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Loi uniforme et variables aléatoires

Bonsoir,
J'aimerais savoir la difficulté de cet exercice, s'il est dur je passe à autre chose pour ne pas encore faire un sujet à rallonge.


Réponses

  • Il faut prévoir entre 200 et 250 messages. Voire le double, si on prend en compte le fait que sur les sujets 'probabilité', tu as déjà dit que tu partais de très bas.
  • Trop dur, passe ton tour.
  • Modifié (22 Jun)
    Oui la partie probabilité est très mal expliquée dans mon bouquin, trop théorique et pas très clair. Mais bon même avec un bon bouquin cet exercice ne semble pas du tout être proche du cours.

    D'accord merci, je laisse tomber alors. De toute façon j'aurais juste écrit que $\forall i \in [|1,n|] \ X_i(\Omega) =[|1,n|]$ et $P(X_i = i)=1/n$ et après blocage total.
     Par curiosité, tu sais résoudre l'exercice toi @lourrran
  • Remplace $n$ par 6 et $k$ par 3. Ça devrait t’aider.
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • La première question, la présentation est 'compliquée' parce qu'on parle à des étudiants du supérieur.
    Mais dès qu'on a allégé les notations, dès qu'on reformule ça avec des mots simples, tu trouveras les réponses à cette questions dans un cours de lycée. Donc un cours que tu refuses absolument de travailler. 
    Donc tu ne peux pas trouver les réponses.
    Dans un cours du supérieur, ces sujets ne sont pas détaillés, parce que les étudiants sont sensés avoir appris le cours du lycée.
  • Très facile et en même temps trop dur pour toi
  • Bonjour
    Pour la première question, on peut modéliser cela par $n$ épreuves de Pile-Face(une indication)
  • P.2P.2
    Modifié (24 Jun)
    Allez OS ne fais pas le sot. Ton 'bas niveau' comprend quand même la loi binomiale, qui compte le nombre de succès en n expériences identiques et indépendantes dont le résultat est succès ou échec. Décide d'appeler succès le tirage de $i$ et échec le tirage de quelque chose d'autre que $i$ et cela te mènera à la loi de $Y_i.$
  • Modifié (24 Jun)
    Ce qui est bien avec cet exercice, c'est que toutes les notions abordées sont au programme de spé maths actuel en Terminale (et en partie en 1ère). Bien évidemment, il y aurait quelques questions supplémentaires pour aider à la résolution de cet exercice par le péquin moyen de Terminale.
    Mais, en théorie, @Oshine pourrait être amené à l'enseigner...
    Heureusement, nous sommes en France... et pas en Théorie ;)
  • C'est extrait d'un oral de Mines Ponts, et moi je trouve les exercices des oraux de Mines Ponts difficiles voir infaisables parfois.

    Pour une fois j'essaie de traiter la question $1$ avec les indications qui m'ont été données. Ma solution est-elle correcte ? 

    1) On remarque que $Y_i( \Omega)= \{ 1, \cdots, n \}$

    La variable aléatoire $Y_i$ suit une loi binomiale. En effet, pour $j=1$, on cherche si $X_1$ vaut $i$ ou pas. On appelle succès le fait d'avoir $X_1=i$ et échec le fait d'avoir $X_1 \ne i$. La probabilité d'obtenir $i$ vaut $p=1/n$. 
    On fait de même pour $X_2, \cdots , X_n$. Il y a $n$ épreuves. 

