Suite logistique et ensemble de Mandelbrot — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Suite logistique et ensemble de Mandelbrot

Modifié (23 Jun) dans Analyse
Bonjour,  

Je travaille en ce moment sur la suite logistique définie par : 

$$\forall n  \geq 0 : u_{n+1} = a \times u_n \times (1-u_n),$$

avec $a \in [0;4]$ et $u_0 \in [0;1]$. 

J'ai entrepris ensuite de travailler dans $\mathbb C$ donc en prenant $a \in \mathbb C$ et $z_0 \in \mathbb{C}$. 

J'ai désormais $\forall n \geq 0 : z_{n+1} = f(z_n,a)  = az_n(1-z_n).$

J'ai représenté informatiquement l'ensemble $E = \{ a \in \mathbb C : \lim\limits_{n\mapsto +\infty} \left | f(z_n,a)\right | \neq +\infty \}$ (j'ai fixé arbitrairement $z_0 = 0.5)$.

J'ai obtenu : 

En "zoomant" sur le "point" qu'on voit tout à droite de l'ensemble précédemment obtenu, je retrouve l'ensemble de Mandelbrot. 


Je voulais comprendre pourquoi. Plus précisément, je pense qu'il existe un changement de variable (sur des intervalles pour les paramètres à préciser) pour passer de l'équation de la suite logistique à l'équation "classique" $$\forall n \geq 0 : z_{n+1} = z_n^2 + c$$ avec $c \in \mathbb C$ et $z_0 = 0$. 

Ce changement de variables est mentionné brièvement sur la page Wikipédia sur l'ensemble de Mandelbrot, en exhibant $c = \dfrac{a}{2}\left ( 1 - \dfrac{a}{2} \right )$ mais je n'arrive pas à retrouver ce que je souhaite. 

Merci de votre aide, c'est pour préparer une vidéo sur la suite logistique, le chaos et les fractales. D'ailleurs si vous avez une bonne biblio dessus je suis intéressé. 

Réponses

  • Tout polynôme de degré $2$ est conjugué à une fonction de la forme $z^2+c$ par une fonction affine:

    si $P$ est de degré $2$ il a un unique point critique $\alpha$. Si $u$ est la translation envoyant $0$ sur $\alpha$ ($u(z)=z+\alpha$), alors $Q=u^{-1}Pu$ a pour unique point critique $0$, donc $Q$ est de la forme $Q(z)=Az^2+B$. En posant ensuite une bonne dilatation $v(z)=z/A$, $R=v^{-1}Qv$ est de la forme $v(z)=z^2+c$.

    Après faut expliciter un peut les calculs pour voir la valeur de $c$ et de la conjugasion en fonction des coefficients initiaux

  • Merci Namiswan !

    Effectivement j'ai déjà lu qu'un tel résultat existait mais je n'ai jamais vu de preuve ou d'exemple où on l'appliquait. 

    Merci je vais creuser par là.
  • Modifié (23 Jun)
    Bonjour,
    Tu peux mettre le polynôme $X(1-X)$ sous la forme canonique $-(X-\alpha)^2+\beta$, puis chercher la suite auxiliaire $u_n$ (qui vérifiera $u_{n+1}=u_n^2+c$) sous la forme $u_n = \gamma\big(z_n-\alpha\big)$.

    Edit : Je n'avais pas vu le message de Namiswan. C'est une reformulation de ce qu'il a dit.
  • Modifié (24 Jun)
    Bonjour
    Explicitement, avec $c=-\dfrac{a^2}4+\dfrac{a}2$ et $z= -a\left(w-\dfrac12\right)$, $z'=z^2+c$ devient $w'=aw(1-w)$.
  • Modifié (23 Jun)
    Merci, je viens de faire les calculs comme conseillés par Calli (j'avais la forme canonique mais j'avais abandonné en cours de route). Finalement avec tes notations je trouve $\gamma = -a$ et $c = \dfrac{a-2}{4} \times \gamma$ ce qui donne $c = -\dfrac{a^2}{4} +\dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{2}\left( 1 - \dfrac{a}{2}\right)$ comme indiqué sur Wiki. 

    Super, merci beaucoup !
  • Merci GaBuZoMeu, je viens de lire ton message. Ca me rassure sur mon calcul. Top !
  • Il faut donc bien que je prenne $z_0 = \dfrac{1}{2}$ dans la suite logistique pour ensuite avoir $Z_0 = 0$ après le changement de variable et obtenir l'ensemble de Mandelbrot. J'avais fait ce choix guidé par mes lectures mais sans le comprendre, maintenant c'est plus clair. 

    En prenant un autre $z_0$ au départ, je n'aurais pas obtenu l'ensemble de Mandelbrot présent sur ma figure ? 
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!