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Continuité d'une fonction

Modifié (24 Jun) dans Analyse
Bonjour.
Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction, $y \geq 1.$ Pout tout $k \in \mathbb{N},$ soit $\epsilon_k:=2^{-k}$ et $\delta_k:=3 \times 2^{-k}.$ On suppose que $$\forall k \in \mathbb{N},\forall q \in \{0,...,3 \times 2^ky-1\},\forall x \in [0,\delta_k],|f(x+q\delta_k)-f(q\delta_k)| \leq  \epsilon_k.$$
Prouver que $f$ est continue sur $[0,y].$
Fixons $\epsilon>0$ et $x \in [0,y].$ On déduit qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ telle que $\epsilon_k \leq \epsilon.$ Alors comment vérifier la continuité de $f$ en $x$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Modifié (24 Jun)
    Commençons par le cas où $x$ n'est pas de la forme $q' \delta_n$ pour un $n \in \mathbb N$ et $q' \in \{0, \dots, 3\times 2^n y - 1\}$. On fixe $\varepsilon$ et $k$ comme dans ton message. Alors il existe un unique $q \in \{0, \dots, 3\times 2^k y - 1\}$ tel que $x \in ]q \delta_k, (q+1) \delta_k[$. Alors pour tout $x' \in [q \delta_k, (q+1) \delta_k]$, on a $$|f(x) - f(x')| \leq |f(x) - f(q \delta_k)| + |f(x') - f(q \delta_k)| \leq \varepsilon_k$$ puisque $x$ et $x'$ sont bien de la forme $a + q \delta_k$, avec $a \in [0, \delta_k]$. Ainsi, en notant $\tilde \delta$ la distance entre $x$ et $\{q \delta_k, (q+1) \delta_k\}$ on a bien établi que si $|x-x'| \leq \tilde \delta$ alors $|f(x) - f(x')| \leq \varepsilon$.
    Je te laisse chercher dans le cas où $x$ est de la forme $q' \delta_n$.
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