Une jolie relation : $\cos( a ) \cos ( b ) = \frac12$
Bonjour.
Voici une jolie relation : Cos ( a ) . Cos ( b ) = 1/2.
On remarque bien si les angles a et b ne sont pas constructibles à la règle et au compas,
alors (d’après la relation) le produit cos (a) cos(b) = 1/2 est constructible à la règle et au compas.
Que pensez-vous.
Bien cordialement.
Djelloul Sebaa
Voici une jolie relation : Cos ( a ) . Cos ( b ) = 1/2.
On remarque bien si les angles a et b ne sont pas constructibles à la règle et au compas,
alors (d’après la relation) le produit cos (a) cos(b) = 1/2 est constructible à la règle et au compas.
Que pensez-vous.
Bien cordialement.
Djelloul Sebaa
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Réponses
Ta grosse expression est effectivement nulle d'après Matlab (commande simplify)!,
Cordialement,
Rescassol
Qui peut illustrer cette relation Cos ( a ) .Cos ( b ) = 1/2. en Geogebra.
Bien Cordialement.
Djelloul Sebaa
Amicalement
pappus
\begin{pmatrix}
k&0&0\\
0&1+k&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
$$
\begin{pmatrix}
-(1+k)&0&0\\
0&-k&0\\
0&0&k(1+k)
\end{pmatrix}
$$
Donc l'enveloppe est une conique ponctuelle de matrice $\mathrm{Diag}(-(k+1),-k,k(k+1))$ (la matrice complémentaire de la précédente).
Si tu tiens vraiment à aller à la ligne pour y voir plus clair dans ton code, il faut taper MAJ+Entrée.
Même procédure pour tes écrits non mathématiques quand tu veux aller à la ligne mais pas en sauter une.
k&0&0\\
0&1+k&0\\0&0&-1
\end{pmatrix}$$
Si $D$ a pour équation $ux+vy+w=0$, alors les coordonnées de son point de contact avec l'enveloppe sont $(-ku/w,-(k+1)v/w)$.
Comme $k$ est donné, il est facile de construire l'abscisse de ce point.
Tu n’as pas expliqué comment tu as obtenu ces coordonnées et de plus tu n’as donné aucune construction te contentant de dire qu’elle est facile!
Facile la construction?
Amicalement
pappus
PS
Ce n’est pas $k$ qui est donné mais les points de ma figure c’est-à-dire le divin cercle trigonométrique et sa sécante $M’M’’$.
La polaire de $M$ par rapport à l'enveloppe a pour équation $(k+1)\alpha x+k\beta y-k(k+1)=0$.
D'où $\beta=-(k+1)v/w$ et $\alpha=-ku/w$.
$N=D\cap Ox$ a pour abscisse $-w/u$.
L'image $N'$ de $N$ par l'inversion de cercle le cercle-unité a pour abscisse $-u/w$.
D'ailleurs, en notant $I(1,0)$ et $I'(-1,0)$, on a $(I,I',N,N')=-1$.
Donc l'homothétie de centre $O$ qui envoie $(0,1)$ sur $(0,k)$ envoie $N'$ sur $(\alpha,0)$.
En effet, l'inversion algébrique de pôle $O$ qui échange $x'$ et $x''$ envoie $1$ sur $k$.
\begin{pmatrix}
k&0&0\\
0&1+k&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
$$
Encore heureux !
Amicalement
pappus
Soit $\mathcal C$ une conique propre de matrice $Q$ et $Q^*$ la matrice complémentaire de $Q$.
Soit $D:ux+vy+wz=0$ une tangente à $\mathcal C$.
Soit alors $M=\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*$.
On a $M\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=0$ donc $M\in D$.
De plus, $MQ\;^tM=\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*QQ^*\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=\det Q\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=0$ donc $M\in\mathcal C$.
Donc $M$ est bien le point de contact de $D$ avec $\mathcal C$.
Et apparemment, la réflexion d'axe $D$ fait le job...
Amicalement
pappus
Amicalement
pappus