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Définition de $k[[x^{1/n}]]$

b.bb.b
Modifié (21 Jun) dans Algèbre
Bonsoir à tous

$k$ est un corps et $n\ge 1$ un entier. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment construire l'anneau $k[[x^{1/n}]]$ ? Je lis un bouquin qui en parle un peu, mais l'explication ne me satisfait pas. Elle consiste simplement en un changement de notation : on considère l'extension d'anneaux $k[[t^n]]\subset k[[t]]$ et on pose $t^n=x$ et $t=x^{1/n}$.

Réponses

  • Modifié (21 Jun)
    Bonsoir
    Tu préférerais voir dès le départ tout le monde dans un grand anneau de séries formelles à coefficients dans $k$ et à exposants  bizarroïdes ?
    On peut, en prenant par exemple les séries à exposants rationnels positifs ou nuls dont le support (l'ensemble des exposants pour lesquels les coefficients sont non nuls) est bien ordonné (pour l'ordre naturel sur $\mathbb Q$) ; cette condition de bon ordre permet de définir les opérations comme d'hab, sans anicroche ; sans bon ordre, on serait bien embêté pour le produit par exemple.
    Il vaut peut-être mieux s'en tenir à la présentation de ton bouquin ...
  • Qu'est-ce qui ne te satisfait pas dans cette explication ? 

    Note qu'on a bien $k[[t]]\cong k[[t^n]][y]/(y^n-t^n)$ en tant que $k[[t^n]]$-algèbres (preuve : tu as bien sûr un morphisme canonique de la seconde vers la première, qui envoie $y^i$ sur $t^i$, et les deux sont libres en tant que $k[[t^n]]$-modules sur les $y^i$, resp. $t^i$)
  • Intéressante idée GaBuZoMeu, je n'y avais pas pensé. Je garderai ça dans un coin de ma tête. Sinon, le livre est très bien (Courbes algébriques planes d'Alain Chenciner chez Springer). Ce passage ne me bloque pas pour lire la suite.

    Maxtimax, ce qui ne me satisfait pas, c'est que je n'ai pas l'impression de vraiment définir $k[[x^{1/n}]]$, mais de renommer un anneau déjà connu en $k[[x^{1/n}]]$.
  • Modifié (24 Jun)
    Salut
    L'anneau $S = k[[x^{1/n}]]$ est bien le même que (isomorphe à) $R = k[[x]]$. Par contre, l'extension $k[[x^{1/n}]]/k[[x]]$ n'est pas la même que l'extension $k[[x]]/k[[x]]$. Autrement dit, $S$ est isomorphe à $R$ en tant que $k$-algèbres, mais pas en tant que $R$-algèbres. Encore une autre manière de dire la même chose : l'élément appelé $x$ n'est pas préservé par l'isomorphisme entre $R$ et $S$. Cela justifie la notation différente.
    Amicalement,
    Aurel
  • b.b. : tu ne définis pas un nouvel anneau ni même, comme le dit aurelpage, une nouvelle $k$-algèbre, mais tu définis bien une nouvelle $k[[x]]$-algèbre. 
  • b.bb.b
    Modifié (23 Jun)
    Merci de vos réponses, on obtient un $k[[x]]-$module libre (dont une base est $\left(1,x^{1/n},\dots,x^{(n-1)/n}\right)$) comme tu l'as dit Maxtimax. On aurait pu directement poser $S=k[[x]][y]/(y^n-x)$.
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