Prolongement analytique de la transformée de Fourier
Bonjour
Il est bien connu qu'on peut prolonger la transformée de Fourier de $\R$ sur $\C$ càd si $F(f)(\xi)=\int_{\R} e^{-i x\xi}f(x)dx, \xi \in\R$ alors sous certains conditions on peut l'étendre sur $\C$ avec $\xi=a+ib$)
Ma question peut-on faire ceci de $\R^n$ sur $\C^n$.
Il est bien connu qu'on peut prolonger la transformée de Fourier de $\R$ sur $\C$ càd si $F(f)(\xi)=\int_{\R} e^{-i x\xi}f(x)dx, \xi \in\R$ alors sous certains conditions on peut l'étendre sur $\C$ avec $\xi=a+ib$)
Ma question peut-on faire ceci de $\R^n$ sur $\C^n$.
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Réponses
Si $f$ est à support compact, alors la formule qui définit $F(f) (\xi) $ fait aussi sens quand $\xi\in\Bbb C^n$. Donc c'est un moyen d'étendre $F(f) $ dans ce cas là.
oui c'est le théorème de Paley-Wiener. Pour le cas général j'ai cherché sur google mais en vain.
Autre question. Parfois on utilise la méthode de résidu dans $\C$. Peut-on l'utiliser dans $C^n$ ?
Considère par exemple la fonction $$f : \C^2 \to \C, (z,w) \mapsto \frac{1}{z-w}.$$ La "singularité" est en fait l'ensemble $\{(z,z) : z\in \C\}$ qui n'est pas isolé.