    Soit $k \in [|1,n|]$. On a alors $\boxed{\forall i \in [|1,n|] \ P( Y_i = k) = \binom{n}{k} \dfrac{1}{n^k} \left( 1-\dfrac{1}{n} \right)^{n-k}}$
  • P.2P.2
    Modifié (24 Jun)
    OK. Attention $k=0$ est aussi autorisé.
  • Modifié (24 Jun)
    D'accord merci, en effet j'ai oublié le cas $k=0$.
    2) On doit justifie que $P(Y_i =k) \ne 0$, ce qui est vrai d'après la question $1$. 
    On sait que $\boxed{P( Y_j = \ell \ | \ Y_i =k ) = \dfrac{ P (   \{ Y_j = \ell  \} \cap \{ Y_i = k \} ) }{ P(Y_i =k) } }$. Il reste à calculer $P (   \{ Y_j = \ell  \} \cap \{ Y_i = k \} )$. 
    On s'intéresse à l'évènement $\{ Y_j = \ell  \} \cap \{ Y_i = k \}$. Je n'ai pas utilisé le fait que les $X_i$ étaient mutuellement indépendantes. Je bloque un peu ici. Je ne vois pas comment utiliser la mutuelle indépendance.
  • Modifié (24 Jun)
    D'accord merci, en effet j'ai oublié le cas $k=0$.
    2) On doit justifie que $P(Y_i =k) \ne 0$, ce qui est vrai d'après la question $1$. 
    On sait que $\boxed{P( Y_j = \ell \ | \ Y_i =k ) = \dfrac{ P (   \{ Y_j = \ell  \} \cap \{ Y_i = k \} ) }{ P(Y_i =k) } }$. Il reste à calculer $P (   \{ Y_j = \ell  \} \cap \{ Y_i = k \} )$. 
    On s'intéresse à l'évènement $\{ Y_j = \ell  \} \cap \{ Y_i = k \}$. Je n'ai pas utilisé le fait que les $X_i$ étaient mutuellement indépendantes. 
    Je bloque un peu ici. Je ne vois pas comment utiliser la mutuelle indépendance.
  • En fait, tu as déjà utilisé la mutuelle indépendance pour répondre à la question 1.
    Il suffit de comprendre à quel endroit et de faire de même pour la question 2.
  • Modifié (23 Jun)
    Le problème, c'est que quand on t'a dit "loi binomiale", on t'a en gros donné la réponse toute cuite quoi. C'est à toi de revoir ton cours, de connaitre les lois de référence et leurs définitions pour savoir quand elles interviennent dans les exos. Sinon, je peux te trouver 50 exos qui demandent une loi de Poisson mais si le titre de l'exo ne mentionne pas cette loi, tu n'y penseras jamais ou tu ne verras jamais le lien (idem pour géométrique, normale,...).

    Ici, tu devais comprendre TOUT SEUL qu'il y avait une loi binomiale. Et maintenant, tu dois comprendre tout seul, en écrivant en FRANCAIS avec des MOTS la proba $\mathbb{P}(\{Y_j=l \}\cap \{Y_i=k\})$. Réponse à cette consigne ci-dessous et je suis encore trop généreux je pense.

    On te demande de choisir $l$ variables X parmi $n$ valant $j$ puis $k$ parmi les restants valant $i$ (vérifier que cela revient au même d'en choisir d'abord $k$ puis $l$ parmi les restants)

  • Modifié (23 Jun)
    @bisam la mutuelle indépendance implique l'indépendance deux à deux. La loi binomiale ne nécessite que l'indépendance deux à deux. Dans la question $1$ j'ai utilisé l'indépendance deux à deux. 

    @Alexique
    Je n'ai pas compris ton indication. Je ne comprends pas pourquoi tu parles de l'ordre du choix. 

     Je bloque toujours sur $P ( \{ Y_j = l \} \cap \{ Y_i = k \})$. 
    Je savais traduire l'évènement mais je ne sais pas calculer la probabilité ni comment utiliser l'indépendance mutuelle des $X_i$.
  • P.2P.2
    Modifié (24 Jun)
    Cher OS. Voyons : imagine $n$ petites boîtes et on y a jeté $n$ jetons uniformément. Dans la boîte numéro i, il y a k jetons. Ben c'est dire que dans les $n-1$ boîtes qui restent, il y a $n-k$  jetons. La probabilité conditionnelle pour que $Y_j=\ell$ est aussi gouvernée par un autre schéma succès échec.
  • Modifié (24 Jun)
    @P.2 d'accord merci mais j'ai un petit doute. Dans la loi binomiale, on a besoin de l'indépendance mutuelle ? Le cours dit juste "variables aléatoires indépendantes". On ne sait pas si c'est deux à deux ou mutuellement... 
    On cherche $P(Y_i = \ell  \ | \ Y_i = k )$. On doit avoir $\ell$ fois  $X_j =i$ pour les $n-k$ valeurs restantes de $j \in [|1,n|]$ qui n'ont pas été prises. C'est une loi binomiale. 
    Donc $\boxed{P(Y_i = \ell  \ | \ Y_i = k ) = \displaystyle\binom{n-k}{\ell} \dfrac{1}{n^{\ell}} \left(1-\dfrac{1}{n} \right) ^{n-k-\ell} }$
  • C'est la première fois que je vois quelqu'un faire la différence entre mutuelle et 2 à 2. Pour les 15 prochaines années, tu peux considérer que ces 2 termes sont strictement identiques.

  • Modifié (24 Jun)
    Ce n'est pas du tout la même chose... Ma question est : dans l'exercice où utilise t-on l'indépendance mutuelle ? J'ai l'impression qu'on utilise que l'indépendance deux à deux. C'est une question sérieuse.

