Russell : Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait pas de quoi l’on parle ni si ce que l’on dit est vrai.


     (*) Ce mot peut avoir plusieurs sens (plus ou moins pragmatique)
    504, c'est trop !
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