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Groupe fini

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Réponses

  • SocSoc
    Modifié (17 Jun)
    En reprenant tes notations on a pour tout $x$ et tout $y$:
    $(xy)^2=1$ (tout carré vaut 1 car tout élément est d'ordre 1 ou 2)
    $xyxy =1$ (c'est la même ligne que celle du dessus)
    $x^2yxy=x$ (on multiplie à gauche par $x$, comme G n'est pas abélien il faut toujours préciser si on opère à gauche ou à droite)
    $yxy=x$ (car $x^2=1$)
    $yxy^2 =xy$ (on multiplie à droite par $y$)
    $yx=xy$ (car $y^2=1$)

  • Avec Lagrange, le seul premier pouvant diviser $|G|$ est 2, donc $|G|=2^k, \ k\in \N$.
    Alain
  • Tu veux dire le théorème de Cauchy ?
  • @Soc d'accord merci, une fois que j'ai vu que $g^2=1$ c'est plus clair.

    @JLT la loi externe elle vérifie $\forall (\lambda ,a) \in (\Z / 2 \Z) \times G \ \lambda a =0 \implies \lambda =0$ et $\lambda a= 1 \implies \lambda =1$.

    Comment tu sais qu'elle telle loi existe ? 

    Une loi externe $\bullet $ doit vérifier : 

    $\lambda \bullet (a+b)= \lambda \bullet a + \lambda \bullet b$.
    $(\lambda + \mu)  \bullet a= \lambda \bullet a + \mu \bullet b$.
    $(\lambda \mu )  \bullet a= \lambda \bullet ( \mu \bullet a )$.
    $1 \bullet a= a$

    Je ne vois pas comment vérifier ces 4 propriétés.
  • Une loi externe c'est juste une application $\Z/2\Z\times G \to G$, je l'ai définie en donnant l'image de chaque terme.

    Pour les 4 propriétés, ne fais pas le paresseux, commence par exemple par la première.
  • Oui, tu as raison Cauchy. Lagrange ne permet pas d'affirmer qu'il n'y a pas de premiers autres que 2.
    Alain
  • Modifié (17 Jun)
    Propriété $1$ : 
    si $a=b=0$ c'est évident.
    Si $a=0$ et $b=1$ alors $ \lambda \bullet (a+b)=0 = \lambda \bullet b= \lambda \bullet 1$ et $\lambda \bullet a + \lambda \bullet b =\lambda \bullet b$.
    Si $a=b=1$ alors $a+b=0$ donc $\lambda \bullet (a+b)=0$ et $\lambda \bullet a + \lambda \bullet b = \lambda \bullet 1 + \lambda \bullet 1$ et là je ne vois pas ...
  • Tu t'es trompé d'ensemble pour $a$ et $b$.
  • $b$ appartient à $G$.
  • Modifié (18 Jun)
    D'accord merci. Déjà $2$ est premier donc $\Z / 2 \Z$ est un corps. On rappelle que $\forall g \in G \ g+g=0$.

    Soit $\lambda, \mu \in \Z / 2 \Z$ et $a,b \in G$. 
    Si $\lambda=0$ alors $\lambda \bullet (a+b)= 0 \bullet (a+b)=0$ et $\lambda \bullet a+ \lambda \bullet b= 0 \bullet a + 0 \bullet b= 0+0=0$
    Si $\lambda=1$ alors $\lambda \bullet (a+b)= 1 \bullet (a+b)=a+b$ et $\lambda \bullet a+ \lambda \bullet b= 1 \bullet a + 1 \bullet b= a+b$

    On a montré $\boxed{\lambda \bullet (a+b)= \lambda \bullet a + \lambda \bullet b}$

