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Un point peu connu de Léon Ripert

Modifié (22 Jun) dans Géométrie

Bonjour,

un remarquable résultat de Léon Ripert.

1. ABC                   un triangle

2. M                        une ménélienne de ABC

3. I,  J, K les points d'intersection de M resp. (BC), (CA), (AB)

4. Ra                       le point d'intersection des médiatrices de [BC] et [JK].

Question :             Ra est sur le cercle de Miquel du delta (ABC, M) i.e. sur 4.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • Bonsoir Jean-Louis,
    Le point M est-il le milieu de l'arc AC, comme il semble bien ? Si oui, d'où cela vient-il,? Est-ce une hypothèse de départ (qui serait omise) ou une conséquence déductible des hypothèses posées ?
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (22 Jun)
    Bonjour,

    Non, Jelobreuil, ce n'est pas le cas.
    A part les médiatrices et le point $Ra$, le reste de la figure est invariant par permutation circulaire, et le point $M$ ne peut pas être le milieu des trois arcs à la fois.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir,
    % Jean-Louis Ayme - 22 Juin 2022 - Un point peu connu de Léon Ripert
    
    % 1. ABC      un triangle
    % 2. M        une ménélienne de ABC
    % 3. I,  J, K les points d'intersection de M resp. (BC), (CA), (AB)
    % 4. Ra       le point d'intersection des médiatrices de [BC] et [JK].
    % Question :  Ra est sur le cercle de Miquel du delta (ABC, M) i.e. sur 4.
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    
    aB=1/a;
    bB=1/b;
    cB=1/c;
    
    s1=a+b+c;
    s2=a*b+b*c+c*a;
    s3=a*b*c;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % La ménélienne a pour équation uB z + u zB + r = 0
    % avec |u|=1 et r réel
    
    syms u
    syms r real
    uB=1/u;
    
    [I IB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-b-c,uB,u,r); % On préserve i
    I=Factor(I); IB=Factor(IB);
    
    % On trouve:
    
    I = u*((b+c)*u+b*c*r)/(u^2-b*c); IB=-(b+c+r*u)/(u^2-b*c);
    
    % De même:
    
    j = u*((c+a)*u+c*a*r)/(u^2-c*a); jB=-(c+a+r*u)/(u^2-c*a);
    k = u*((a+b)*u+a*b*r)/(u^2-a*b); kB=-(a+b+r*u)/(u^2-a*b);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    [oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,j,k,aB,jB,kB);
    [ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(b,k,I,bB,kB,IB);
    [oc ocB Rc2]=CercleTroisPoints(c,I,j,cB,IB,jB);
    
    oa=Factor(oa); oaB=Factor(oaB); Ra2=Factor(Ra2);
    ob=Factor(ob); obB=Factor(obB); Rb2=Factor(Rb2);
    oc=Factor(oc); ocB=Factor(ocB); Rc2=Factor(Rc2);
    
    % On trouve (et permutation circulaire):
    
    oa=a*u*(u^3-s2*u-s3*r)/((u^2-a*b)*(u^2-a*c));
    oaB=(-r*u^3-s1*u^2+s3)/((u^2-a*b)*(u^2-a*c));
    Ra2=b*c*u^2*(u^2+r*a*u+a^2)^2/((u^2-a*b)*(u^2-a*c))^2;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    [pjk qjk rjk]=Mediatrice(j,k,jB,kB); % Médiatrice de [JK]
    % La médiatrice de [BC] a pour équation z - b*c*zB = 0
    
    % Point d'intersection des deux médiatrices
    
    [ra raB]=IntersectionDeuxDroites(1,-b*c,0,pjk,qjk,rjk);
    
    ra=Factor(ra)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Vérification de la cocyclicité des points Oa, Ob, Oc, Ra
    
    Bi=Birapport(oa,ob,oc,ra);
    BiB=Birapport(oaB,obB,ocB,raB);
    
    Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné.
    

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour,

    M est le point de Miquel....

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Cette propriété est $T_{jk}\in \mathcal C$ where $\mathcal C$ is the circumcentric circle , i.e. (6) p 236 of Clawson. 1919, cela ne rajeunit personne !
  • Bonjour pldx1,
    nous pouvons remonter encore avec Ripert, Congrès de l'AFAS 1901 à Ajaccio...

    Mais une preuve synthétique serait la bienvenie...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour pldx1,
    nous pouvons remonter encore avec Ripert, Congrès de l'AFAS 1901 à Ajaccio...

    Mais une preuve synthétique serait la bienvenie...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Bonjour à tous,
    Rescassol, Jean-Louis, merci de vos précisions, ma question venait du fait que ce point M n'avait pas été défini dans l'énoncé ... et que mon inculture géométrique m'empêchait de faire le rapprochement entre M et Miquel !
    Bien cordialement, JLB
  • Modifié (24 Jun)
    Bonjour
    (Voir la figure de Jean-Louis que je salue)
    On a, entre angles orientés de droites, les égalités très faciles à justifier
    $\left( R_{a}O,R_{a}O_{a}\right) =\left( IC,IJ\right) =\left( MC,MJ\right) =\left( O_{c}O,O_{c}O_{a}\right) $
    Bien cordialement. Poulbot
  • Modifié (24 Jun)
    Bonjour Poulbot,
    merci pour votre élégante preuve...
    Pour ma part, j'ai pu aboutir sans les angles...next on my site...

    Merci encore et tout le plaisir est de vous entendre.
    Jean-Louis
  • Bonjour
    Vous trouverez ci-joint l'exposé de Léon Ripert au Congrès 1901 de l'AFAS.
    Le résultat cité par Jean-Louis est le $18$ page $114$.
    Bien cordialement. Poulbot
  • Bonjour,
    J'ai repris et vérifié le papier de Léon Ripert. Il restait quelques typos (mais pas autant que 
    chez Lemoine 1900 !). L'utilisation de $\Phi$ est très habile !

    Par contre, la bibliographie citée est très elliptique. Exemple: "M. J. de Vriès, (Voir le Matematiche, t. I, 1901, pp. 38 et 166)"...
    @Chaurien, @Poulbot, @Jean-Louis Ayme ?

    Cordialement, Pierre.
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