Un petit problème...
Bonjour
Je fais face au problème suivant et je ne parviens pas à me décider s'il faut mettre une implication ou une équivalence.
Soit $i\in\mathbb{N}$ et $A=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ un ensemble contenant $n$ valeurs.
On choisit un $x_i$ de $A$.
$\underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}$. Les membres de gauche et de droite sont vrais, donc par la table de vérité de l'implication de deux propositions vraies, l'implication est vraie. Mais on a aussi $\underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}$ pour la même raison.
A-t-on finalement implication ou équivalence sachant qu'il me semble qu'il y a bien implication car on ne peut pas désommer ?
Merci.
Je fais face au problème suivant et je ne parviens pas à me décider s'il faut mettre une implication ou une équivalence.
Soit $i\in\mathbb{N}$ et $A=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ un ensemble contenant $n$ valeurs.
On choisit un $x_i$ de $A$.
$\underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}$. Les membres de gauche et de droite sont vrais, donc par la table de vérité de l'implication de deux propositions vraies, l'implication est vraie. Mais on a aussi $\underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}$ pour la même raison.
A-t-on finalement implication ou équivalence sachant qu'il me semble qu'il y a bien implication car on ne peut pas désommer ?
Merci.
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Réponses
On fixe $i$ au départ. En revanche $n$ ne nous a pas été présenté.
Puis on écrit "on choisit $x_i$" : ce n'est pas le cas parce que le choix a déjà été fait.
Enfin, sous réserve que $i\le n$...
Plus loin, $i$ est utilisé comme une variable muette, ce n'est pas possible car elle a déjà été fixée.
À ces détails près, on a là une tautologie peu palpitante.
D'une part, êtes-vous d'accord avec moi qu'il est utile de se référer aux tables de vérité afin de résoudre ce genre de problèmes ?
D'autre part, ça ne fonctionnerait pas avec $\forall k\in [\![1,n]\!], (a_k =b_k) \iff (\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n b_k)}$, d'après ce que j'ai vu sur un pdf, il y aurait équivalence, mais pourquoi dans ce cas là ? Le membre de gauche est vrai, celui de gauche est vrai donc il y a bien implication, mais en partant du membre de droite, on peut rendre la différence égale à $0$ et factoriser par le signe somme de sorte à obtenir $\sum_{k=1}^n (a_k-b_k)=0$. Or, et c'est là où je ne sais pas si on a le droit de dire que $a_k=b_k$ si on veut y aboutir, je pense que non, et donc avoir une somme de $0$ d'où $0=0$. Ah oui mais après on est aussi coincé pour obtenir $a_k=b_k$
Si vous voulez, j'ai encore d'autres problèmes de logique si vous en êtes friand
Une équivalence : \[\forall k\in\{1,\dots,n\},\ a_k=b_k\iff \forall k\in\{1,\dots,n\},\ \sum_{j=1}^k a_j=\sum_{j=1}^kb_j.\]