    Si $\lambda= \mu =0$ alors $(\lambda + \mu ) \bullet a = (0 +0)\bullet a = 0 \bullet a =0$ et $\lambda \bullet a+ \mu \bullet a= 0+0=0$
    Si $\lambda= \mu =1$ alors $(\lambda + \mu ) \bullet a = (1+1)\bullet a = 0 \bullet a =0$ et $\lambda \bullet a+ \mu \bullet a= a+a=0$
    Si $\lambda=1$ et $\mu=0$ alors $(\lambda + \mu ) \bullet a = (1+0)\bullet a = 1 \bullet a =a$ et $\lambda \bullet a+ \mu \bullet a= a+0=a$

    On a montré $\boxed{(\lambda + \mu) \bullet a= \lambda \bullet a + \mu \bullet b}$
    On fait la même chose pour les deux dernières.
    Donc $G$ est un $\Z / 2 \Z$ espace vectoriel. Maintenant, pour utiliser la méthode de @gai requin et @raoul.S, je ne vois pas.
    Soit $A= \{ x_1, \cdots, x_n \}$ une partie génératrice de $G$ de cardinal minimal. Alors $G=<A>$.
    Je n'ai pas compris comment construire l'isomorphisme.
    Je n'ai pas compris la différence entre le cardinal d'un groupe et l'ordre d'un groupe.
  • Ordre d'un groupe = cardinal du groupe. C'est un autre nom.

    Maintenant que tu as montré que c'etait un Z/2Z-ev faut conclure
  • Modifié (18 Jun)
    J'essaie d'utiliser l'indication de @gai requin mais je ne vois pas c'est où qu'on va utiliser ce qu'on vient de montrer. 

    Soit $A=\{x_1,\ldots,x_n\}$ une partie génératrice de $G$ de cardinal minimal.
    Construire un isomorphisme $((\Z/2\Z)^n,+)\to G$.
  • C'est une autre méthode, là tu as montré déjà que G est un Z/2Z - ev. Tu peux conclure sur le cardinal.
  • JLTJLT
    Modifié (18 Jun)
    Soit $f:(\Z/2\Z)^n\to G$ définie par $f(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=\displaystyle \sum_{\lambda_i=1} x_i$. Montrer que $f$ est un isomorphisme.
  • Modifié (18 Jun)
    @JLT merci mais je ne comprends pas la notation de ta somme le $\lambda_i =1$ en indice.

    Il faut trouver une base du $\Z / 2 \Z$ espace vectoriel $G$ et déterminer son cardinal. Je n'ai jamais étudié des espaces vectoriels aussi exotiques, je ne vois pas trop comment faire. En plus, je ne sais même plus s'il faut revenir en notation de groupe multiplicatif ou utiliser le groupe en notation additif.
  • La somme porte sur les indices $i$ tels que $\lambda_i=1$. Par exemple si $n=3$ alors $f(1,0,1)=x_1+x_3$.
    Le choix de la notation additive ou multiplicative importe peu, c'est le même objet, c'est juste plus facile à raisonner avec la notation additive une fois qu'on sait que $G$ est abélien.
    La méthode de gai requin permet de court-circuiter la notion d'espace vectoriel, donc si tu choisis cette méthode, oublie toute notion d'espace vectoriel.
    Si tu veux continuer sur les espaces vectoriels, oublie la méthode de gai requin, il ne reste plus qu'une ligne pour conclure.
  • Modifié (18 Jun)
    C'est difficile.
    J'aimerais comprendre les différentes méthodes. Pour l'espace vectoriel je ne vois pas comment trouver la dimension de $G$ en tant que $\Z /2 \Z$ espace vectoriel. D'habitude dans le cours sur les espaces vectoriels, on donne explicitement l'espace vectoriel. 
    Il faut d'abord montrer que c'est un morphisme de groupe. On a $(\Z /2 \Z, +)$ qui est un groupe. Donc $((\Z /2 \Z)^n,+)$ est un groupe.
    Soit $x,y \in (\Z /2 \Z)^n$. On a $f(x+y)= \displaystyle\sum_{ \lambda_i =1} x_i +y_i = \displaystyle\sum_{ \lambda_i =1} x_i  + \displaystyle\sum_{ \lambda_i =1} y_i =f(x)+f(y)$. Donc $f$ est un morphisme de groupe.
    Injectivité.
    Soit $x \in \ker f$. Alors $f(x)=0$. Donc $ \displaystyle\sum_{ \lambda_i =1} x_i =0$ je bloque ici. 
    Surjectivité.
    Soit $y \in G$. On cherche $x \in  (\Z /2 \Z)^n$ tel que $f(x)=y$ soit $\displaystyle\sum_{ \lambda_i =1} x_i =y$. 
    Pareil je bloque ici.
  • JLTJLT
    Modifié (18 Jun)
    Personne ne demande de trouver la dimension de $G$. On sait juste qu'il y a une dimension et ça suffit.
    Pour l'autre méthode avec l'application $f$ tu as écrit n'importe quoi dès le départ.
  • Modifié (18 Jun)
    Je n'ai pas compris la méthode avec l'espace vectoriel.
    L'autre non plus, je ne vois pas pourquoi on prend une partie génératrice de G de cardinal maximal, ni d'où sort cette application compliquée.
    Les ensembles sont des groupes, donc un isomorphisme de groupe est un morphisme bijectif.
  • Si G est un espace vectoriel de dimension n, à quoi est-il isomorphe ?
  • Modifié (18 Jun)
    Soit $E$ un $K$ espace vectoriel. Alors s'il est de dimension finie $n$, il est isomorphe à $K^n$.
    Donc $G$ est isomorphe à $(\Z / 2 \Z)^n$. Or $\dim (\Z / 2 \Z)^n = n \dim (\Z / 2 \Z) $.
  • ????
  • Je comprends rien. 
  • Bonsoir,

