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Sous-ensemble de $\ell^2$

Modifié (22 Jun) dans Analyse
Bonjour je tourne autour de la question 3 depuis 20 min alors que c'est trivial mais je bloque.

Réponses

  • Ecris un peu ce que tu as fait. Déjà, il y a deux questions dans 3).
  • GonGon
    Modifié (22 Jun)
    On peut introduire une application linéaire afin que $F_{l}$ soit l'image réciproque d'un convexe (l'intervalle ici ) et ça marche donc c'est un convexe . Pour le sous-espace vectoriel , je n'y crois pas trop (je peux me tromper). On prend deux éléments quelconques $\phi$ et $\lambda$ de $F_{l}$ et on se donne les scalaires $a$ et $b$ où on pose $b=\frac{\phi(l)}{\lambda(l)}$ , je ne pense pas que pour $a$ quelconque , on ait une somme strictement positive .
  • La fonction identiquement nulle sur $\N$ appartient-elle à $\mathcal{F}_{l_0}$ ?
  • Gon a dit :
    On peut introduire une application linéaire afin que $F_{l}$ soit l'image réciproque d'un convexe (l'intervalle ici ) et ça marche donc c'est un convexe . Pour le sous-espace vectoriel , je n'y crois pas trop (je peux me tromper). On prend deux éléments quelconques $\phi$ et $\lambda$ de $F_{l}$ et on se donne les scalaires $a$ et $b$ où on pose $b=\frac{\phi(l)}{\lambda(l)}$ , je ne pense pas que pour $a$ quelconque , on ait une somme strictement positive .
    merci pour votre aide ça ma vraiment fait avancer
  • Bonjour
    L'indication de TM pour montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel est plus immédiate que de passer par la mienne.
  • Bonjour,
    Question idiote : je ne vois pas comment l'ensemble $\mathcal{F}_{l_0}$ peut être fermé sachant qu'il est défini avec une inégalité stricte (avec une inégalité large, je suis en revanche d'accord : faute de frappe ?).
    En effet, la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $\varphi_n = \frac{1}{n}e_{l_0}$ avec $e_{l_0}(k) = \delta_{k,l_0}$ est à valeurs dans $\mathcal{F}_{l_0}$ mais converge vers 0.
    J'ai peut-être dit une grosse ânerie donc je veux bien l'avis d'une personne expérimentée.
  • Tu as raison Heuristique, c'est un ouvert non fermé.
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