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Un petit problème...

Modifié (24 Jun) dans Fondements et Logique
Bonjour
Je fais face au problème suivant et je ne parviens pas à me décider s'il faut mettre une implication ou une équivalence.

Soit $i\in\mathbb{N}$ et $A=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ un ensemble contenant $n$ valeurs.
 On choisit un $x_i$ de $A$.
$\underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}$. Les membres de gauche et de droite sont vrais, donc par la table de vérité de l'implication de deux propositions vraies, l'implication est vraie. Mais on a aussi $\underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}$ pour la même raison.

A-t-on finalement implication ou équivalence sachant qu'il me semble qu'il y a bien implication car on ne peut pas désommer ? 
Merci.

Réponses

  • Modifié (24 Jun)
    Étant donné que les deux affirmations sont vraies, elles sont bel et bien équivalentes.
    Mais tu ne pourras en tirer aucun théorème, puisque les deux phrases sont tautologiques.
    C'est exactement la même chose que si tu disais : "Si $0=0$ alors $1=1$, et réciproquement".
    C'est digne de Dupond et Dupont.
  • Modifié (23 Jun)
    L'usage des variables appelle quelques commentaires.
    On fixe $i$ au départ. En revanche $n$ ne nous a pas été présenté. 
    Puis on écrit "on choisit $x_i$" : ce n'est pas le cas parce que le choix a déjà été fait.
    Enfin, sous réserve que $i\le n$...
    Plus loin, $i$ est utilisé comme une variable muette, ce n'est pas possible car elle a déjà été fixée. 
    À ces détails près, on a là une tautologie peu palpitante. 
  • Modifié (23 Jun)
    Merci ! 

    D'une part, êtes-vous d'accord avec moi qu'il est utile de se référer aux tables de vérité afin de résoudre ce genre de problèmes ?

    D'autre part, ça ne fonctionnerait pas avec $\forall k\in [\![1,n]\!], (a_k =b_k) \iff (\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n b_k)}$, d'après ce que j'ai vu sur un pdf, il y aurait équivalence, mais pourquoi dans ce cas là ? Le membre de gauche est vrai, celui de gauche est vrai donc il y a bien implication, mais en partant du membre de droite, on peut rendre la différence égale à $0$ et factoriser par le signe somme de sorte à obtenir $\sum_{k=1}^n (a_k-b_k)=0$. Or, et c'est là où je ne sais pas si on a le droit de dire que $a_k=b_k$ si on veut y aboutir, je pense que non, et donc avoir une somme de $0$ d'où $0=0$. Ah oui mais après on est aussi coincé pour obtenir $a_k=b_k$ :) Donc finalement il semblerait bien dans ce cas là qu'il y ait implication car on a deux termes non identiques $a_k$ et $b_k$ au cours du raisonnement. 

    Si vous voulez, j'ai encore d'autres problèmes de logique si vous en êtes friand :))  
  • Dans la mesure où on a 1 + 2 = 2 + 1, mais pas 1=2 ni 2= 1 ...
    504, c'est trop !
  • Modifié (24 Jun)
    Bonjour.
    Ton équivalence
    $\forall k\in [\![1,n]\!], (a_k =b_k) \iff (\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n b_k)}$
    que je réécris plus clairement
    $\left(\forall k\in [\![1,n]\!], (a_k =b_k)\right) \iff (\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n b_k)}$
    est fausse. L'implication
    $\left(\forall k\in [\![1,n]\!], (a_k =b_k)\right) \Rightarrow (\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n b_k)}$
    est assez évidente, la réciproque n'est pas correcte : 2 + 5 = 3 + 4 sans qu'on ait égalité entre 2 et 3.
    "d'après ce que j'ai vu sur un pdf, il y aurait équivalence" Jette ce pdf !
    "Si vous voulez, j'ai encore d'autres problèmes de logique si vous en êtes friand" Après ce que tu viens d'écrire, je suis très dubitatif.
    Cordialement.
  • Modifié (23 Jun)
    "est assez évidente" --> euh, pour un logicien, ce serait une horreur d'entendre cela, car justement en logique, tout doit être démontré sans ambiguité à la virgule près. 
  • Bah...
    Une équivalence : \[\forall k\in\{1,\dots,n\},\ a_k=b_k\iff \forall k\in\{1,\dots,n\},\ \sum_{j=1}^k a_j=\sum_{j=1}^kb_j.\]
  • Modifié (24 Jun)
    Lolo36
    Quand on ne comprend pas complétement ce qu'on a écrit, on ne donne pas de leçons aux autres. D'ailleurs, la démonstration de l'implication est du domaine des mathématiques courantes, et ne relève pas de la logique.
    Les logiciens démontrent tout ... en logique. Et savent très bien ce que sont des évidences.
  • Modifié (23 Jun)
    Il n'y a pas une règle de la logique classique, en calcul des séquents, qui formalise en gros que s'il existe $x$ tel qu'une formule $A$ est démontrée, et que $y=x$ alors $E$ est démontrée aussi en remplaçant $x$ par $y$ dans $E$ ?
  • Modifié (24 Jun)
    Lolo36 a dit : (dans le message initial)
    Soit $i\in\mathbb{N}$ et $A=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ un ensemble contenant $n$ valeurs.
     On choisit un $x_i$ de $A$.
    $\underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}$. Les membres de gauche et de droite sont vrais, donc par la table de vérité de l'implication de deux propositions vraies, l'implication est vraie. Mais on a aussi $\underbrace{(\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i)}}_{vrai}\Longrightarrow \underbrace{(x_i=x_i)}_{vrai}$
    D'abord une remarque. Il y a ici un phénomène de liaison de variables dont il est bon d'avoir conscience. En fait $i$ n'apparaît pas dans $\sum_{i=1}^n x_i =\sum_{i=1}^n x_i$. Cette dernière formule est la même que $\sum_{k=1}^n x_k = \sum_{k=1}^n x_k$. Seule la première partie de l'énoncé parle de $i$.
    Pour ce qui est de la validité de ce genre d'implication : les théories (à égalité) usuelles ont toutes un théorème (ou un axiome selon les présentations) qui affirme que $A=A$ pour tout objet $A$. Donc, quels que soient $B$ et $C$, $B=B \Rightarrow C = C$ et $B=B \Leftrightarrow C =C$ sont tous les deux des théorèmes simplement parce que $B=B$ et $C=C$ en sont.
  • Quoi ? Comment sait-on si le $i$ souligné en rouge dans $\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nx_{\color{red}i}$ est ou n'est pas celui qui est donné dans le contexte ? Qui nous dit que cette formule n'est pas la même que $\sum_{k=1}^nx_k=\sum_{k=1}^nx_{\color{red}i}$, i.e. $\sum_{k=1}^nx_k=nx_i$ ?
  • @Math Coss $i$ est lié par $\Sigma_{i=...}$ dans les deux cas.
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