    OShine, combien y a-t-il d'éléments dans dans $\Z / 2 \Z$ ? Dans $(\Z / 2 \Z)^n$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (19 Jun)
    OShine a dit :
    Je comprends rien. 
    Comme d'hab mais respecte toi un peu. Ton message précédent arrive à s'autocontredire en moins de 2 lignes. Tu dis que la dimension est n puis n dim(Z/2Z) une ligne plus tard...
    Je ne comprendrai jamais pourquoi tu t'infliges des exos comme ça... 
  • « On ne se lasse pas du groupe abba »

    a-ha 🤣
  • Modifié (19 Jun)
    Une formule dit que $\dim F^n =n \dim F$.
    $\Z / 2 \Z$ est un corps.
    Si on le voit en tant qu'espace vectoriel il est de dimension 2 je pense. Encore faut-il le démontrer.
    Ce que je ne comprends pas c'est que $\dim_K K =K$.
  • C'est épique ce fil !! Il est temps de faire une pause Oshine !
  • Tu as pris quoi @OShine ?
  • Modifié (19 Jun)
    Il n'y a pas de cours qui explique comment résoudre des exercices aussi tordus. 
    Dans mes livres les exercices ne mélangent pas groupes et espaces vectoriels.
    Dans $\Z / 2 \Z$ il y a deux éléments $\bar{0}$ et $\bar{1}$ donc dans $(\Z / 2 \Z)^n$ il y en a $2^n$.
    Mais ici on parle de dimension car on est dans un espace vectoriel. Pas de cardinal.
    Un K espace vectoriel de dimension n est isomorphisme à $K^n$.
  • Modifié (19 Jun)
    1) C'est pour cela que des le debut on t'a dit que l'exo n'est pas pour toi mais buté comme tu es... l'exo est à des années lumières de ton niveau et de ton recul en mathématiques et en algèbre
    2) Tu confonds encore une fois cardinal et dimension
    3) On demande le cardinal de G à la base
    Bref réponse : le cardinal de G est une puissance de 2.
  • Modifié (1 Jul)
    .
  • Bonjour,