  • Des événements 2 à 2 indépendants tu peux oublier cette notion elle n'a pas vraiment d'intérêt en pratique. C'est la notion de mutuellement indépendants qui est utilisée en probabilité.
  • Modifié (23 Jun)
    On voit en général la différence en L1 dans l'UE statistiques descriptives et probabilités mais ce n'est pas le problème ici comme le dit noobey puisque l'exercice parle d'indépendance entre variables aléatoires.
    @lourrran $\Omega=\{1,2,3,4\}$ muni de la tribu $ \mathcal{P}(\Omega ) $ et de la probabilité uniforme
    On s'intéresse aux événements $A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$ et $C=\{1,3\}$ donc $P(A)=P(B)=P(C)=1/2$
    $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants car $P(A\cap B ) =P(B\cap C ) =P(A\cap C ) =1/4=P(A)P(B)=P(B)P(C)=P(A)P(C)$
    Mais $A$, $B$ et $C$ ne sont pas mutuellement indépendants car $P(A \cap B \cap C)=0 \neq P(A)P(B)P(C)$
  • Quand on parle de variables aléatoires indépendantes à valeurs discrètes, pense à plusieurs dés qu'on lance en même temps. Ou un seul dé qu'on lance plusieurs fois, c'est pareil.
    Le dé n'a pas de mémoire, chaque lancer est indépendant des autres. Et le dé se moque de savoir la différence entre 'mutuellement indépendantes' ou 'indépendantes 2 à 2'.
    99.999% des exercices sont de ce type.
    Sur les exercices où on spécifie clairement 'indépendantes 2 à 2' et où on veut t'emmener sur ce thème, alors ok. Mais c'est très particulier.

    Dans la loi binomiale, on parle de variable aléatoires indépendantes. Et conformément à ce que je disais à l'instant, comme on ne précise pas '2 à 2', il faut interpréter 'mutuellement indépendantes'.
    Toujours l'histoire du dé qui n'a pas de mémoire.
  • OShine a dit :
    Ma question est : dans l'exercice où utilise t-on l'indépendance mutuelle ? J'ai l'impression qu'on utilise que l'indépendance deux à deux. C'est une question sérieuse.
    Tu utilises l'indépendance mutuelle pour pouvoir dire que $P(X_1=i, X_2\neq i,...,X_n\neq i)$ est égale à $P(X_1=i)\cdot P(X_2\neq i)\cdot ... \cdot P(X_n\neq i)$. Et donc pour aboutir ensuite à l'expression de la loi binomiale.
  • Quand on ne mentionne pas si l'indépendence est "mutuelle" ou "2 à 2" ca veut dire qu'elle est mutuelle
  • D'accord merci.
  • P.2P.2
    Modifié (24 Jun)
    Dans tout ça, la loi binomiale de $Y_j$ sachant que $Y_i=k$ que tu as écrite n'est pas tout à fait la bonne : la probabilité d'un succès sachant que $Y_i=k$ n'est plus $1/n.$
  • Ah oui bien vu c'est $p=\dfrac{1}{n-k}$.
  • Ce serait bien de ne pas répondre au pif...
  • Modifié (24 Jun)
    En effet j'ai dit n'importe quoi !
    Si $Y_i =k$ alors on a $k$ variables aléatoires $X_j$ qui sont égales à $i$. Pour avoir $Y_j =l$ on doit prendre $l$ variables aléatoires $X_p$ qui sont égale à $j$ mais elles doivent êtres différentes de $i$, il y a donc $n-1$ choix.
    Donc $p=\dfrac{1}{n-1}$
  • ouf
  • Modifié (24 Jun)
    Si $Y_i=k$ alors on a $k$ variables aléatoires $Xj$ qui sont égales à $i$
    C'est le genre de phrase que tu devrais écrire au tout début, dès que tu abordes la question 2.  
    C'est le fondement du raisonnement... ça doit arriver au tout début. Pas quand l'exercice est presque fini.
    Et c'est systématique, c'est toujours quand l'exercice est quasiment fini que tu écris les fondamentaux.
    Et accessoirement, au lieu de la variable $j$, une autre variable $m$ aurait été mieux, parce qu'il y a déjà cette lettre $j$ dans l'énoncé. Mais c'est secondaire.
  • P.2P.2
    Modifié (25 Jun)
    Salut OS. Remarque : eviter de parler de $X_p$ si à côté il y a $p=1/(n-1).$
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Success message!