Poursuite infernale

PG

Bonjour
Non, ce n'est pas le titre d'un western de Sergio Leone !
Il m'est revenu en mémoire un sujet donné en maths sup. il y a fort longtemps.

"Quatre mouches M,N,P,Q sont aux quatre sommets A,B,C,D d'un carré direct ABCD.
A l'instant t=0, chacune de ces mouches vole vers celle qui est devant elle à la vitesse v (m/s) (M vers N, N vers P, P vers Q et Q vers M)."
Question. Se rejoindront-elles et si oui, où et quand ?

Oui c'est un classique, mais si le cœur vous en dit par ces temps de fortes chaleurs...
PG

Dom

Bonjour, 
doit-on comprendre la consigne comme "seront-elles toutes au même endroit à un certain instant ?" ?
Cordialement
Dom

Calli

Bonjour,
Je suppose que les diagonales du carrées s'intersectent en l'origine du repère. Si on note $z(t)\in\Bbb C\cong\Bbb R^2$ la position de la mouche $M$ à l'instant $t$, alors la mouche $N$ est en $iz(t)$ au même moment ($P$ en $-z(t)$, et $Q$ en $-iz(t)$). Donc $\dot z = v \frac{iz-z}{|iz-z|}=v\frac{z(i-1)}{|z|\sqrt2}$. Et en notant $r(t) = |z(t)|$, on a $\dot r = \langle \dot z,\frac{z}{|z|} \rangle$ avec $\langle .,.\rangle$ le produit scalaire de $\Bbb R^2$, car $h\in\Bbb R^2\mapsto \langle h,\frac{x}{|x|} \rangle$ est la différentielle de $y\in\Bbb R^2\mapsto |y|$ en $x\in\Bbb R^2$. De plus, pour tous $z,z'\in\Bbb C$, $\langle z,z' \rangle=\Re(z\bar{z'})$. Donc $\dot r = \Re\big(\dot z,\frac{\bar z}{|z|} \big)=\Re(v\frac{z\bar z(i-1)}{|z|^2\sqrt2}) = -\frac{v}{\sqrt2}$. Notons $c$ la longueur du côté de MNPQ. Alors $r(t)=\sqrt2 c-\frac{v}{\sqrt2}t$. Donc toutes les mouches se rencontrent en $z=0$ à l'instant $\frac{2c}v$.

mav1

  

PG

@Dom
  oui
@Calli
Il me semble que la réponse est correcte. A l'époque, cet exercice avait été posé par la prof. de physique, dans le cadre du chapitre "cinématique". Il faudrait que je retrouve la solution, évidemment fort différente de la tienne...
@mav1
Joli! et c'est bien ainsi que les choses se passent!

Merci à tous.
PG

Dom

Ok.
En fait, je n'avais pas du tout compris l'exercice.
J'ai eu la mauvaise interprétation où "une mouche suivait l'autre en restant sur le carré".

Calli

PG a dit : 
Il faudrait que je retrouve la solution, évidemment fort différente de la tienne...

Oui, moi j'ai utilisé un peu de calcul diff' que les sups n'ont pas.

Dom

Ça m’évoque le « problème du chien qui suit son maître ». 

Le maître marche sur un chemin rectiligne a vitesse constante : il part de l’origine du repère et monte sur l’axe des ordonnées. 

Le chien est sur l’axe des abscisses (c;0) et à tout instant part en direction de son maître, à vitesse constante.

mav1

oui ! voir ici de jolies choses  https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/courbe_des_chiens.html#carres

Boécien

Si je comprends bien les mouches se rejoignent en un temps fini mais effectuent un nombre infini de tours. Ce n'est donc pas physiquement possible ou je me trompe?

Calli

Dom a dit :

Ça m’évoque le « problème du chien qui suit son maître ». 

Ça me rappelle que je m'étais intéressé à ce problème au lycée (en début de terminale je pense). J'avais étudié plusieurs cas, résolu les équa diffs, regardé ce qui se passe quand $t\to\infty$, tracé des exemples de trajectoires et mis tout ça dans un pdf (en pièce jointe). Je me demande maintenant pourquoi j'avais fait ça, car ça n'est pas, à mes yeux d'aujourd'hui, un problème intéressant au point que j'y consacre un pdf de 15 pages   . Mais on s'amuse mathématiquement avec ce qu'on a au lycée... Peut-être le fait d'avoir découvert les équa diffs peu de temps avant m'avait donné envie de les utiliser.

Chaurien

Ce sont deux problèmes de poursuite, mais bien distincts.

 Le problème de la courbe du chien est plus simple, puisqu'on connaît la loi du mouvement du mobile poursuivi ; il remonte à Bouguer et Maupertuis, 1732.

Le problème des quatre mouches est plus difficile. On peut le poser avec $n$ mouches aux sommets d'un $n$-gone régulier, ce n'est pas plus compliqué. Il est connu en anglais sous le nom de three bugs problem. Voici un lien vers un fil de l'an dernier, où je donne une article de Murray Klamkin sur le sujet.

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/2204104#Comment_2204104

Dom

Calli, tu avais inventé le TPE !

Chaurien

Oui, ledit « TPE », ce serait peut-être adapté à des lycéens comme Calli, mais peut-être pas pour le tout-venant...