    Bon, OShine, tu as la réponse, le cardinal de G est une puissance de $2$, tu peux te rendormir.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (19 Jun)
    Comment on peut progresser si on fait que des exercices faciles ? 
    Il y a un truc que je n'ai pas compris. On part de $G$ et on note $n$ sont cardinal. Et après on trouve que son cardinal vaut $2^n$. Donc $n=2^n$ ? 
    Je n'ai pas vraiment compris comment on en déduit de $G$ est un $\Z /2 \Z$ espace vectoriel que le cardinal de $G$ est une puissance de $2$.
  • JLTJLT
    Modifié (19 Jun)
    Il y avait une confusion de notation mais tu aurais pu la rectifier de toi même. J'aurais dû noter p la dimension de G et on a $n=2^p$.
  • OShine a dit :
    $\Z / 2 \Z$ est un corps.
    Si on le voit en tant qu'espace vectoriel il est de dimension 2 je pense. Encore faut-il le démontrer.
    Ce que je ne comprends pas c'est que $\dim_K K =K$.
    @OShine il y a une faute à la deuxième ligne et une à la troisième. Est-ce que tu arrives à les corriger sachant que ce sont des questions triviales ?
  • Modifié (19 Jun)
    @JLT d'accord merci mais je ne sais pas montrer que $n= 2^p$.

    @raoul.S
    Je m'embrouille complètement je ne vois pas où intervient le cardinal de $G$ dans la solution.

    Soit $G$ un espace vectoriel de dimension $p$. On cherche $card \ G =n$.
    Tout corps $K$ est un $K$ espace vectoriel muni d'une loi $+$ et on a $\dim_K K=1$. 
    $G$ est isomorphe à $(\Z / 2 \Z)^p$. Donc $\dim G = p =  \dim (\Z / 2 \Z)^p$.

    C'est du n'importe quoi ce que j'écris mais je ne vois pas comment faire.
  • Pour progresser : tenir compte des conseils qui t'ont été prodigués par les intervenants du forum, qui, fait notable, sont pour la plupart des professionnels de l'enseignement des maths
  • Sinon, peut-être que ca t'aidera à y voir plus clair :
    si $k$ est un corps fini et si $E$ est un $k$-espace vectoriel de dimension finie, que peux-tu dire du cardinal de $E$ ?
  • Je n'ai jamais étudié les corps finis. (Je compte le faire bientôt car j'ai un livre d'arithmétique qui traite de ça mais je dois d'abord étudier les premiers chapitres)

    Dans le cours de prépa, les propriétés sont données pour $K=\R$ ou $K=\C$. La seule propriété du cours de prépa qui ressemble c'est si $E$ est un espace vectoriel de  dimension finie $n$ alors il est isomorphe à $K^n$.
  • Cette propriété reste vraie pour tout corps. Pas besoin d'étudier les corps finis.
  • La situation de boucle infinie telle que je la comprends:

    1) il veut progresser gratuitement en posant des questions sur un forum sans se confronter à un vrai prof (parce que ça coûte cher et que le foutage de gueule est plus difficile à assumer en face à face)
    2) il se fait lyncher car il est exaspérant (comme beaucoup d'élèves)
    3) il se protège du lynchage en ne lisant que ce qu'il pense être des corrigés qu'il valide dès qu'il les comprend sur l'instant et esquive les conseils "coups de poing"
    4) il exaspère encore davantage ceux qui l'aident (pourquoi diable continuent-ils à le faire ? ça je ne comprends vraiment pas)
    5) il ne s'améliore pas
    6) la modération laisse faire
    7) GOTO 1)


  • Je trouve qu'Oshine est la démonstration parfaite de la difficulté qu'on peut avoir à apprendre une matière en autodidacte.
    Je ne suis même pas sûr qu'il soit plus mauvais que l'étudiant moyen qu'on a en première année de maths à l'université. Apprendre seul avec des livres est incroyablement compliqué. Le rapport en chair et en os avec un vrai prof est inestimable.
    Si Oshine voulait vraiment s'améliorer en maths (dans quel but, je ne le sais pas), il devrait accepter de s'inscrire dans sa fac la plus proche et assister à des vrais cours.
  • Modifié (19 Jun)
    Je ne sais pas si j'ai le droit de m'inscrire dans une fac étant donné que je suis déjà prof. Sinon il y a les préparation à l'agrégation mais je pense que le niveau sera trop élevé et que les profs iront trop vite pour moi.

    D'accord merci j'ai compris cette fois ! Donc $G$ est isomorphe à $(\Z / 2 \Z)^p$. (on va ici utiliser l'isomorphisme de groupe pour parler de cardinal)

    C'est un isomorphisme de groupes  donc $card \  G = n = card (\Z / 2 \Z)^p$. Or $card (\Z / 2 \Z)^p = (card  \ \Z / 2 \Z)^p =2^p$

    On a montré $\boxed{n=2^p}$.
  • J'abonde totalement dans le sens de Cyrano : prends des cours avec un vrai prof OShine (par vrai j'entends en présence).

    Sinon la question que je t'ai posé ne nécessite aucune connaissance sur les corps finis. Il faut simplement avoir compris ce qu'est la dimension d'un espace vectoriel, c'est du dénombrement.

    D'ailleurs c'est une question qui tombe parfois dans les premières questions de concours.
  • Je vais regarder les annonces de profs particuliers.

    J'ai essayé la méthode de @gai requin mais je bloque sur l'injectivité.




  • Je pense vraiment qu'il a besoin de cours particuliers pour avoir une interaction directe et un recadrage adapté à lui, rien que pour lui. Un cours collectif ne lui permettra pas de progresser car il n'est pas suffisamment autonome : il ne se pose pas les bonnes questions, ne se remet pas suffisamment en question, ne comprend pas l'importance des conseils prodigués. En face à face, dans un dialogue personnalisé, il n'y a plus d'échappatoire.
    Chaque fois qu'on lui répond, on participe à sa stagnation car on repousse sa prise de décision.
    Le problème, c'est surtout le tarif des cours particuliers pour ce type de profil: c'est très cher (de mémoire aux alentours de 60€ de l'heure après défiscalisation sur les sites que je connais, c'est à dire 120€ de l'heure avant la ristourne). Bien évidemment, on trouve moins cher mais pour le profil d'OShine, je vois difficilement un étudiant de première année ou même un jeune certifié être capable de le faire progresser.
  • JLTJLT
    Modifié (19 Jun)
    Il manque quelque chose dans ta démonstration que $f$ est un morphisme de groupes. Je reformule ce que tu as écrit.
    Soit $A$ l'ensemble des $i$ tels que $\lambda_i=1$ et $\mu_i=0$.
    Soit $B$ l'ensemble des $i$ tels que $\lambda_i=0$ et $\mu_i=1$.
    Soit $A'$ l'ensemble des $i$ tels que $\lambda_i=1$.
    Soit $B'$ l'ensemble des $i$ tels que $\mu_i=1$.

    Tu as dit que $f(u)=\sum_{i\in A'} x_i$, $f(v)=\sum_{i\in B'} x_i$ et $f(u+v)=\sum_{i\in A\cup B} x_i$. Pourquoi a-t-on $f(u+v)=f(u)+f(v)$ ?
  • Il faut aussi montrer que $f$ est bien définie.
  • Tu peux effectivement prendre des cours particuliers.
    Ca va te coûter pas mal d'argent. 
    Mais avant d'investir de l'argent, je te conseille l'expérience suivante.
    Tu reprends différents exercices que tu as posté ici, disons il y a 3 ou 6 mois. Et tu essaies de les faire, sans regarder ni le corrigé, ni les réponses qui t'ont été données à l'époque.
    Et tu postes tes réponses. Même si tu te dis : j'ai su faire l'exercice, ma réponse est bonne bla bla, non, tu fais valider ta réponse par des gens qui savent.
    A mon avis, tu vas t'apercevoir que tu ne sais toujours pas faire ces exercices.

    Si tu prends des cours particuliers, ce sera pareil. Il y a un type qui va gagner pas mal d'argent sur ton dos, et tu ne vas pas progresser du tout.
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